2025-2026学年上海杨浦高级高一上学期数学期中试卷（含答案）

杨高2025-2026学年第一学期高一年级数学期中
2025.11
一、填空题（本大题共有10小题，满分40分，每题4分）.
1．若，则集合 .
2．在实数范围内，的四次方根是 .
3．不等式解集为 .
4．根式写成指数幂形式为 .
5．已知，则 .（用的代数式子表示）
6．若正实数满足，则的最小值为 .
7．不等式的解集为，则实数的取值范围是 .
8．在上的最大值是最小值的3倍，则实数的值为 .
9．对于函数，若存在，使，则称点是图像的＂优美点＂．已知，若图像存在＂优美点＂，则实数的取值范围为 .
10．对于实数和正数，称满足不等式的实数的集合叫做的邻域，已知，若的邻域中恰有2个整数，则的取值范围是 .
二、选择题（本大题共有4题，满分12分，每题3分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
11．如果，则正确的是（ ）.
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
12．函数且的图像必经过的点是（ ）.
A． B． C． D．
13．宇宙之大，粒子之微，无处不用到数学。2023年诺贝尔物理学奖颁给了＂阿秒光脉冲＂，光速约为，1阿秒等于。一尺之棰，日取其半，万世不竭，一根1米长的木棰，第一次截去总长的一半，以后每次截去剩余长度的一半，至少需要截（ ）次才能使其长度小于光在1阿秒内走的距离．（参考数据：）
A．30 B．31 C．32 D．33
14．＂群＂的概念由数学家伽罗瓦在19世纪30年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学、晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用．＂群＂的定义是：设为某种元素组成的一个非空集合，若在内定义一个运算＂＊＂，满足以下条件：
①任意．有
②如，有；
③在中有一个元素e，对任意，都有，称e为的单位元；
④任意，在中存在唯一确定的，使，称为的逆元；此时称（）为一个群
例如实数集R和实数集上的加法运算＂＋＂就构成一个群，其单位元是0，每一个数的逆元是其相反数，那么下列说法中，错误的是（ ）.
A．，则为一个群
B．为一个群
C．，则为一个群
D．，则为一个群
三、解答题（本大题共有5题，满分48分）
15．（本题满分6分）本题共有2个小题，第1小题满分2分，第2小题满分4分．
已知关于的一元二次方程的两个实根分别为.
（1）求实数的取值范围；
（2）若满足：，求实数的值．
16．（本题满分6分）本题共有2个小题，第1小题满分2分，第2小题满分4分．
已知幂函数在上单调递增，函数.
（1）求的值；
（2）当时，记的值域分别为集合，若，求实数的取值范围．
17．（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分.
已知函数是偶函数．
（1）求的值；
（2）若，求的取值范围．
18．（本题满分12分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分4分，第3小题满分5分.
把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度为，空气的温度为，那么分钟后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.已知空气的温度为，把水放在空气中冷却，水的温度从冷却到需要30分钟。
（1）求；
（2）热水一般不适合冲泡奶粉，假若现在杯中的水温为，等待水温降温到，至少需要等待多少分钟？
（3）某电热水壶会自动检测壶中水温，如果水的温度高于，电热水壶不加热，水的温度冷却到，电热水壶开始加热，直至水的温度达到才停止加热，且水的温度从加热到需要8分钟.现该电热水壶中水的温度为，经过98分钟后，此时壶中水的温度是多少？
19．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满6分．
若函数的定义域为，且对于任意的的充要条件是＂＂，则称函数为上的＂单值函数＂．对于函数，记，其中，并对任意的，记集合，并规定
（1）若，函数的定义域为，求；
（2）若函数的定义域为，且存在正整数，使得对任意的，求证：函数为上的＂单值函数＂；
（3）设，若函数的定义域为，且表达式为：判断是否为上的＂单值函数＂，并证明对任意的区间，存在正整数，使得。
杨高2025-2026学年第一学期高一年级数学期中
2025.11
一、填空题（本大题共有10小题，满分40分，每题4分）.
1．若，则集合 .
【答案】
2．在实数范围内，的四次方根是 .
【答案】
3．不等式解集为 .
【答案】
4．根式写成指数幂形式为 .
【答案】
5．已知，则 .（用的代数式子表示）
【答案】
6．若正实数满足，则的最小值为 .
【答案】
7．不等式的解集为，则实数的取值范围是 .
【答案】
8．在上的最大值是最小值的3倍，则实数的值为 .
【答案】或
9．对于函数，若存在，使，则称点是图像的＂优美点＂．已知，若图像存在＂优美点＂，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】由＂优美点＂的定义，可知若点是曲线的＂优美点＂，
则点也在曲线上.
作出函数的图象，然后作出其关于原点对称的图象，
此图象对应的函数解析式为．
需与曲线有交点，联立，
消去得，方程要有正根，所以，解得．
10．对于实数和正数，称满足不等式的实数的集合叫做的邻域，已知，若的邻域中恰有2个整数，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题可知有恰两个整数解，
得，所以中恰有两个整数，
故，所以
当两个整数为2,3时，得，解得；
当两个整数为3,4时，，所以，
综上所述，
二、选择题（本大题共有4题，满分12分，每题3分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
11．如果，则正确的是（ ）.
