苏科版数学九年级下册第六章6.3相似图形课时提优（含解析）

苏科版数学九年级下册第六章6.3相似图形
课时提优
一、单选题（本大题共10小题，共30分）
1．[2024河北石家庄·期中，3分]学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙．下面是王亮从艺术墙上选取的四幅形状不同的作品，在同一幅作品中，内、外边框的图形不一定相似的是（ ）
A． B．
C． D．
2．[3分]泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明.泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的（ ）
A．图形的平移B．图形的旋转C．图形的轴对称D．图形的相似
3．[2025河北邢台·期末，3分]如图，四边形的顶点在方格纸的格点上，下列方格纸中的四边形与已知四边形相似的是（ ）
A．B．C． D．
4．[2025江西九江·期中，3分]一个矩形剪去一个以宽为边长的正方形后，所剩下的矩形与原矩形相似，则原矩形的长与宽的比是（　　）
A． B． C． D．
5．[2025山东济南·期中，3分]某物质的分子结构如图所示，所有六边形都是正六边形，用放大镜观察该分子结构，则保持不变的是（ ）
A．的长度 B．六边形的周长
C．六边形的面积 D．
6．[2025重庆江北·期末，3分]如图，点D、点E在的边上，且，，则与的相似比为（ ）
A． B． C． D．
7．[3分]如图，△ABC与△BEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE=2OB，则△ABC与△DEF的周长之比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9
8．[3分]在平面直角坐标系中，把以原点为位似中心放大，得到，若点A和它的对应点的坐标分别为，则与的相似比为（ ）
A． B．2 C． D．3
9．[2025吉林长春·期中，3分]如图，四边形四边形，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．[2025河北唐山·一模，3分]如图，老师利用复印机将一张长为，宽为的矩形的数学检测卷等比例缩小，其中缩小后的长为，则缩小后的矩形面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
11．[2025山东聊城·期中，3分]秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”如图是两片形状相同的枫叶图案，则x的值为 ．
12．[2025陕西咸阳·期中，3分]已知五边形五边形，若，则五边形与五边形的面积之比为 ．
13．[2024河南许昌市第一中学·期末，3分]下列五组图形中，①两个等腰三角形；②两个等边三形；③两个菱形；④两个矩形；⑤两个正方形．一定相似的有_______（填序号）
14．[2025广东河源·期中，3分]如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠ADC＝120°，以AC为边作菱形ACC1D1，且∠AD1C1＝120°；再以AC1为边作菱形AC1C2D2，且∠AD2C2＝120°…；按此规律，菱形AC2020C2021D2021的面积为 ．
三、解答题（本大题共5小题，共58分）
15．[2025江西九江一中·期中，10分]如图①，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC．
（1）若AB＝6，AC＝5，AD＝4，求CE的长．
（2）连接BE，作DF∥BE交AC于点F，如图②，求证：AE2＝AF AC．

16．[2025安徽马鞍山·期中，10分]如图，在中，，，，动点在（与点、不重合）边上，交于点．
（1）当的面积与四边形的面积相等时，求的长；
（2）当的周长与四边形的周长相等时，求的长．
17．[2025安徽安庆·期中，12分]如图，，，．
（1），求；
（2），求的长．
18．[2025江西景德镇·期中，12分]如图，矩形为一块绿地，长为，宽为，现计划在绿地中央建一个矩形花圃．要使矩形花圃的面积是原矩形绿地面积的一半，且矩形花圃四周的绿地等宽．
（1）求花圃四周绿地的宽度；
（2）矩形与矩形相似吗？请说明理由．
19．[2024山东青岛·期中，14分]如图所示，小林在一块长为，宽为的矩形小花园周围栽种兰花来装饰（小花园的一边靠墙），兰花的边框宽均为，边框内外边缘所围成的两个矩形相似吗？请说明理由．
参考答案
1．【答案】A
【分析】根据图形相似的概念进行判断即可．
【详解】解：两个矩形不一定相似，但两个正方形、两个等边三角形及两个圆一定相似．
故此题答案为A．
2．【答案】D
3．【答案】D
【分析】如果两个四边形的四条边对应成比例，且四个角对应相等，那么这两个四边形相似，据此求解即可．
【详解】解：设每个小正方形的边长为1，
则已知四边形的四条边分别为1，，2，．
选项A中的四边形的四条边分别为，2，2，，两个四边形的四条边不是对应成比例，故选项A中的四边形与已知四边形不相似，不符合题意；
选项B中的四边形的四条边分别为2，，，4，两个四边形的四条边不是对应成比例，故选项B中的四边形与已知四边形不相似，不符合题意；
选项C中的四边形的四条边分别为2，，，4，两个四边形的四条边不是对应成比例，故选项C中的四边形与已知四边形不相似，不符合题意；
选项D中的四边形的四条边分别为2，，4，，两个四边形的四条边对应成比例．
将已知四边形表示为四边形，将选项D中的四边形表示为．
如图，连接，，则，．
在与中，
，
，
，，．
在与中，
，
，
，，，
，，，，
又，
四边形四边形．
故此题答案为D．
4．【答案】D
【分析】本题考查了相似多边形的性质，利用相似多边形的性质，列出比例方程求解原矩形的长宽比，熟练掌握相似多边形的性质是解此题的关键．
【详解】解：设原矩形的长为，宽为，剪去以宽为边长的正方形后，剩下矩形的长为，宽为，
∵原矩形与剩下矩形相似，
∴，
令，则，
∴，即，
解得：，
∵长宽比大于 1，
∴，
故选D．
5．【答案】D
【分析】本题考查相似图形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
利用相似三角形的性质判断即可．
【详解】解：∵所有六边形都是正六边形，
∴，
连接，
∴
依题意，用放大镜观察该分子结构：原图形与放大后的图形是相似图形，
∴的长度变大，六边形的周长变大，面积变大，
故选D
6．【答案】B
【分析】先求得，再证明，再根据相似三角形的性质即可解答．
【详解】解：∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴．
故此题答案为B．
7．【答案】A
【分析】
利用位似的性质得△ABC∽△DEF，OB：OE= 1：2，然后根据相似三角形的性质解决问题．
【详解】
解：∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．
∴△ABC∽△DEF，OB：OE= 1：2，
∴△ABC与△DEF的周长比是：1：2．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
8．【答案】D
【分析】
根据坐标与图形的性质进行解答即可．
【详解】
解：∵△ABC和△A′B′C′关于原点位似，且点A和它的对应点A′的坐标分别为
∴对应点乘以3，则△A′B′C′与△ABC的相似比为：3．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是位似变换，熟知在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k是解答此题的关键．
9．【答案】B
【分析】本题考查的是相似多边形的性质、多边形内角和定理，根据相似多边形的性质求出，根据四边形内角和等于计算，得到答案．
【详解】解：∵四边形四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选B．
10．【答案】D
【分析】由相似多边形的对应边成比例，即可求解．
【详解】解：设缩小后的宽是，
∵缩小前后的两个矩形相似，
∴，
∴，
∴放大后的宽是，
放大后的矩形的面积．
故选D．
11．【答案】11
【分析】根据两个图案相似，列出比例式即可求解．
【详解】解：因为是两片形状相同的枫叶图案，
所以两个枫叶相似；
故；
解得，.
