北师大版2025—2026学年八年级上册数学第三次月考模拟试卷拔尖卷（含答案）（测试范围第一章勾股定理到第五章二元一次方程组）

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北师大版2025—2026学年八年级上册数学第三次月考模拟试卷拔尖卷
（测试范围第一章勾股定理到第五章二元一次方程组）
考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟
第I卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．下列各数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
2．将一次函数的图象平移得到图象的函数关系式为，则移动方法为 （ ）
A．向左平移 4 个单位 B．向右平移 4 个单位
C．向上平移 4 个单位 D．向下平移 4 个单位
3．以二元一次方程的解为坐标的点组成的图象画在坐标系中可能是（ ）
A．B．C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．某班35名学生共种87棵树苗．其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，该班男生有人，女生有人．根据题意，所列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．若点在第一象限，则的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
7．下列命题：①没有公共点的两条直线平行；②若，则；③立方根等于本身的数有0和；④两直线平行，同旁内角相等．其中真命题有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，在四边形中，，，，，，那么四边形的面积是（ ）
A．10 B． C． D．
9．若平面直角坐标系中，和关于轴对称，点的坐标为，则点的坐标为( )
A． B． C． D．
10．如图，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到，，，，…，的直角顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（6小题，每题3分，共18分）
11．若是二元一次方程的一个解，则的值为 ．
12．已知方程组的解为，则一次函数与的交点P的坐标是
13．已知，则的整数部分是 ．
14．已知点和关于轴对称，则 ．
15．在平面直角坐标系中，点，点，直线，若A、B两点到直线l的距离相等，则k的值为 ．
16．如图，在中，，是的中点，交延长线于点，射线，交于点，若，，则的面积为 ．
第II卷
北师大版2025—2026学年八年级上册数学第三次月考模拟试卷拔尖卷
（测试范围第一章勾股定理到第五章二元一次方程组）
姓名：____________ 学号：____________准考证号：___________
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题
11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．计算：
(1)； (2)．
18．解方程组：
(1) (2)
19．已知，，．
(1)在如图所示的平面直角坐标系中描出点，并画出；
(2)画出关于轴对称的；
(3)点在轴上，并且使得的值最小，请标出点位置并写出最小值．
20．某电器超市销售每台进价为80元、220元的，两种型号的电风扇，如表所示是六月份前2周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本）
销售时段 销售数量 销售收入
A型 B型
第1周 6 5 2220元
第2周 4 10 3480元
(1)求，两种型号的电风扇的销售单价；
(2)某教育集团花费元在该超市购进，两种型号的电风扇，请问有几种不同的购买方案？请说明理由．
21．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与，两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域．
(1)海港受台风影响吗？为什么？
(2)若海港受台风影响，且台风中心移动的速度为，台风影响海港持续的时间有多长？（若海港不受台风影响，则忽略此问）
22．如图，在平面直角坐标系中，已知直线：与x轴交于点A；直线与x轴交于点C，与y轴交于点，与直线交于点．
(1)点A的坐标为 ；
(2)求直线的表达式；
(3)直线上是否存在动点P，使得的面积等于面积的倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
23．已知与都是等腰直角三角形，，的顶点A在的斜边上．
(1)如图1，若，，求的长；
(2)如图2，求证．
24．在平面直角坐标系中，正比例函数的图象经过点，过点A的直线与x轴、y轴分别交于B，C两点．
(1)求正比例函数的表达式；
(2)若的面积为的面积的倍，求直线的表达式；
(3)在（2）的条件下，在线段上找一点D，使平分，求点D的坐标．
25．如图，在平面直角坐标系中，直线的图象与轴轴分别交于，两点．直线的图象与轴交于．直线与直线交于点．
(1)求点的坐标及直线的表达式；
(2)若点在直线上，且为直角三角形，直接写出点的坐标；
(3)在轴上是否存在点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D D B D C B B C C
二、填空题
11．
12．
13．3
14．
15．或
16．
三、解答题
17．【解】（1）
（2）
18．【解】（1）
解：②－①，
得，，
把代入①，
得；
故原方程组的解为；
（2）
解：②，得③，
①+③，得，
，
将代入②，
得，
故原方程组的解为．
19．【解】（1）解：如图，即为所求．
；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：如图，点P即为所求，
由勾股定理得，
∴的最小值为．
20．【解】（1）解：设A种型号的电风扇的销售单价为x元，B种型号的电风扇的销售单价为y元，
依题意，得：，
解得：，
答：A种型号的电风扇的销售单价为120元，B种型号的电风扇的销售单价为300元．
（2）共有2种不同的方案，理由如下：
设采购A种型号的电风扇a台，B种型号的电风扇b台，
依题意，得： ，
∴，
∵a，b为非负整数，
∴或或，
∴共有3种不同的方案．
21．【解】（1）解：海港受台风影响．
理由：如图，过点作于点，
因为，，，,
所以是直角三角形．,
由三角形面积相等可得：，
即，
所以．
因为以台风中心为圆心周围以内(包括)为受影响区域，所以海港受台风影响．
（2）如图，设台风中心移动到点，处时刚好影响海港，连接，，则，
所以，因，
所以．
因为台风中心移动的速度为，
，
所以台风影响海港持续的时间为．
22．【解】（1）解：令，则，
解得，
点A的坐标为．
故答案为：．
（2）解：设直线的表达式为，
将，的坐标代入，得，
解得，
直线的表达式为；
（3）解：设点，
当点P在射线上时，即点在处，
，
，
，
解得，
，
解得，
；
当点P在射线上时，即点在处，
，
，
，
解得，
，
解得，
；
综上所述，存在动点P，使得的面积等于面积的倍，点P的坐标为或．
23．【解】（1）解：是等腰直角三角形，
，
，
所以
，
，
，
，
．
（2）证明：连接，如图：
与都是等腰直角三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，即，
在中，根据勾股定理得：，
，
．
24．【解】（1）解：将代入得：，
解得：，
正比例函数的表达式．
（2）当点在轴负半轴时，根据题意可画出图形，如图1所示，过点作轴和轴的垂线，垂足分别为和，
则，，
设的面积为，则的面积为，
的面积为，即，
，，
，即，
令，则，
，
，
，即，
将，代入函数解析式得：
，
解得：，
直线的解析式为；
当点在轴正半轴时，如图2所示，
设的面积为，则的面积为，
，即，
，，
，即，
令，则，
，
，
，即，
将，代入函数解析式得：
，
解得：，
直线的解析式为；
综上所述，直线的解析式为：或．
（3）作点关于轴的对称点，连接，如图：
由对称可知，，即平分，
平分，
由对称可知，，
直线的解析式为：，
令，
解得：，
，
．
25．【解】（1）解：当时，，
解得：，即点，
∵直线经过点，
∴，
解得：，
则直线的表达式为：．
（2）当中时，，解得
∴，
当中时，，解得
∴，
当时，为直角三角形，
此时，则，
故；
当时，为直角三角形，过作于F，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，，得，
∴，
综上，点E的坐标为或；
（3）存在，理由：
当点P在y轴左侧时，
∵，则，
即，
设，
由点A，P，C的坐标得，，，
得，即点；
当点在y轴右侧时，则与左侧时的点P关于点H对称，故此时
综上，存在，点的坐标为或
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