苏科版数学九年级下册第六章6.1图上距离与实际距离 课时提优（含解析）

苏科版数学九年级下册第六章6.1图上距离与实际距离
课时提优
一、单选题（本大题共10小题，共30分）
1．[2025安徽马鞍山·期中，3分]若，则下列式子错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．[2025安徽安庆·期中，3分]若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．[2025重庆万州·期中，3分]下列四组线段中，不是成比例线段的是（　　）
A． B．
C． D．
4．[2025北京延庆·期中，3分]线段a，b，c，d的长度如下：
①，，，； ②，，，；
③，，，； ④，，，；
以上4组数据中，能使a，b，c，d构成比例线段的有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
5．[2025陕西咸阳·期中，3分]已知线段是成比例线段，其中，则的值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．[2025辽宁阜新实中·期末，3分]如图，等腰直角中，，是的中线，以D为圆心，为半径画弧，交于点E．以B为圆心，为半径画弧，交于点M，则下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
7．[2025辽宁沈阳·月考]定义新运算：对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中的较大值，如：．因此，；按照这个规定，若，则的值是（ ）
A．－1 B．－1或 C． D．1或
8．[2024重庆沙坪坝·月考]如图，某一时刻两个建筑物和在太阳光照射下影子的端点刚好重合在地面的点E处，若米，米，米（点B、D、E在同一水平线上，A、B、C、D、E在同一平面内），则建筑物的高度为（ ）
A．8米 B．16米 C．24米 D．32米
9．[九年级·课时练习]若，则的值为（ ）
A．2 021 B．2 022 C．2 023 D．2 024
10．[2025安徽芜湖·一模，3分]已知非负数a，b，c满足，设，则S的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共10小题，共30分）
11．[2025江苏盐城·一模，3分]如图，已知，，，，则 ．
12．[2024吉林长春·二模，3分]小慧同学在学习“图形的相似”一章后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值______，感受这种特殊化的学习过程.
13．[2025安徽安庆·期中，3分]在比例尺1：500000的地图上，量得A、B两地的距离为4cm，则A、B两地的实际距离是 千米．
14．[九年级·课时练习]如图，直线与轴交于点，与轴交于点.过点作直线与轴正半轴交于点，取线段，，，当其中一条线段的长是其他两条线段长度的比例中项时，点的坐标为 .
15．[2024四川成都九中·期中，3分]如图，小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD＝12米，BC＝20米，CD的坡度为i＝1：2；且此时测得1米杆在地面上的影长为2米，则电线杆的高度为 米．
16．[2024四川成都·期中，3分]若，且，则的值为 ．
17．[2024福建厦门·二模，3分]如图，在中，，连接，，分别交于点M，N．则的值为 ．
18．[九年级·期末，3分]如图，扇子的圆心角为 ，余下扇形的圆心角为 ，与的比通常按黄金比来设计，这样的扇子外形比较美观，若黄金比取，则的值为 ．
19．[2024湖南娄底·期中，3分]一个长方体物体的一顶点所在A、B、C三个面的面积比是，如果分别按A、B、C面朝上将此物体放在水平地面上，地面所受的压力产生的压强分别为、、（压强的计算公式为），则 ．
20．[2024四川省成都市树德中学·月考]大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为 ．（结果保留根号）
三、解答题（本大题共5小题，共40分）
21．[2025安徽合肥·期中，5分]已知是的三边长，且，求：
（1）的值．
（2）若的周长为91，求各边的长．
22．[2025安徽安庆·期中]如图，，，．
（1），求；
（2），求的长．
23．[2025安徽马鞍山·期中，5分]（1）已知 ，且，求的值．
（2）已知是线段上的一个黄金分割点，，，求线段的长．
24．[2025安徽安庆·期中]已知线段、满足，且．
（1）求、的值；
（2）若线段是线段、的比例中项，求的值．
25．[2024贵州六盘水·期中，8分]已知，如图，在 中， ，求证：
(1) ;
(2) ．
参考答案
1．【答案】D
【分析】根据分式的性质进行化简计算，逐一判断即可解答．本题考查了分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴设，
A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、即，故该选项不符合题意；
D、，故该选项符合题意；
故选D．
2．【答案】B
【分析】设x=4k，y=3k，然后代入化简即可.
【详解】设x=4k，y=3k，
∴.
故选B.
3．【答案】C
【分析】本题考查了成立比例的线段，在四条线段中，如果其中的两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．根据成比例线段的定义逐项分析即可.
