第一章 二次函数 单元测试 （含答案）初中数学湘教版九年级下册
文档属性
| 名称 | 第一章 二次函数 单元测试 （含答案）初中数学湘教版九年级下册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 215.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-08 21:17:34 | ||
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文档简介
湘教版九年级下 第1章 二次函数 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A． B．s=2t2-2t+1
C．y=ax2+bx+c D．y=（x-1）2-x2
2．抛物线y=x2-2x-3与y轴交点的坐标是（ ）
A．（0，3） B．（3，0） C．（-1，O） D．（0，-3）
3．将抛物线y=（x-1）2向右平移1个单位后所得到抛物线的解析式是（ ）
A．y=（x-2）2 B．y=x2 C．y=x2+1 D．y=x2-1
4．二次函数y=mx2+mx（m＜0）的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
5．已知二次函数y=-x2+2x+2的图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），如果x1＜x2＜0，那么y1、y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1=y2 D．无法确定
6．已知一次函数y=ax+b图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx-a在平面直角坐标系中的图象是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，对称轴为直线x=1的抛物线y=ax2+bx+c与y轴负半轴相交，且与x轴的负半轴的交点的横坐标大于-1而小于0，下列描述：①b=-2a,②abc＞0，③b2-4ac＞0；④a-b+c＞0，其中描述正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．坐落于开封清明上河园中的虹桥是一座抛物线型拱桥，被列为中国十大名桥之一．按如图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽AB为16m,当水位上升3m时，水面宽CD为（ ）
A．4m B．8m C．10m D．12m
9．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，若|ax2+bx+c|=k（k≠0）有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）
A．k＜-3 B．k＞-3 C．k＜3 D．k＞3
10．在同一平面直角坐标系中，直线y1=-2x+k和抛物线，如图所示，m1，m2是方程ax2+bx+c=-2x+k的两个根，且m1＜m2，则函数y=m1x-m2的坐标系中的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
11．在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF．设点P的运动时间为t s,正方形DPEF的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．由图象可知△ABC的面积为（ ）
A．5 B． C． D．6
12．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的对称轴为直线x=-1，且该抛物线与x轴交于点A（1，0），与y轴的交点B在（0，-2），（0，-3）之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（ ）
①abc＞0；
②9a-3b+c≥0；
③；
④若方程ax2+bx+c=x+1两根为m,n（m＜n），则-3＜m＜1＜n.
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共5小题）
13．二次函数y=（x+2）2+2的顶点坐标是 ______．
14．如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1，关于x的方程ax2+bx+c=0的一个根为x=4，则另一个根为 ______．
15．已知二次函数y=-x2+2x+m的图象如图所示，当x＞0时，y的取值范围是 ______．
16．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x=2，与y轴交于点（0，-2），则当y＜-2时，x的取值范围是 ______．
17．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（-2，0），对称轴为直线x=1，下列结论中一定正确的是______（填序号即可）．①abc＞0；②若A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，当x=x1+x2时，y=c；③若方程a（x+2）（4-x）=-2的两根为x1，x2，且x1＜x2，则-2＜x1＜x2＜4；④（a+c）2＞b2．
三．解答题（共5小题）
18．已知二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，求：
（1）点A、B、C的坐标；
（2）△ABC的面积．
19．如图，直线y1=-x+3与x轴、y轴分别相交于B、C，经过B、C两点的抛物线y2=ax2+bx+c与x轴另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2．