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
12．函数且的图像必经过的点是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
13．宇宙之大，粒子之微，无处不用到数学。2023年诺贝尔物理学奖颁给了＂阿秒光脉冲＂，光速约为，1阿秒等于。一尺之棰，日取其半，万世不竭，一根1米长的木棰，第一次截去总长的一半，以后每次截去剩余长度的一半，至少需要截（ ）次才能使其长度小于光在1阿秒内走的距离．（参考数据：）
A．30 B．31 C．32 D．33
【答案】C
14．＂群＂的概念由数学家伽罗瓦在19世纪30年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学、晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用．＂群＂的定义是：设为某种元素组成的一个非空集合，若在内定义一个运算＂＊＂，满足以下条件：
（1）任意．有
（2）如，有；
（3）在中有一个元素e，对任意，都有，称e为的单位元；
（4）任意，在中存在唯一确定的，使，称为的逆元；此时称（）为一个群
例如实数集R和实数集上的加法运算＂＋＂就构成一个群，其单位元是0，每一个数的逆元是其相反数，那么下列说法中，错误的是（ ）.
A．，则为一个群
B．为一个群
C．，则为一个群
D．，则为一个群
【答案】D
【解析】A选项：有理数的和还是有理数，求和满足结合律，
设，单位元为e，则，故，所以每一个数的相反数为其逆元，
故为一个群，选项A正确；
B选项：中的任何两个数相加还是属于，求和满足结合律，
设，单位元为e，则，所以，
每一个数的相反数为其逆元，为一个群，故选项B正确；
C选项：中的两个元素相乘，其积可能为1或-1，又，
设，单位元为e，则，故的逆元为的逆元为-1，
所以则（）为一个群，故C正确；
D选项：两个奇数相乘还是奇数，乘法满足结合率，
设，单位元为e，则，故，
又，故存在，使得，则，矛盾，故不为一个群，故D错误.
三、解答题（本大题共有5题，满分48分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。
15．（本题满分6分）本题共有2个小题，第1小题满分2分，第2小题满分4分．
已知关于的一元二次方程的两个实根分别为.
（1）求实数的取值范围；
（2）若满足：，求实数的值．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）因为方程有两个实数根，
所以，即，解得，
所以实数的取值范围；
（2）一元二次方程的两个实根分别为，
所以，由，可得，解得或，
由（1）知，所以．所以实数的值为．
16．（本题满分6分）本题共有2个小题，第1小题满分2分，第2小题满分4分．
已知幂函数在上单调递增，函数.
（1）求的值；
（2）当时，记的值域分别为集合，若，求实数的取值范围．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）因为幂函数在上单调递增，
则，解得．
（2）由（1）可知，当时，，即，
当时，，即，
因为，则，所以，，解得．
因此，实数的取值范围是．
17．（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分.
已知函数是偶函数．
（1）求的值；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1） （2），或．
【解析】（1）的定义域为R，令，解得
当
对任意恒成立，因此；
（2）若，则
所以，所以，
令，则有，即，解得或，
所以，或，所以，或．
18．（本题满分12分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分4分，第3小题满分5分.
把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度为，空气的温度为，那么分钟后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.已知空气的温度为，把水放在空气中冷却，水的温度从冷却到需要30分钟。
（1）求；
（2）热水一般不适合冲泡奶粉，假若现在杯中的水温为，等待水温降温到，至少需要等待多少分钟？
（3）某电热水壶会自动检测壶中水温，如果水的温度高于，电热水壶不加热，水的温度冷却到，电热水壶开始加热，直至水的温度达到才停止加热，且水的温度从加热到需要8分钟.现该电热水壶中水的温度为，经过98分钟后，此时壶中水的温度是多少？
【答案】（1） （2）30分钟 （3）．
【解析】（1）已知空气的温度为，把水放在空气中冷却，水的温度从冷却到需要30分钟，则，即，所以．
（2）由题意可知：，
可得，解得，所以至少需要等待30分钟．
（3）设水的温度由冷却到，需要分钟，
则，解得，
此时电热水壶开始加热，需要8分钟加热至，且，
若水的温度由冷却到，可知需要60分钟，
显然，则，
所以经过98分钟后，此时壶中水的温度是．
19．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满6分．
若函数的定义域为，且对于任意的的充要条件是＂＂，则称函数为上的＂单值函数＂．对于函数，记，其中，并对任意的，记集合，并规定
（1）若，函数的定义域为，求；
（2）若函数的定义域为，且存在正整数，使得对任意的，求证：函数为上的＂单值函数＂；
（3）设，若函数的定义域为，且表达式为：判断是否为上的＂单值函数＂，并证明对任意的区间，存在正整数，使得。
【答案】（1）； （2）证明见解析；
（3）是上的＂单值函数＂，证明见解析．
【解析】（1）时，，所以，
时，，所以，
时，，所以；
（2）由已知单值函数的定义可以改写为：若函数的定义域为，且对于任意的、，＂＂的充要条件是＂＂，则称函数为上的＂单值函数。
假设不是上的单值函数，则存在成立，
即，于是，即，
依此类推，得,但由题意，
因此，而，因此，
这样得出了矛盾的结论，所以假设不成立，即是上的单值函数；
（3）由新定义知是单值函数，也是单值函数，
，则，
又时，时，，
又，因此对任意的，
所以是上的＂单值函数＂，
对于任意有限的区间，记表示区间的长度，如果一个集合是若干个区间的并集，则等于组成它的所有区间的长度之和，对于任意的区间，
，不妨设,
若，则，
若，则，
若，则，
所以，
对于任意的区间，显然存在正整数，使得，
因此在（它们的长度和大于1）中，必然存在正整数，使得，因此必存在，使得，
又是上的单值函数，
所以，
这表示，取，
所以对任意的区间存在正整数使得