2025-2026学年上海松江二中高一上学期数学期中试卷（含答案）

松江二中2025-2026学年第一学期高一年级数学期中
2025.11
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1.设全集，集合，则______．
2.将写成分数指数幂的形式为______．
3.函数的定义域是______．
4.若关于的方程的解集为，则______．
5.若方程的两根为，则______．
6.已知“”是“”的充分非必要条件，则实数的取值范围为______．
7.函数在上的最大值与最小值的差为1，则______．
8.已知函数的值域为，则的取值范围
是______．
9.若不等式的解集不是空集，则的取值范围是______．
10.不等式有多种解法，其中之一是在同一直角坐标系中作出，的图像，然后求解，请类比求解以下问题：设，，若对任意，都有，则的最小值是______．
11.已知函数．若的图像上存在两个点关于原点对称，则实数的取值范围是______．
12.设集合都至少含有两个元素，且同时满足：
条件1：对任意，若，则；
条件2：对任意，若，则．
给出下列说法：
①若只有2个元素，则这2个元素互为相反数；
②若只有2个元素，则有3个元素；
③若只有2个元素，则有4个元素；
④存在含有3个元素的集合，满足有4个元素．
其中正确说法的序号是______．（写出所有正确的序号）
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13.已知，则“”是“”成立的（ ）
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
14.幂函数的图像关于原点对称，且在上是严格增函数，则可以
是（ ）
A. B. C. D.
15.已知集合，若集合是的个不同子集，且为的真子集，则的最大值是（ ）
A.2 B.4 C.6 D.8
16.设表示不超过的最大整数，如，，若为正实数，则的最小值为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.6
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤．
17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
设集合，．
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分非必要条件，求实数的取值范围．
、
18.（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知集合，集合，
（1）若集合，且满足，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围．
19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
当前，机器人产业蓬勃发展，正极大改变着人类生产和生活方式，为经济社会发展注入强劲动能．2022年，工业和信息化部等十七部门印发了《“机器人＋”应用行动实施方案》，《方案》指出，到2025年，制造业机器人密度较2020年应实现翻番，服务机器人、特种机器人行业应用深度和广度应显著提升，机器人促进经济社会高质量发展的能力应明显增强．某动力电池生产企业为提高产能，计划投入6300万元购买一批智能工业机器人，使用该批智能机器人后的前年，设备维护成本共万元，每年电池销售收入为6700万元，设使用该批智能机器人后，前年的总盈利额为万元．
（1）写出关于的函数关系式，并指出的取值范围；
（2）使用若干年后，对该批智能机器人的处理方案有两种．
方案一：当总盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以2000万价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以4800万元的价格处理．问哪种方案更合理？并说明理由．
20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知函数．
（1）若，解关于的方程；
（2）若将的图像向下平移个单位长度，所得函数图像经过点，，求的值；
（3）若，且，解关于的不等式．
21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知集合是正整数集的子集，且中至少有三个元素．如果存在，同时满足：①；②；③为偶数，那么称集合具有性质．
已知集合，其中，（例如：），对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得，，均属于，则称集合是集合的“优美子集”．
（1）若集合，，判断是否具有性质，并说明理由；
（2）若集合具有性质，判断集合是否集合的“优美子集”，并说明理由；
（3）对于集合的非空子集，证明：集合具有性质的充要条件是集合是集合的“优美子集”．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.①②
