北师大版2025—2026学年八年级上册数学第三次月考模拟试卷冲刺卷（含答案）（测试范围第一章勾股定理到第五章二元一次方程组）

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北师大版2025—2026学年八年级上册数学第三次月考模拟试卷冲刺卷
（测试范围第一章勾股定理到第五章二元一次方程组）
考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟
第I卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．下列各组数不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．1.5，2，2.5 B．1，1，2 C．5，12，13 D．1，，
2．下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．平面直角坐标系中，在第四象限的点是（ ）
A． B． C． D．
4．在，，，，，（邻两个之间的个数逐次加）这些数中，无理数的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
5．已知与成正比，当时，，那么当时，的值为（ ）
A．4 B． C．6 D．
6．在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向下平移个单位长度后恰好经过点，则的值为(　　)
A．10 B．8 C．5 D．3
7．《孙子算经》中有一道题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何，意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺？假设木头长尺，绳子长尺，则根据题意列二元一次方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于m、n的二元一次方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
9．若关于x、y的方程组的解满足，则m等于（ ）
A．3 B． C． D．2
10．如图，圆柱的底面周长为，是底面圆的直径，高，点P是母线上一点且．一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（　　）
A．7 B．
C． D．5
二、填空题（6小题，每题3分，共18分）
11．若，满足，则 ．
12．已知直线与直线的交点坐标为，则方程组的解为 ．
13．比较大小： ．(填“”，“”或“”)
14．在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点坐标是 ．
15．已知一次函数，它的图象经过第一、二、四象限，则 ．
16．如图，已知，，，以为边向外作等边三角形，连接交于点E，其中，则的长为 ．

第II卷
北师大版2025—2026学年八年级上册数学第三次月考模拟试卷冲刺卷
（测试范围第一章勾股定理到第五章二元一次方程组）
姓名：____________ 学号：____________准考证号：___________
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题
11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．解下列方程组：
(1)， (2)．
18．计算：
(1)
(2)
19．已知方程组与的解相同，求的值．
20．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．
(1)画线段关于轴对称的线段（点的对称点分别为），并写出点的坐标；
(2)若点关于轴的对称点的坐标为，则___________，___________；
(3)在（2）的条件下，的面积为___________．
21．在国家的“惠农政策”支持下，越来越多的农户将自己的农副产品销往全国各地．河源市农户张先生将种植的百香果和金桔以箱为单位售卖．已知2箱百香果和3箱金桔的价格为245元，1箱百香果和4箱金桔的价格为260元，百香果和金桔的成本价如下表所示：
品名 百香果 金桔
成本/箱 30元 40元
(1)求每箱百香果和每箱金桔的售价分别是多少元？
(2)深圳某公司决定向农户张先生采购400箱水果（对水果种类没有特别要求）．张先生目前仅有金桔和百香果各库存300箱，在只能整箱销售的情况下，张先生该如何搭配销售，在满足公司要求的情况下，获利最大．
22．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)．
(1)求水池的深度；
(2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽， 芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性．
23．已知和都是等腰直角三角形，的顶点在的斜边上．
(1)如图1，连接．
①请你探究与之间的关系，并证明你的结论；
②求证：．
(2)如图2，若，点F是的中点，求的长．
24．如图，直线和相交于点，、分别在轴的正半轴和负半轴，且，点坐标为．
(1)求直线的函数表达式；
(2)在线段上找点，使得，求点的坐标；
(3)在轴上找点，使得，直接写出点坐标．
25．规定：形如关于x，y的方程．与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中，由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组．
(1)方程的共轭二元一次方程是______．
(2)若关于x，y的方程组为共轭方程组，则_____．
(3)若方程中x，y的值满足下表：
x 0
y 0 2
则这个方程的共轭二元一次方程是______．
(4)解下列方程组（直接写出方程组的解）：
的解为________；的解为______；的解为_____．
若共轭方程组的解是，请直接写出m与n的数量关系：_______．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D B A D A A D D D
二、填空题
11．
12．
13．
14．
15．
16．
三、解答题
17．【解】（1）解：由题意可得，
得，
，
解得，
将代入①得，
，
，
该方程组的解为；
（2）
方程组整理得，
得，
，
，
，
将代入①得，
该方程组的解为．
18．【解】（1）解：
；
（2）解：
．
19．【解】解：∵方程组与的解相同
∴
解得：
将代入得
解得：
∴.
20．【解】（1）解：如图：
关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数．
已知点，则其关于轴对称的点的坐标为；
已知点，则其关于轴对称的点的坐标为．
然后在平面直角坐标系中描出，连接即可得到线段；
（2）解：关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数．
点关于轴的对称点的坐标为，
．
故答案为：，；
（3）解：．
21．【解】（1）解：设每箱百香果的售价为元，每箱金桔的售价为元，
根据题意，得
解这个方程组，得，
答：每箱百香果和每箱金桔的售价分别为40元，55元．
（2）解：每箱百香果的利润为：（元），
每箱金桔的利润为：（元），
设张先生将箱金桔和（400－m）箱百香果进行搭配销售，获利为元，
则，
，
随的增大而增大．
又，当时，最大，
此时百香果的箱数为：（箱）．
答：张先生将100箱百香果和300箱金桔进行搭配销售时，获利最大．
22．【解】（1）解：设水池深度为x尺，则芦苇高度为尺，
由题意有：尺；
为中点，且丈尺，
(尺)；
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：；
即尺；
答：水池的深度为12尺；
（2）证明：水池深度，则芦苇高度为，
由题意有：；
为中点，且，
；
在中，由勾股定理得：，
即，
整理得：；
表明刘徽解法是正确的．
23．【解】（1）解：①，，理由如下：
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
，
，
∴；
②∵，
，
∵，
，
∵是等腰直角三角形，
∴，
；
（2）解：过点作于，如图：
由②得，，，
∴
，
，
∵点是的中点，
，
是等腰直角三角形，，
，
，
．
24．【解】（1）解：，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
点的坐标为，
，
，
直线的解析式为；
（2）解：如图1，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
将点，代入中，
得，
，
直线的解析式为，
设点的坐标为，
，
，
；
（3）解：如图2，
在中，，，
，
，，
，
，
①当点在轴正半轴上时，
，
，
以为直角边，点为直角顶点在下方作等腰直角三角形，过点作轴于，
即：，，
，，
，
，
，，
，
，
，
直线的解析式为，
令，则，
，
，
②当点在轴负半轴时，根据对称性得，，
即：点的坐标为或．
25．【解】（1）解：根据定义得方程的共轭二元一次方程是，
故答案为：；
（2）由题意得，
解得，
故答案为：1；
（3）由题意得，
解得，
原方程为：，
这个方程的共轭二元一次方程是，
故答案为：；
（4）解方程组，
由得，
将代入得，，
解得，
将代入得，
原方程组的解为；
解方程组，
得，
，
将代入得，
，
原方程组的解为；
解方程组，
由得，
将代入得，
解得，
将代入得，
原方程组的解为，
故答案为：；；；
（5），
得，，
解得，
将代入得，，
解得，
，
共轭方程组的解是，
．
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