苏科版数学九年级下册 第六章 6.2黄金分割课时提优（含解析）

苏科版数学九年级下册第六章6.2黄金分割
课时提优
一、单选题（本大题共10小题，共30分）
1．[2025安徽安庆·期中，3分]《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，全球票房达到亿．哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点为的黄金分割点，已知哪吒在剧中的身高设定为，则其头部的长度是（ ）
A． B． C． D．
2．[2025山东济南·期中，3分]鹦鹉螺的贝壳呈现出等角螺线，其相邻半径之比是一个常数，展现了自然界精妙的数学规律．如图，已知点是线段的黄金分割点（），若的长为8，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．[2025广东深圳中学·期中，3分]大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点，若，则长为（ ）
A． B． C． D．
4．[2025江西九江一中·期中，3分]如图1，是古希腊时期的帕提侬神庙（），如图把虚线表示的矩形画出图2中的，以矩形的宽为边在其内部作正方形，我们惊奇的发现点是的黄金分割点，则（ ）

A． B． C． D．
5．[2025山东济南·期中，3分]玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符.实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比时，可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度约为（ ）
A． B． C． D．
6．[2024广东东莞·一模，3分]宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（　　）
A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH
7．[2024江苏宿迁·一模，3分]如果一个等腰三角形的顶角为，那么可求其底边与腰之比等于，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形．如图，在中，，，看作第一个黄金三角形；作的平分线，交于点D，看作第二个黄金三角形；作的平分线，交于点E，看作第三个黄金三角形……以此类推，第2024个黄金三角形的腰长是（ ）
A． B． C． D．
8．[2025安徽六安·期中，3分]如图，在中，，平分交于点，则下列结论中不正确的是（ ）
A． B．
C．若，则点是的黄金分割点 D．若点是的黄金分割点，则
9．[2025湖北武汉·期末，3分]如图，将正方形的边向右平移到得到矩形，如果与的比等于与的比，那么就称这个矩形为黄金矩形，黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦．某小区开发商想在小区空地设计一个周长为16米的黄金矩形花坛，则的长是（ ）
A． B． C． D．
10．[2024广西河池·二模，3分]宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感，现在，按照如下的步骤作图：第一步：作一个正方形；
第二步：分别取、的中点M、N，连接；
第三步：以点N为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点E；
第四步：过点E作，交的延长线于F．
则所作图形中是黄金矩形的是（ ）
A．矩形 B．矩形 C．矩形 D．矩形和
二、填空题（本大题共10小题，共30分）
11．[2025安徽合肥·期中，3分]在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高度为，那么它的下部应设计的高度为 ．
12．[2025安徽合肥四十五中·期末，3分]二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳．如图，一把二胡的琴弦长为，千斤线绑在点B处，则B点下方的琴弦长为 ．
13．[2025四川达州·二模，3分]如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中为边的黄金分割点，即：，已知为2米，则线段的长为 米．
14．[2024四川成都七中·期中，3分]2023年第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感．如图，若点C可看做是线段的黄金分割点（），，则 ．（结果保留根号）
15．[2025山西等地·期末，3分]在学习了《图形的相似》之后，同学们利用黄金分割原理设计图案．如图，四边形是正方形，点是线段的黄金分割点（），以为边在正方形内作正方形．按此方式继续构造正方形，得到如图所示的图案．若的长为，则，两点之间的距离为 ．
