初中数学二轮专题几何模型提优讲义——阿氏圆模型

初中数学几何模型提优讲义——阿氏圆模型
一.模型名称由来
【模型背景】 “”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。当值为1时，即可转化为“”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。而当取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。此类问题的处理通常以动点所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。即点在直线上运动和点在圆上运动。其中点在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
【模型由来】 “阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点、，则所有满足（）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
二.模型建立
如图1所示，的半径为，点、都在外，为上一动点，已知，连接、，则当“”的值最小时，点的位置如何确定？
模型解读：最早见“”型问题应该是在“将军饮马”问题中，而本题多了一个“”，故如何确定“”的大小是关键，如图2，在线段上截取使，则可说明与相似，即。故本题求“”的最小值可以转化为“”的最小值，其中与与为定点，为动点，故当、、三点共线时，“”值最小。如图3
三、“阿氏圆”模型破解策略
【破解策略详细步骤解析】
第一步：连接动点于圆心（一般将含有的线段两端点分别与圆心相连），即连接、；
第二步：计算出线段与及与的线段比，找到线段比为的情况，如例子中的
第三步：在上取点，使得；（核心关键步骤）
第四步：连接，与的交点即为点
【核心步骤另单独解析】
回顾图2，在上取点构建的目的是为了形成“母子型相似模型”，“母子型相似”的构建是“阿氏圆”模型破解的“核武器”，“母子型相似”一出，“阿氏圆”直接秒杀。
将图2中单独提取出，如图4，上色渲染的，就是“母子型相似模型”，“母子型相似模型”的特点如图4，与有公共角，且（在某些角度处理策略中，“母子型相似”的主要特征是、）
(构造的点)
（构造出后可以得到，进而推出，即“半径的平方=原有线段×构造线段”，确定的位置后，连接，求出长度“阿氏圆”即可破解）
四、“阿氏圆”典型例题讲解
例1：如图1，在中，，，，半径为2，为圆上一动点，连接、，求的最小值。
解答：如图2，连接 ，因为 ，，，简单推算得 ，，而题目中是求“”其中的“”，故舍弃在 上取点，应用“”，所以在 上取一点 ，使 ，则有 ，无论 如何移动， 与 始终相似，故 始终成立，所以 ，其中 、 为定点，故 、、 三点共线时最小，（思考：若求呢？）
（大家仔细看第一题的解答过程，边看边与前面的“破解策略”对照，动脑筋悟出“核武器”）
例2：已知扇形 中，，，，，点 是弧 上一点，求 的最小值.
解答：首先连接 ，因为 ，，，所以 、，题目求的是“”，其中的“”与之相关的是 ，故在 上取点，考虑到是 ，故在 上取点 ，使 ，则有 ，无论 如何移动， 与 始终相似，故 始终成立，所以 ，其中 、 为定点，故 、、 三点共线时最小，.（思考：若求呢？）
例3：如图1，已知 ，，， 的半径为4，点 是 上的动点，连接 、，则 的最小值为？
解答：首先连接 ，因为 ，，，所以 、，题目求的是“”，其中的“”与之相关的是，故在 上取点，故在 上取点 ，使 ，则有，无论 如何移动， 与 始终相似，故 始终成立，所以 ，其中 、 为定点，故 、、 三点共线时最小，．（思考：若求呢？）
例4：如图1，在 中，，，，点 为 内一动点，且满足 ，则的最小值？
解答：此题关键在于看出是“阿氏圆模型”，首先从问题看，可能是“阿圆”，接着题目条件“”更加确定此题有隐藏圆，如图2， 在 的 上，下面步骤完全与上相同，故略。答案：
例5：如图1，在 中，，，， 的半径为2，点 是 上一动点，则 的最小值？
解答：如图2，连接 ，口算 、，故选择在 上取点，构造“核武器”“母子型相似模型”，取点 ，使 ，则有，所以无论 如何移动， 与 始终相似，故 始终成立，所以 ，其中 、 为定点，故 、、 三点共线时最小，．（思考：若求呢？）
例6：如图1，正方形边长为4，的半径为2，是上一动点，则的最小值？
解答：此题，初学者有可能会陷入误区，以为很难，因为按照前面题的套路、（因为前面我们都是比较这三条线段啊），感觉好像和 “” 没关系啊！实际上对 “阿氏圆” 套路的理解不够深，我们研究的线段是圆心到 “一动两点”，在此题中，“一动” 指的是 “动点”，“两定” 不是指、，而是要看问题 “” 问题中为动点，、才是定点，故本题应该比较，，故选择在上取点（如图2），使得，则有，所以无论如何移动，与始终相似，故始终成立，所以，其中、为定点，故、、三点共线时最小，，
，故答案为．（思考：若求呢？）
例7：如图1，在已知菱形的边长为4，，的半径为2，为上一动点，则的最小值？
解答：比较 、、，得 ，，故在 上取点 ，使得 ，故 ，所以 ，（思考：若求 呢？）
例8：在平面直角坐标系中，、、、， 是 外部的第一象限内一动点，且 ，则 的最小值是？
解答：首先从问题，大概看出是 “胡不归” 或者 “阿氏圆” 的问题，然后 是动点，但是 是定线段， 是定值，属于 “定弦定角”“隐圆模型”，故构建 ，如图2，然后下面过程略，答案：
例9：如图1，在 中，，，， 的半径为6， 是 上的动点，连接 、，则 的最小值？
解答：如图2，取 ，，故 ，所以 ，利用 ，可以求出 ，进而可知 ，，故
“阿氏圆”实战训练
练1：如图，在边长为4的正方形ABCD内，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则的最小值为？
（答案：）
练2：如图，等边的边长为6，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则的最小值为？
（答案：）