（1）求抛物线解析式；
（2）当y1＜y2时，直接写出x的取值范围．
20．如图，在平面直角坐标系中，已知B（0，2），，点A在x轴正半轴上，且OA=2OB，二次函数y=ax2+bx（a≠0）的图象经过点A，C．
（1）求二次函数的表达式；
（2）将该抛物线先向右平移m个单位，再向上平移n个单位，此时顶点恰好落在线段AB上，求m与n的关系．
21．一次足球训练中，小明从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的飞行路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．已知球门高OB为2.44米，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．
（1）求抛物线的解析式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．
（2）对本次训练进行分析，在射门路线的形状、最大高度均保持不变的情况下，小明若希望球飞进球门时离地高度h（单位：米）满足1.92≤h≤2.25，那么当时他应该带球向正后方移动m米（m＞0）再射门，求m的取值范围．
22．如图1，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-2，0）、B（4，0）（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，8），点P是抛物线上一个动点，连接PB，PC，BC．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图2所示，当点P在直线BC上方运动时，连接AC，求四边形ABPC面积的最大值，并写出此时P点坐标；
（3）若点M是x轴上的一个动点，点P的横坐标为3．试判断是否存在这样的点M，使得以点B、M、P为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
湘教版九年级下第1章二次函数单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、B 2、D 3、A 4、A 5、A 6、A 7、A 8、B 9、D 10、B 11、B 12、B
二．填空题（共5小题）
13、（-2，2）； 14、x=-2； 15、y≤4； 16、0＜x＜4； 17、①②④；
三．解答题（共5小题）
18、解：（1）令x=0，则y=-3，
∴C（0，-3）；
令y=0，则x2-2x-3=0，
解得：x1=-1，x2=3，
∴A（-1，0），B（3，0）；
（2）∵A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），
∴AB=4，OC=3，
∴S△ABC=AB OC=×4×3=6．
19、解：（1）由题意B（3，0），C（0，3），
∵抛物线的对称轴x=2，抛物线y=ax2+bx+c与x轴另一交点为A，
∴A（1，0），
设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-3），
把C（0，3）代入得到a=1，
∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3．
（2）当y1＜y2时，x＜0或x＞3．
20、解：（1）解：∵B（0，2），OA=2OB，
∴OB=2，OA=4，
∴A（4，0），
∵二次函数y=ax2+bx（a≠0）的图象经过点A（4，0），，
∴，
解得，
∴二次函数的表达式是；
（2）由（1）知抛物线的解析式为可化为．
∴其顶点坐标为（2，-2）
∵抛物线先向右平移m个单位，再向上平移n个单位，此时顶点恰好落在线段AB上，
∴平移后得到抛物线，其顶点坐标是（2+m,-2+n）．
设直线AB的函数表达式y=kx+d（k≠0），
∵A（4，0），B（0，2），
∴，
解得：，
∴直线AB的函数表达式是．
∴，
∴m+2n=6．
21、解：（1）球不能射进球门；理由如下：
∵小明从球门正前方8米的A处射门，当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点3米，
∴抛物线的顶点坐标为（2，3），
∴设抛物线解析式为y=a（x-2）2+3，把点A（8，0）代入，得：
36a+3=0，
解得，
∴抛物线的解析式为，
当x=0时，，
∴球不能射进球门；
（2）由（1）可知，小明带球向正后方移动m米后射门路线的抛物线为，
把点（0，2.25）代入得：
，
解得m1=-5（舍去），m2=1，
把点（0，1.92）代入得：
，
解得m3=-5.6（舍去），m4=1.6，
∴m的取值范围为1≤m≤1.6．
22、解：（1）将点A（-2，0）、B（4，0）、C（0，8）代入y=ax2+bx+c,
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+8；
（2）设直线BC的解析式为y=kx+8，
∴4k+8=0，
解得k=-2，
∴直线BC的解析式为y=-2x+8，
过点P作PQ∥y轴交BC于点Q，
设P（t,-t2+2t+8），则Q（t,-2t+8），
∴PQ=-t2+2t+8+2t-8=-t2+4t,
∵AO=2，CO=8，
∴四边形ABPC面积=×6×8+×4×（-t2+4t）=-2（t-2）2+32，
∵点P在直线BC上方，
∴0＜t＜4，
∴当t=2时，四边形ABPC面积有最大值32，此时P（2，8）；
（3）存在点M，使得以点B、M、P为顶点的三角形是直角三角形，理由如下：
当x=3时，y=5，
∴P（3，5），
设M（x,0），
∴MP2=（x-3）2+25，MB2=（x-4）2，BP2=26，
①当MP为斜边时，（x-3）2+25=（x-4）2+26，
解得x=4，
∴M（4，0）（舍）；