12．【答案】
【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的面积比等于相似比的平方求解即可．
【详解】解：∵五边形五边形，且，
所以相似比为．
根据相似多边形的性质，面积比等于相似比的平方，即
故答案为．
13．【答案】②⑤
【分析】根据相似图形的性质对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】两个等腰三角形的顶角不一定相等，故不一定相似；
两个等边三角形一定相似；
两个菱形的内角不一定相等，故不一定相似；
两个矩形的相邻边长比例不一定相等，故不一定相似；
两个正方形一定相似；
故答案为：②⑤．
【点睛】本题考查了图形相似的知识；解题的关键是熟练掌握相似图形的性质，从而完成求解．
14．【答案】
【分析】根据题意，可以求得菱形ABCD的面积，再根据题意，可以知所有的菱形都相似，即可得到菱形AC2020C2021D2021的面积．
【详解】解：作CE⊥AB交AB的延长线于点E，如右图所示，
由已知可得，
∠ABC＝120°，BC＝1，∠CAB＝30°，
∴∠CBE＝60°，
∴∠BCE＝30°，
∴CE＝，
∴AC＝，
∴菱形ABCD的面积是1×＝，
∵＝，图中的菱形都是相似的，
∴菱形AC2020C2021D2021的面积为：×[（）2]2021＝×（）4042＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了图形的相似、菱形的性质、图形的变化类，解题的关键是明确题意，发现图形的变化特点，利用数形结合的思想解答．
15．【答案】（1）（2）见详解
【分析】（1）如图①，根据平行线分线段成比例定理得到，则利用比例性质可计算出AE的长，然后计算AC﹣AE即可；
（2）由DF∥BE得到，由DE∥BC得到，利用等量代换得，然后利用比例的性质可得到结论．
【详解】（1）如图①．
∵DE∥BC，∴，即，∴AE，∴CE＝AC﹣AE＝5；
（2）如图②．
∵DF∥BE，∴．
∵DE∥BC，∴，∴，∴AE2＝AF AC．
16．【答案】（1）
（2）
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，利用相似三角形面积的比等于相似比的平方和相似三角形对应边成比例求解．
（1）根据题意得的面积是的面积的，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求出；
（2）根据相似三角形对应边成比例，设的长为，用表示出的长度，再根据周长相等列出等式，解方程即可．
【详解】（1）解：的面积与四边形的面积相等，
，
又，
，
，且，
；
（2）解：设的长为，
，
，
，
由的周长与四边形的周长相等，得，
解得，
的长为．
17．【答案】（1）6
（2）5
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用所学知识是解题的关键．
（1）根据平行线分线段成比例定理求解即可；
（2）根据平行线分线段成比例定理得到，然后代值计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，即，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
解得，
∴的长为5．
18．【答案】（1）
（2）不相似，理由见详解
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及相似多边形的判定，熟练掌握矩形的面积公式和相似多边形的定义是解题的关键．
（1）设花圃四周绿地的宽度为米，根据矩形面积公式，分别表示出花圃的长和宽，再结合花圃面积是原绿地面积的一半列出方程求解．
（2）先求出矩形的长和宽，再根据相似多边形的定义，判断对应边的比例是否相等，对应角是否相等（矩形的内角都是直角，对应角相等）．
【详解】（1）解：设花圃四周绿地的宽度为米．则花圃的长为米，宽为米．由题意得
，
，
解得或，
∵绿地的宽度不能超过原矩形的宽度，即，解得，
∴，
答：花圃四周绿地的宽度为；
（2）解：矩形与矩形不相似，理由如下：
由（）知，，则矩形的长为米，宽为米．
原矩形的长与宽的比值为，矩形的长与宽的比值为．
∵
∴矩形与矩形不相似
19．【答案】边框内外边缘所围成的两个矩形不相似
【分析】根据相似图形的定义，结合已知条件求得外框外边缘所围成的长与宽的比以及矩形中长宽的比，进而比较作答即可．
【详解】解：∵矩形的长为，宽为，
∴长：宽，
∵外框外边缘所围成的矩形的长为，宽为，
∴长：宽，
∵，对应边不成比例，
∴边框内外边缘所围成的两个矩形不相似．
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