2025-2026学年上海四校联考高一上学期数学期中试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年上海四校联考高一上学期数学期中试卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 418.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 上教版（2020） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-09 08:52:48 | ||
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文档简介
四校联考2025-2026学年第一学期高一年级数学期中
2025.11
一、填空题（本大题共有12题，每题3分，满分36分）
1.已知集合且，请用列举法表示该集合______．
2.计算：______．
3.不等式的解集为______．
4.已知一元二次方程的两个根分别为、，则______．
5.用反证法证明命题“如果两个实数的和与积都是正数，那么这两个数都是正数”时，应先假设______．
6.设集合满足，则满足条件的集合有______个．
7.已知，，则______（用数字作答）
8.若，，且是的充分条件，则实数的取值范围是______．
9.若实数、满足：，则的最小值为______．
10.已知关于的不等式：的解集为，则实数的取值范围是______．
11.已知关于的不等式解集为，则实数的取值范围是______．
12.已知关于的不等式组有且仅有一个整数解，则实数的取值范围为______．
二、选择题（本大题共4题，每题3分，满分12分）
13.已知集合，．若，则实数的值为（ ）
A. B.1 C.1或 D.0
14.已知实数满足，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
15.设全集为，集合是的子集，其文氏图如右图所示．下列选项中，能够表示该图中阴影部分的集合是（ ）
A. B. C. D.
16.“赵爽弦图”如右图所示，它是由中国数学家赵爽于公元3世纪在给《周髀算经》“勾股网方图”作注时给出的一种几何平面图．他用数学符号语言将其表示为“若直角三角形两直角边为、，斜边为（、、均为正数）．则，”．某同学想用软钢丝制作此图，他用一段长8cm的软钢丝作为的长度（制作其它边长的软钢丝足够用），则他能制作出来的“赵爽弦图”的最小面积为（ ）
A.24 B.30 C.32 D.36
三、解答题（第17、18、19、20题每题10分，第21题12分，满分52分）．
17.已知全集，集合，集合．
（1）求集合与集合； （2）求．
18.已知实数满足：．
（1）若满足方程：，求的值；
（2）若，求的值．
19.已知关于的不等式的解集为．
（1）求实数的值；
（2）已知，讨论关于的不等式的解集．
20.社团招新活动中，需设计一份矩形的宣传单（如下图所示），其排版面积（矩形）为，左右两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白．
（1）若，，且该宣传单的面积不超过，则的最大值是多少？
（2）若，，则当长多少时，宣传单的面积最小？最小的面积是多少？
21.已知集合，，，若，，或，则称集合具有“包容”性．
（1）判断集合和集合是否具有“包容”性，并说明理由；
（2）若集合具有“包容”性，求的值．
参考答案
一、填空题
1.； 2.； 3.； 4.； 5.这两个数不都为正数； 6.； 7.； 8.； 9.； 10.； 11.； 12.；
11.已知关于的不等式解集为，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】因为，当且仅当时取等号，
所以不等式解集为，实数的取值范围是．
故答案为：．
二、选择题
13.A； 14.C； 15.B； 16.C
16.“赵爽弦图”如右图所示，它是由中国数学家赵爽于公元3世纪在给《周髀算经》“勾股网方图”作注时给出的一种几何平面图．他用数学符号语言将其表示为“若直角三角形两直角边为、，斜边为（、、均为正数）．则，”．某同学想用软钢丝制作此图，他用一段长8cm的软钢丝作为的长度（制作其它边长的软钢丝足够用），则他能制作出来的“赵爽弦图”的最小面积为（ ）
A.24 B.30 C.32 D.36
【答案】C
【解析】由题可知，，则，
即，所以，当且仅当时，等号成立，
又＂赵爽弦图＂的面积为，
所以当时，＂赵爽弦图＂的最小面积为32.
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1）
（2）①当时，解集为；②当时，解集为；
③当时，解集为
20.社团招新活动中，需设计一份矩形的宣传单（如下图所示），其排版面积（矩形）为，左右两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白．