11.已知函数．若的图像上存在两个点关于原点对称，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】设，则，的图象上存在两个点关于原点对称，
则在上有解，即在上有解，
由在上的值域为，则实数的取值范围是．
故答案为：．
12.设集合都至少含有两个元素，且同时满足：
条件1：对任意，若，则；
条件2：对任意，若，则．
给出下列说法：
①若只有2个元素，则这2个元素互为相反数；
②若只有2个元素，则有3个元素；
③若只有2个元素，则有4个元素；
④存在含有3个元素的集合，满足有4个元素．
其中正确说法的序号是______．（写出所有正确的序号）
【答案】①②
【解析】对于①：由条件2知，，且，
所以若只有2个元素，则这2个元素互为相反数，故①正确；
对于④：若有3个元素，不妨设，其中，则，所以，而与为两个互不相等的正数，
与为两个互不相等的负数，故集合中至少有4个元素，
与有3个元素矛盾，故④错误．
对于②③：若有2个元素，由①知集合中的2个元素必为相反数，
故可设．由条件1得，由于集合中至少有2个元素故至少还有另外一个元素.当集合只有2个元素时即，
由条件1得，则或，故．
当集合有多于2个元素时，不妨设，则，
由于，，所以，又，故集合至少有3个元素，与中只有两个元素矛盾．
综上，，故②正确，③错误．故答案为：①②．
二、选择题
13.A 14.D 15.B 16.C
15.已知集合，若集合是的个不同子集，且为的真子集，则的最大值是（ ）
A.2 B.4 C.6 D.8
【答案】B
【解析】根据题意，，其子集有8个，
依次为，，
要满足为的真子集，且的最大，
为都不能为，其中两个元素的子集最多一个，
若两个元素的子集有两个，个子集中，
任意两个的并集都是，不符合题意，
单元素子集最多两个，
若单元素子集有3个，，并集为，不符合题意，
再包含一个空集，故的最大值是4．故选：．
16.设表示不超过的最大整数，如，，若为正实数，则的最小值为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.6
【答案】C
【解析】由题意若为正实数，结合基本不等式可得
，
当且仅当时等号成立，即中至少有一个不小于2，
不妨设，
结合定义：表示不超过的最大整数和，中至少有一个不小于2，
可得，所以
假设的最小值为2，
所以所以，
与矛盾，假设不成立，错误；
假设的最小值为3，
则
同理，可得，显然不成立，错误；
假设的最小值为4，易得，
若取，则，，
即，假设成立，正确，错误.故选：．
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1） （2）方案二更合理
20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知函数．
（1）若，解关于的方程；
（2）若将的图像向下平移个单位长度，所得函数图像经过点，，求的值；
（3）若，且，解关于的不等式．
【答案】（1） （2）；
（3）当时，不等式的解集为;当时，不等式的解集为．
【解析】（1）当时，，
可化为,
所以，
所以），
所以或（舍去），所以，
又，所以符合题意，
所以所求方程的解为：；
（2）将的图象向下平移个单位长度，
得函数的图象，
由题意：，
所以所以，
故；
（3）由题意，且，关于的不等式可得，
由，所以函数的定义域为，
由，
若，则，
整理得到，故不等式的解集为；
若时，则
整理得到，故即解集为；
综上，当时，不等式的解集为;当时，不等式的解集为．
21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知集合是正整数集的子集，且中至少有三个元素．如果存在，同时满足：①；②；③为偶数，那么称集合具有性质．
已知集合，其中，（例如：），对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得，，均属于，则称集合是集合的“优美子集”．
（1）若集合，，判断是否具有性质，并说明理由；
（2）若集合具有性质，判断集合是否集合的“优美子集”，并说明理由；
（3）对于集合的非空子集，证明：集合具有性质的充要条件是集合是集合的“优美子集”．
【答案】（1）具有；不具有
（2）是的＂优美子集＂ （3）证明见解析
【解析】（1）集合具有性质，理由如下：
取，满足是偶数，
所以集合具有性质；
集合不具有性质，理由如下：
集合中所有元素均为奇数，任意三个元素的和为奇数，不满足条件③，
所以不具有性质.
（2）由是偶数，得实数是偶数，
①若，则由，得，矛盾．
②若，则．由，得，故，满足题意，
所以集合．所以是的＂优美子集＂．
证明：（3）先证充分性：是集合的＂优美子集＂具有性质.
集合是集合的＂优美子集＂，所以存在三个互不相同的，
不妨设，使得
且
为偶数，所以集合具有性质.
再证必要性：具有性质是集合的＂优美子集＂．
集合具有性质，所以中存在，
同时满足①；②；③为偶数，
令
所以，均为整数，
因为，所以，
所以，且均为正整数，所以，
因为，所以，，
所以当集合具有性质时，集合是集合的＂优美子集＂。
综上所述，对于的非空子集，集合是集合的＂优美子集＂的充要条件是集合具有性质．