【详解】解：A.∵，故选项A中的线段成比例；
B.∵，故选项B中的线段成比例；
C.∵，故选项C中的线段不成比例；
D.∵，故选项D中的线段成比例；
故选C．
4．【答案】C
【分析】本题考查了成比例线段的判断；其方法为：将四条线段的长度从小到大排列，若最大值与最小值的乘积等于中间两个值的乘积，则这四条线段能构成比例线段．
【详解】解：①，，，，
，即，故成比例．
②，，，，
，即，故成比例．
③，，，；
，即，故成比例．
④，，，；
，即，故不成比例，
∴ 成比例的有3组．
故选C
5．【答案】C
【分析】本题主要考查成比例线段的定义，根据定义可得，据此即可求得答案．
【详解】解：∵线段，，，是成比例线段，
∴．
∵
∴
故选C．
6．【答案】D
【分析】设，则，利用勾股定理求出，从而可得的长，然后逐项判断即可得．
【详解】解：设，
∵是的中线，
∴，
∵，
∴，
由作图可知，，
∴．
A、，，则此项不成立，不符合题意；
B、，，则此项不成立，不符合题意；
C、，，则此项不成立，不符合题意；
D、，，则此项成立，符合题意；
故此题答案为D．
7．【答案】B
【分析】分x>0和0x<0两种情况分析，利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】解：当x>0时，有，解得， (舍去)，
x<0时，有，解得，x1= 1，x2=2(舍去)．
故选B.
8．【答案】C
【分析】根据在同一时刻物高与影长成正比求解即可．
【详解】解：由题意得：，
∵米，米，米
∴
∴（米）．
故此题答案为：C．
【关键点拨】本题考查成比例线段的应用．熟练掌握在同一时刻物高与影长成正比是解题的关键．
9．【答案】C
【解析】，，.故选C.
10．【答案】A
【分析】设，则，，，可得；利用，，为非负实数可得的取值范围，从而求得最大值．
【详解】解：设，则，，，
，
∵，
∴随的增大而减小，
，，为非负数，
，
解得：．
当时，取最大值为，
当时，取最小值，
∴S的取值范围是．
故此题答案为A．
11．【答案】
【分析】掌握比例线段定义对于四条线段，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
【详解】解：∵，，，，
∴，
∴，
∴
12．【答案】2
【解析】,，，，故答案为2.
13．【答案】20
【分析】根据比例尺的定义，可求得两地的实际距离．
【详解】解：设实际距离为xcm，则：
1：500000＝4：x，
解得x＝2000000．
2000000cm＝20000m＝20km．
14．【答案】，或或
【解析】 直线与轴交于点，与轴交于点， 点的坐标是，点的坐标是，， 点在轴正半轴上， 设点的坐标是.当线段的长是其他两条线段长度的比例中项时，，，解得， 点的坐标是，；当线段的长是其他两条线段长度的比例中项时，，，解得， 点的坐标是；当线段的长是其他两条线段长度的比例中项时，，，解得（负值已舍去）， 点的坐标是.综上所述，点的坐标是，或或.故答案为，或或.
15．【答案】##
【分析】
如图，延长与的延长线交于 过作于 利用坡度先求解 再利用同一时刻物高与影长成比例求解 从而可得答案.
【详解】
解：如图，延长与的延长线交于 过作于
设 则
因为同一时刻测得1米杆在地面上的影长为2米，
而
同理可得：
故答案为：
【点睛】
本题考查的是成比例的线段，坡度的含义，掌握“同一时刻物高与影长成比例”是解题的关键.
16．【答案】76
【分析】利用设法，进行计算即可解答．
【详解】解：设，
，，，
，
，
，
，
，，，
17．【答案】
【分析】由平行四边形的性质得，，由，推导出，再证明，，则，，求得，，则，所以，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，同理：，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴
18．【答案】225
【解析】根据题意得.又，，故答案为225．
19．【答案】
【分析】根据、、三个面的面积比是，设出、、三个面的面积分别是，，，再根据压强的计算公式为表示，，，计算化简即可．
【详解】解：∵一个长方体物体的一顶点所在A、B、C三个面的面积比是，
∴设、、三个面的面积分别是，，，
∵，
∴，，，
20．【答案】/
【分析】把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，黄金分割的比值是，即．
【详解】解：∵为的黄金分割点（），的长度为，
∴，
∴，
∴的长度为．
21．【答案】（1）
（2），，
【分析】本题考查比例的性质，比例的应用等知识，设，从而用表示出是解题的关键．
（1）设，从而用表示出，再代入化简即可得解；
（2）根据的周长为，即，从而将（1）中的结论代入求出t即可得解．
【详解】（1）解：设，
，，，
代入，得；
（2）由题意知，，
则，
解得，
，，．
22．【答案】（1）6
（2）5
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用所学知识是解题的关键．
（1）根据平行线分线段成比例定理求解即可；
（2）根据平行线分线段成比例定理得到，然后代值计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，即，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
解得，
∴的长为5．
23．【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了比例的性质，黄金分割点的定义；
（1）设 ，则，代入已知等式求得，进而求得的值；
（2）根据黄金分割的定义可得，进而求得的长．
【详解】（1）解：设 ，则，
，
，解得，
．
（2）解：点是线段的黄金分割点，，若，
，
24．【答案】（1），
（2）
【分析】本题考查了比例线段，解题的关键是掌握对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意利用代数的方法解决较为简便．
（1）利用，可设，，则，然后解出的值即可得到、的值；
（2）根据比例中项的定义得到，即，然后根据算术平方根的定义求解．
【详解】（1）解：，
设，，
，
，
解得，
，；
（2）线段是线段、的比例中项，
，
是线段，，
．
25．【答案】
(1)见详解；
(2)见详解.
【详解】
（1）证明：∵ ,
∴ ,
∴ ；
（2）证明：∵ ,
∴ ，
∴ ．
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