16．[2025江西景德镇·期中，3分]20世纪70年代，优选法经著名数学家华罗庚倡导在我国得到了较大规模的推广，取得了优异的成果．如图，在中，，，的平分线交于点，点即为线段的黄金分割点．若，则 ．
17．[2025广东深圳·期中，3分]如果一个矩形的宽与长的比等于黄金比，则称该矩形为黄金矩形．如图，已知矩形是黄金矩形，且，，点E是上一点，点G是上一点，将沿直线折叠，使点A落在边上的点F处，再将沿直线折叠，使点D落在上的点H处，则的长为 ．
18．[2024山东滨州·二模，3分]人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的就应用了黄金分割数．设，，记，，……，，则的值为 ．
19．[2024四川成都七中·期中，3分]学习了线段的黄金分割之后，曾老师提出了一个新的定义：点C是线段AB上一点，若＝kn，则称点C为线段AB的“近A，n阶黄金分割点”．例如：若＝k2，则称点C为线段AB的“近A，2阶黄金分割点”；若＝k3，则称点C为线段AB的“近A，3阶黄金分割点”．若点C为线段AB的“近A，6阶黄金分割点”时，k6＝ ．
20．[2024四川乐山·一模，3分]古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若，是边的两个“黄金分割”点，则的面积为 ．
三、解答题（本大题共4小题，共40分）
21．[2024山西阳泉·期中，9分]阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：黄金分割：两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯（Eudoxus，约前408年一前355年）发现：如图1，将一条线段AB分割成长、短两条线段AP、PB，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即（此时线段AP叫做线段PB，AB的比例中项），则可得出这一比值等于（0.618…）．这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点P叫做线段AB的黄金分割点．采用如下方法可以得到黄金分割点：如图2，设AB是已知线段，经过点B作BD⊥AB于点B，且使BD＝AB，连接DA，在DA．上截取DE＝DB，在AB上截取AC＝AE，C就是线段AB的黄金分割点．
任务：（1）求证：C是线段AB的黄金分割点．
（2）若BD＝1，则BC的长为 ．
22．[2025安徽马鞍山·期中，7分]（1）已知 ，且，求的值．
（2）已知是线段上的一个黄金分割点，，，求线段的长．
23．[2024山西长治·期末，14分]阅读下列材料，并解决问题
自然界的设计密码
—黄金比例与叶序现象的完美体现
春黄菊的头状花序呈现出一种令人惊叹的数学规律：小花以螺旋状排列，从不同方向可以数出21条深蓝螺旋和13条浅蓝螺旋，这两个数字属于著名的斐波那契数列（1，1，2，3，5，8，13，21…）．斐波那契数列广泛存在于自然界中，其相邻两项的比值逐渐逼近黄金比例（约0.618）．这种比例是植物生长的关键优化机制，被称为叶序现象．
具体来说，植物在生长过程中以固定的黄金角逐渐生成新的小花或种子，这种角度能够最大化空间利用率，避免重叠并形成紧密且均匀的排列．通过这种机制，春黄菊的螺旋排列不仅展现了自然选择的智慧，还体现了数学的深刻美感．
问题（1）：黄金角是恰好把圆周分成的两条半径的夹角，请求出其中较小的黄金角为______（精确到）．
问题（2）：若斐波那契数列的无理数表达形式为，已知89是斐波那契数列中的某一项，请根据阅读材料内容，求出89的相邻两项．
24．[2025安徽安庆·期中，10分]把一条线段分割为两部分，较长部分与全长的比值等于较短部分与较大的比值．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，被称为黄金分割；其比值是，称之为“黄金比”．如图，点、是反比例函数在第一象限内图象上的任意点，轴于点，连接．
（1）若，，，试求的值；
（2）在（1）的条件下，在轴上取一点，使的值为“黄金比”，求点的坐标．
参考答案
1．【答案】C
【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算即可．
【详解】解：由题知，因为点为的黄金分割点，
所以．
因为，
所以，
所以，
故选C．
2．【答案】D
【分析】本题主要考查了黄金分割比例，熟知黄金分割比例是解题的关键．
根据黄金分割的定义可得据此求解即可．
【详解】解：∵P是的黄金分割点，，
∴；
故选D．
3．【答案】C
【分析】本题考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割是解题的关键．
由题意知，，即，然后计算即可解答．
【详解】解：由题意知，，即，
解得：，.