（1）若，，且该宣传单的面积不超过，则的最大值是多少？
（2）若，，则当长多少时，宣传单的面积最小？最小的面积是多少？
【答案】（1） （2）当长为20cm，宣传单的面积最小，最小的面积是
【解析】（1）由题意可知，该宣传单的面积为：，
则，解得，
又因为，所以，所以的最大值为；
（2）设，则，设宣传单的面积为，
则,
当且仅当，即时取等号，
所以当长为20cm，宣传单的面积最小，最小的面积是．
21.已知集合，，，若，，或，则称集合具有“包容”性．
（1）判断集合和集合是否具有“包容”性，并说明理由；
（2）若集合具有“包容”性，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）1
【解析】（1）对于集合，因为，，
所以集合不具有＂包容＂性；对于集合，
因为集合中任何两个相同或不同的元素相加或相减，
得到的两数中至少有一个属于集合，所以集合具有＂包容＂性。
（2）若集合具有＂包容＂性，令，则，
而，所以，不妨令，则集合且
则，且，
①当时，若，得，此时集合具有包容性；
若，得，舍去；若，无解，舍去；
②当时，则，，由且可知：无解，
所以集合．故．
2025.11
一、填空题（本大题共有12题，每题3分，满分36分）
1.已知集合且，请用列举法表示该集合______．
2.计算：______．
3.不等式的解集为______．
4.已知一元二次方程的两个根分别为、，则______．
5.用反证法证明命题“如果两个实数的和与积都是正数，那么这两个数都是正数”时，应先假设______．
6.设集合满足，则满足条件的集合有______个．
7.已知，，则______（用数字作答）
8.若，，且是的充分条件，则实数的取值范围是______．
9.若实数、满足：，则的最小值为______．
10.已知关于的不等式：的解集为，则实数的取值范围是______．
11.已知关于的不等式解集为，则实数的取值范围是______．
12.已知关于的不等式组有且仅有一个整数解，则实数的取值范围为______．
二、选择题（本大题共4题，每题3分，满分12分）
13.已知集合，．若，则实数的值为（ ）
A. B.1 C.1或 D.0
14.已知实数满足，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
15.设全集为，集合是的子集，其文氏图如右图所示．下列选项中，能够表示该图中阴影部分的集合是（ ）
A. B. C. D.
16.“赵爽弦图”如右图所示，它是由中国数学家赵爽于公元3世纪在给《周髀算经》“勾股网方图”作注时给出的一种几何平面图．他用数学符号语言将其表示为“若直角三角形两直角边为、，斜边为（、、均为正数）．则，”．某同学想用软钢丝制作此图，他用一段长8cm的软钢丝作为的长度（制作其它边长的软钢丝足够用），则他能制作出来的“赵爽弦图”的最小面积为（ ）
A.24 B.30 C.32 D.36
三、解答题（第17、18、19、20题每题10分，第21题12分，满分52分）．
17.已知全集，集合，集合．
（1）求集合与集合； （2）求．
18.已知实数满足：．
（1）若满足方程：，求的值；
（2）若，求的值．
19.已知关于的不等式的解集为．
（1）求实数的值；
（2）已知，讨论关于的不等式的解集．
20.社团招新活动中，需设计一份矩形的宣传单（如下图所示），其排版面积（矩形）为，左右两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白．
（1）若，，且该宣传单的面积不超过，则的最大值是多少？
（2）若，，则当长多少时，宣传单的面积最小？最小的面积是多少？
21.已知集合，，，若，，或，则称集合具有“包容”性．
（1）判断集合和集合是否具有“包容”性，并说明理由；
（2）若集合具有“包容”性，求的值．
参考答案
一、填空题
1.； 2.； 3.； 4.； 5.这两个数不都为正数； 6.； 7.； 8.； 9.； 10.； 11.； 12.；
11.已知关于的不等式解集为，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】因为，当且仅当时取等号，
所以不等式解集为，实数的取值范围是．
故答案为：．
二、选择题
13.A； 14.C； 15.B； 16.C
16.“赵爽弦图”如右图所示，它是由中国数学家赵爽于公元3世纪在给《周髀算经》“勾股网方图”作注时给出的一种几何平面图．他用数学符号语言将其表示为“若直角三角形两直角边为、，斜边为（、、均为正数）．则，”．某同学想用软钢丝制作此图，他用一段长8cm的软钢丝作为的长度（制作其它边长的软钢丝足够用），则他能制作出来的“赵爽弦图”的最小面积为（ ）
A.24 B.30 C.32 D.36
【答案】C
【解析】由题可知，，则，
即，所以，当且仅当时，等号成立，
又＂赵爽弦图＂的面积为，
所以当时，＂赵爽弦图＂的最小面积为32.
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1）
（2）①当时，解集为；②当时，解集为；
③当时，解集为
20.社团招新活动中，需设计一份矩形的宣传单（如下图所示），其排版面积（矩形）为，左右两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白．
（1）若，，且该宣传单的面积不超过，则的最大值是多少？
（2）若，，则当长多少时，宣传单的面积最小？最小的面积是多少？
【答案】（1） （2）当长为20cm，宣传单的面积最小，最小的面积是
【解析】（1）由题意可知，该宣传单的面积为：，
则，解得，
又因为，所以，所以的最大值为；
（2）设，则，设宣传单的面积为，
则,
当且仅当，即时取等号，
所以当长为20cm，宣传单的面积最小，最小的面积是．
21.已知集合，，，若，，或，则称集合具有“包容”性．
（1）判断集合和集合是否具有“包容”性，并说明理由；
（2）若集合具有“包容”性，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）1
【解析】（1）对于集合，因为，，
所以集合不具有＂包容＂性；对于集合，
因为集合中任何两个相同或不同的元素相加或相减，
得到的两数中至少有一个属于集合，所以集合具有＂包容＂性。
（2）若集合具有＂包容＂性，令，则，
而，所以，不妨令，则集合且
则，且，
①当时，若，得，此时集合具有包容性；
若，得，舍去；若，无解，舍去；
②当时，则，，由且可知：无解，
所以集合．故．
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