②当MB为斜边时，（x-4）2=（x-3）2+25+26，
解得x=-22，
∴M（-22，0）；
③当BP为斜边时，（x-4）2+（x-3）2+25=26，
解得x=3或x=4，
∴M（3，0）或（4，0）（舍）；
综上所述：M点坐标为（-22，0）或（3，0）．
一．选择题（共12小题）
1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A． B．s=2t2-2t+1
C．y=ax2+bx+c D．y=（x-1）2-x2
2．抛物线y=x2-2x-3与y轴交点的坐标是（ ）
A．（0，3） B．（3，0） C．（-1，O） D．（0，-3）
3．将抛物线y=（x-1）2向右平移1个单位后所得到抛物线的解析式是（ ）
A．y=（x-2）2 B．y=x2 C．y=x2+1 D．y=x2-1
4．二次函数y=mx2+mx（m＜0）的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
5．已知二次函数y=-x2+2x+2的图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），如果x1＜x2＜0，那么y1、y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1=y2 D．无法确定
6．已知一次函数y=ax+b图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx-a在平面直角坐标系中的图象是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，对称轴为直线x=1的抛物线y=ax2+bx+c与y轴负半轴相交，且与x轴的负半轴的交点的横坐标大于-1而小于0，下列描述：①b=-2a,②abc＞0，③b2-4ac＞0；④a-b+c＞0，其中描述正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．坐落于开封清明上河园中的虹桥是一座抛物线型拱桥，被列为中国十大名桥之一．按如图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽AB为16m,当水位上升3m时，水面宽CD为（ ）
A．4m B．8m C．10m D．12m
9．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，若|ax2+bx+c|=k（k≠0）有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）
A．k＜-3 B．k＞-3 C．k＜3 D．k＞3
10．在同一平面直角坐标系中，直线y1=-2x+k和抛物线，如图所示，m1，m2是方程ax2+bx+c=-2x+k的两个根，且m1＜m2，则函数y=m1x-m2的坐标系中的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
11．在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF．设点P的运动时间为t s,正方形DPEF的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．由图象可知△ABC的面积为（ ）
A．5 B． C． D．6
12．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的对称轴为直线x=-1，且该抛物线与x轴交于点A（1，0），与y轴的交点B在（0，-2），（0，-3）之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（ ）
①abc＞0；
②9a-3b+c≥0；
③；
④若方程ax2+bx+c=x+1两根为m,n（m＜n），则-3＜m＜1＜n.
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共5小题）
13．二次函数y=（x+2）2+2的顶点坐标是 ______．
14．如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1，关于x的方程ax2+bx+c=0的一个根为x=4，则另一个根为 ______．
15．已知二次函数y=-x2+2x+m的图象如图所示，当x＞0时，y的取值范围是 ______．
16．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x=2，与y轴交于点（0，-2），则当y＜-2时，x的取值范围是 ______．
17．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（-2，0），对称轴为直线x=1，下列结论中一定正确的是______（填序号即可）．①abc＞0；②若A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，当x=x1+x2时，y=c；③若方程a（x+2）（4-x）=-2的两根为x1，x2，且x1＜x2，则-2＜x1＜x2＜4；④（a+c）2＞b2．
三．解答题（共5小题）
18．已知二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，求：
（1）点A、B、C的坐标；
（2）△ABC的面积．
19．如图，直线y1=-x+3与x轴、y轴分别相交于B、C，经过B、C两点的抛物线y2=ax2+bx+c与x轴另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2．
（1）求抛物线解析式；
（2）当y1＜y2时，直接写出x的取值范围．
20．如图，在平面直角坐标系中，已知B（0，2），，点A在x轴正半轴上，且OA=2OB，二次函数y=ax2+bx（a≠0）的图象经过点A，C．