故选C．
4．【答案】B
【分析】本题考查相黄金分割，根据黄金分割列出比例式，设，，得出，进而求即可．
【详解】解：∵点是的黄金分割点，
∴
∵四边形为正方形，
∴，
设，，
∴
∴（负值舍去）
∴
故选B．
5．【答案】B
【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算即可．
【详解】解：∵液面高度与瓶高之比为黄金比，
∴，
故选B．
6．【答案】D
【分析】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF的长，再根据DF=GF求得CG的长，最后根据CG与CD的比值为黄金比，判断矩形DCGH为黄金矩形．
【详解】解：设正方形的边长为2，则CD=2，CF=1
在直角三角形DCF中，
∴矩形DCGH为黄金矩形
故此题答案为D．
7．【答案】A
【分析】由黄金三角形的定义得，同理求出，，可得第1个黄金三角形的腰长为，第2个黄金三角形的腰长是，第3个黄金三角形的腰长是，第4个黄金三角形的腰长是，得出规律第n个黄金三角形的腰长是，即可得出答案．
【详解】解：∵是第1个黄金三角形，第1个黄金三角形的腰长为，
∴，
，
∵是第2个黄金三角形，
∴，第2个黄金三角形的腰长是，
，
∵是第3个黄金三角形，
∴，第3个黄金三角形的腰长是，
，
∴第4个黄金三角形的腰长是，
…
第n个黄金三角形的腰长是，
第2024个黄金三角形的腰长是，
故此题答案为A．
8．【答案】D
【分析】设，过点作，根据平分交于点，得出，，根据，则，即可表示出，即可判断A选项；设的边上的高为h，根据等面积法表示出，即可判断B选项；由，得，证明，，得出，则点是的黄金分割点，即可判断C选项；根据顶角为的等腰三角形，其底边与腰之比为黄金分割比，讨论即可判断．
本题考查了黄金分割，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，相似三角形判定与性质．掌握以上知识点是解决问题的关键．
【详解】解：A：设，过点作，
∵平分交于点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故A正确；
B：设的边上的高为h，
则，
∴，故B正确；
C：由，得，
∵平分交于点，
，
，，
，
，
∵，
，
，
∵，
，
即点是的黄金分割点，故C正确；
D：根据选项C可知若，则点是的黄金分割点，，
即，
则，
即顶角为的等腰三角形，其底边与腰之比为黄金分割比．
如图，
当时，作等腰三角形，
则，
利用“”可证，则，
故，即点是的黄金分割点．
故若点是的黄金分割点，则存在或满足条件，故D错误．
故选D．
9．【答案】C
【分析】根据黄金分割的含义可得，设，再结合正方形与矩形的性质再建立方程求解即可．
【详解】解：∵正方形，矩形，
∴，，
∵矩形的周长为，设，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴，
故此题答案为C.
10．【答案】D
【分析】设正方形的边长为，结合线段中点特点得到，，由勾股定理可得，进而可得，再利用黄金矩形的定义进行判断即可得出答案．
【详解】解：设正方形的边长为，
、N为、的中点，
，，
，
由画图可知：，
对于矩形，，不是黄金矩形；
对于矩形，，是黄金矩形；
对于矩形，，不是黄金矩形；
对于矩形，，是黄金矩形；
矩形和是黄金矩形，
故此题答案为D．
11．【答案】
【分析】本题主要考查黄金分割，设它的下部应设计的高度为，则雕像的上部为，根据题意得到，解方程即可求解．
【详解】解：设它的下部应设计的高度为，则雕像的上部为，
由题意得，，
∴，
解得或（舍去），
∴它的下部应设计的高度为.
12．【答案】
【分析】根据黄金分割的定义即可解决问题．
【详解】二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，
即点B为黄金分割点，
设B点下方的琴弦长为，
且二胡的琴弦长为
则有，
解得
13．【答案】/
【分析】根据点E是的黄金分割点，可得，代入数值得出答案．
【详解】解：∵点E是的黄金分割点，，
∴．
∵米，
∴米．
14．【答案】/
【分析】本题考查了黄金分割，解题的关键是根据黄金分割的定义列式计算，即可解答．
【详解】解：点可看作是线段的黄金分割点，，
.
