2025-2026学年上海上师闵分高一上学期数学期中试卷（含答案）

上师闵分、宝分2025-2026学年第一学期高一年级数学期中
2025.11
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1.已知集合，，则______．
2.将（其中）化为有理数指数幂的形式为______．
3.设，方程的解集是______．
4.已知，记，，则与的大小关系是______．
5.若，，则______．
6.若不等式对一切恒成立，则的取值范围是______．
7.已知，函数的大致图像如图所示，则______．
8.若关于方程的两实根的平方和为14，则实数的值为______．
9.已知，，则用表示______．
10.已知，，若，则的最小值为______．
11.集合都是非空集合，现规定如下运算：且．假设集合，，，其中实数满足：．计算______．
12.若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是______．
二、选择题（本大题满分18分）本大题共4题，13-14题每题4分，15-16题每题5分．
13.“成立”是“成立”的（ ）条件.
A.充分不必要 B.必要不充分 C.既不充分也不必要 D.充要
14.“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明 《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．假设初始值为1，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是．一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，大约经过（ ）.天，“进步者”是“退步者”的2倍（近似取计算）．
A.33 B.35 C.37 D.39
15.已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
16.对任意实数，表示不超过的最大整数，例如，，．已知，则为（ ）.
A. 0 B. 1 C. D.
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题．
17.已知幂函数经过点．
（1）求此幂函数的表达式和定义域；
（2）已知点，点在此幂函数的图象上，且满足，求实数的取值范围．
18.已知集合，．
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围．
19.现要在阁楼屋顶（可视作如图所示的锐角三角形）上开一内接矩形窗户（阴影部分），设其一边长（单位：m）为．一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，而且这个比值越大，采光效果越好．
（1）若阁楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5平方米，则当边长为多少米时窗户面积最小？最小值是多少平方米？
（2）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，采光效果是变好了还是变坏了？试说明理由．
20.已知函数．
（1）若不等式的解集为，求的值；
（2）当时，若存在，使得，求的取值范围；
（3）若对任意恒成立，求实数的取值范围．
21.已知集合中的元素都是正整数，且．若对任意，且，都有成立，则称集合具有性质．
（1）判断集合是否具有性质；
（2）已知集合具有性质，且正整数，求证：且，并求出的值；
（3）已知集合具有性质，求证：，并写出的最大值（猜想即可，无需证明）．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11.集合都是非空集合，现规定如下运算：且．假设集合，，，其中实数满足：．计算______．
【答案】
【解析】因为集合
又因为，
所以
故或．故答案为：或．
12.若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】设，又，即，
则对任意的，总存在，使得
又当时，，又当时，，
则，则，即．故答案为：．
二、选择题
13.B 14.B 15.C 16.C
15.已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】若，则满足题意；若，且，则；
综上所述，实数的取值范围是．故选：C．
16.对任意实数，表示不超过的最大整数，例如，，．已知，则为（ ）.
A. 0 B. 1 C. D.
【答案】C
【解析】由题意设，若是整数，则，
若不是整数，则，从而，
故，这就得到,
因为，所以
在中恰有是整数，所以有2020个不是整数，
故 故选：C．
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1）当时，最小值为平方米 （2）变好了
20.已知函数．
（1）若不等式的解集为，求的值；
（2）当时，若存在，使得，求的取值范围；
（3）若对任意恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）由已知得的解集为，可得，
即又解集为，故有，故；
（2）当时，，
若存在，使得，即成立，，
令
因为当且仅当时等号成立，
所以的最小值为18，所以时，结论成立，
故使有解的实数的范围为．
（3）若恒成立，则恒成立，
则或恒成立，即或恒成立．
①当时，解得或，不等式解集不为（舍），
②当时，解得或，不等式解集不为R（舍），
③当时，解得或，
若不等式解集为R，则，所以，解得，
④当时，解得或，解集不为R（舍），
⑤当时，解得或，解集不为R（舍），
综上所述，的取值范围是．
21.已知集合中的元素都是正整数，且．若对任意，且，都有成立，则称集合具有性质．
（1）判断集合是否具有性质；
（2）已知集合具有性质，且正整数，求证：且，并求出的值；
（3）已知集合具有性质，求证：，并写出的最大值（猜想即可，无需证明）．
【答案】（1）具有 （2）为； （3）证明见解析，最大值为9．
【解析】（1）已知集合中的元素都是正整数，且，
若对任意，且，都有成立，则称集合具有性质；
由题意得，所以集合具有性质；
（2）证明：已知集合具有性质，且正整数，
因为，则有：
所以，可得：，所以，
所以，可得：，
所以，即，
又因为为整数，所以符合条件的为，
当时，，成立，当时，，成立，
当时，，成立，所以符合条件的为；
（3）证明：已知集合具有性质，因为，
当时，，符合题意；
当时，因为，且，
所以，可得：，
所以，即，
综上所述：，
因为，由上式可得，，所以，
当时，取，则，可知，
又当时，，当且仅当时取等号，所以，
因此集合中元素个数的最大值为9．