（1）求二次函数的表达式；
（2）将该抛物线先向右平移m个单位，再向上平移n个单位，此时顶点恰好落在线段AB上，求m与n的关系．
21．一次足球训练中，小明从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的飞行路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．已知球门高OB为2.44米，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．
（1）求抛物线的解析式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．
（2）对本次训练进行分析，在射门路线的形状、最大高度均保持不变的情况下，小明若希望球飞进球门时离地高度h（单位：米）满足1.92≤h≤2.25，那么当时他应该带球向正后方移动m米（m＞0）再射门，求m的取值范围．
22．如图1，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-2，0）、B（4，0）（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，8），点P是抛物线上一个动点，连接PB，PC，BC．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图2所示，当点P在直线BC上方运动时，连接AC，求四边形ABPC面积的最大值，并写出此时P点坐标；
（3）若点M是x轴上的一个动点，点P的横坐标为3．试判断是否存在这样的点M，使得以点B、M、P为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
湘教版九年级下第1章二次函数单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、B 2、D 3、A 4、A 5、A 6、A 7、A 8、B 9、D 10、B 11、B 12、B
二．填空题（共5小题）
13、（-2，2）； 14、x=-2； 15、y≤4； 16、0＜x＜4； 17、①②④；
三．解答题（共5小题）
18、解：（1）令x=0，则y=-3，
∴C（0，-3）；
令y=0，则x2-2x-3=0，
解得：x1=-1，x2=3，
∴A（-1，0），B（3，0）；
（2）∵A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），
∴AB=4，OC=3，
∴S△ABC=AB OC=×4×3=6．
19、解：（1）由题意B（3，0），C（0，3），
∵抛物线的对称轴x=2，抛物线y=ax2+bx+c与x轴另一交点为A，
∴A（1，0），
设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-3），
把C（0，3）代入得到a=1，
∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3．
（2）当y1＜y2时，x＜0或x＞3．
20、解：（1）解：∵B（0，2），OA=2OB，
∴OB=2，OA=4，
∴A（4，0），
∵二次函数y=ax2+bx（a≠0）的图象经过点A（4，0），，
∴，
解得，
∴二次函数的表达式是；
（2）由（1）知抛物线的解析式为可化为．
∴其顶点坐标为（2，-2）
∵抛物线先向右平移m个单位，再向上平移n个单位，此时顶点恰好落在线段AB上，
∴平移后得到抛物线，其顶点坐标是（2+m,-2+n）．
设直线AB的函数表达式y=kx+d（k≠0），
∵A（4，0），B（0，2），
∴，
解得：，
∴直线AB的函数表达式是．
∴，
∴m+2n=6．
21、解：（1）球不能射进球门；理由如下：
∵小明从球门正前方8米的A处射门，当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点3米，
∴抛物线的顶点坐标为（2，3），
∴设抛物线解析式为y=a（x-2）2+3，把点A（8，0）代入，得：
36a+3=0，
解得，
∴抛物线的解析式为，
当x=0时，，
∴球不能射进球门；
（2）由（1）可知，小明带球向正后方移动m米后射门路线的抛物线为，
把点（0，2.25）代入得：
，
解得m1=-5（舍去），m2=1，
把点（0，1.92）代入得：
，
解得m3=-5.6（舍去），m4=1.6，
∴m的取值范围为1≤m≤1.6．
22、解：（1）将点A（-2，0）、B（4，0）、C（0，8）代入y=ax2+bx+c,
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+8；
（2）设直线BC的解析式为y=kx+8，
∴4k+8=0，
解得k=-2，
∴直线BC的解析式为y=-2x+8，
过点P作PQ∥y轴交BC于点Q，
设P（t,-t2+2t+8），则Q（t,-2t+8），
∴PQ=-t2+2t+8+2t-8=-t2+4t,
∵AO=2，CO=8，
∴四边形ABPC面积=×6×8+×4×（-t2+4t）=-2（t-2）2+32，
∵点P在直线BC上方，
∴0＜t＜4，
∴当t=2时，四边形ABPC面积有最大值32，此时P（2，8）；
（3）存在点M，使得以点B、M、P为顶点的三角形是直角三角形，理由如下：
当x=3时，y=5，
∴P（3，5），
设M（x,0），
∴MP2=（x-3）2+25，MB2=（x-4）2，BP2=26，
①当MP为斜边时，（x-3）2+25=（x-4）2+26，
解得x=4，
∴M（4，0）（舍）；
②当MB为斜边时，（x-4）2=（x-3）2+25+26，
解得x=-22，
∴M（-22，0）；
③当BP为斜边时，（x-4）2+（x-3）2+25=26，
解得x=3或x=4，
∴M（3，0）或（4，0）（舍）；
综上所述：M点坐标为（-22，0）或（3，0）．