15．【答案】
【分析】先由正方形的性质得，再由黄金分割求出，再根据正方形的性质得到，，即可由勾股定理求解．
【详解】解：连接，
∵正方形，
∴，
∵点是线段的黄金分割点（），
∴，
∵正方形，
∴，，
∴．
16．【答案】/
【分析】本题考查了黄金分割，掌握黄金比是解题的关键．根据点为线段的黄金分割点得到，求出，即可求出．
【详解】解：∵点为线段的黄金分割点，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴．
17．【答案】
【分析】本题考查了黄金分割，折叠的性质，正方形的判定，矩形的性质等知识，掌握这些知识是关键；由黄金分割得的长，由矩形及折叠的性质可得四边形是正方形，则；由折叠知，由即可求解．
【详解】解：∵矩形是黄金矩形，且，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵沿直线折叠得到，点A落在边上的点F处，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∵沿直线折叠，点D落在上的点H处，
∴，
∴.
18．【答案】
【分析】根据题意可得：，利用分式的加减法求出各的值后，相加即可．
【详解】解：∵
∴，，
，
∴
19．【答案】
【详解】解：由题意，点C为线段AB的“近A，6阶黄金分割点”时，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
整理得，
解得或，
经检验，或是上述分式方程的解，
∵，
∴.
20．【答案】
【分析】过点作于点，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理求出，根据线段“黄金分割”点的定义得到，的长，求出的长，最后由三角形面积公式解答即可．
【详解】解：如图，过点作于点，
，，
，
在中，，
，是边的两个“黄金分割”点，
，
，
．
21．【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）在直角三角形△ABD中设则 ，利用勾股定理求出，再求出，即，则，即可得出结论；
（2）若BD＝1，则 ，把AB代入到即可求出AC，进而可求出BC．
【详解】解：（1）∵BD⊥AB，
∴△ABD是直角三角形，
∵BD＝AB，
∴设则 ，
∴ ，
∵DE＝DB，AC＝AE，
∴ ，
∴
∴，
∴ ，
故C是线段AB的黄金分割点．
（2）若BD＝1，则 ，
由（1）知，
∴，
∴ ，
∴ ．
22．【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了比例的性质，黄金分割点的定义；
（1）设 ，则，代入已知等式求得，进而求得的值；
（2）根据黄金分割的定义可得，进而求得的长．
【详解】（1）解：设 ，则，
，
，解得，
．
（2）解：点是线段的黄金分割点，，若，
，
23．【答案】（1）；（2）55和143.
【分析】（1）根据黄金角是恰好把圆周分成的两条半径的夹角进行计算即可；
（2）设89的前面一项为，89的后面一项为，根据斐波那契数列广泛存在于自然界中，其相邻两项的比值逐渐逼近黄金比例，进行计算即可求解．
【详解】解：（1）黄金角是恰好把圆周分成的两条半径的夹角，
其中较小的黄金角为，
（2）设89的前面一项为，89的后面一项为，
斐波那契数列广泛存在于自然界中，其相邻两项的比值逐渐逼近黄金比例，
，
89的相邻两项分别是55和143．
24．【答案】（1）
（2）或
【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，黄金分割，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据题意可得，再把代入反比例函数解析式中计算求解即可；
（2）由（1）可得，根据题意可得，据此求出的长即可得到答案．
【详解】（1）解：∵轴，，，
∴，
∵，
∴反比例函数解析式为，
∵在反比例函数的图象上，
∴，
∴（已检验）或（舍去）；
（2）解：由（1）可得，
∵的值为“黄金比”，
∴，
∴，
∴点P的坐标为或．
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