2025-2026学年上海上中东校高二上学期数学期中试卷（含答案）

上中东校2025-2026学年第一学期高二年级数学期中
2025.11
一、填空题（14题，每题3分）
1.两条异面直线所成的角的范围是______．
2.已知，，如果，则实数k的值为______．
3.圆锥底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积是______．
4.长方体的12条梭的总长度为，表面积为，那么长方体的外接球半径
为______．
5.半径为R的球放在墙角，同时与两墙面和地面相切，如果球心到墙角顶点的距离为2，则______．
6.如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化后正好盛满杯子，则杯子高______．
（第6题） （第7题） （第9题）
7.一个正方体的展开如图所示，点B，C，D为原正方体的顶点，点A为原正方体一条棱的中点，那么在原来的正方体中，直线CD与AB所成角的余弦值为______．
8.在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，，，则______．
9.如图，正方体，的棱长为2，E是棱AB的中点，F是侧面内一点（包括边界），若平面，则EF长度的范围为______．
10.如图，圆锥的母线长为4，点M为母线AB的中点，从点M处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到B点，这条绳子的长度最短值为，则此圆锥的表面积为______．
（第10题） （第12题） （第13题）
11.在空间直角坐标系中，表示经过点，且方向向量为的直线的方程，则点到直线距离为______．
12.如图，某建筑物OP垂直于地面，从地面点A处测得建筑物顶部P的仰角为，从地面点B处测得建筑物顶部P的仰角为，已知A、B相距100米，，则该建筑物OP高度约为______米．（保留一位小数）
13.如图，已知正方体的棱长为2，M，M分别为棱AB，BC的中点，若点P为线段上的动点（不包括端点），设异面直线与MN所成的角为，则的取值范围是______．
14.阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为______．
二、选择题（4题，每题3分）
15.在空间中，“两条直线平行”是“这两条直线没有公共点”的（ ）
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分也非必要
16.如图，在平行六面体中，点N在对角线上，点M在对角线上，，，以下命题正确的是（ ）
A. B.、N、M三点共线
C.与是异面直线 D.
17.已知中，，，点P为BC边所在直线上的一个动点，则满足（ ）
A.最大值为16 B.最小值为4 C.为定值8 D.与点P的位置有关
18.在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
三、简答题（总共5题，19、20、21每题10分，22题12分，23题14分）
19.如图，已知AB为圆柱底面圆O的直径，，母线长为3，点P为底面圆O的圆周上一点．
（1）若，求三棱锥的体积；
（2）若，求异面直线与AP所成的角的余弦值．
20.已知（，），函数的部分图像如图所示，图中最髙点，最低点．
（1）求函数的解析式；
（2）若的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，，，求面积的取值范围．
21.已知平面向量，，若存在不同时为零的实数k和t，使，，且．
（1）试求函数关系式；
（2）求使的t的取值范围．
22.如图，在正四棱柱中，，．点，，，分别在棱，，，上，，，．
（1）证明：；
（2）点P在棱上，当二面角为时，求．
23.如图所示，有满足下列条件的五边形的彩纸，其中，，，，现将彩纸沿BE向内进行折叠．
（1）求线段BE的长度；
（2）若是等边三角形，折叠后使，求直线AB与平面BCDE的所成角的大小；
（3）将折叠后得到的四棱锥记为四棱锥，求该四棱锥的体积的最大值．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12. 13. 14.
13.如图，已知正方体的棱长为2，M，M分别为棱AB，BC的中点，若点P为线段上的动点（不包括端点），设异面直线与MN所成的角为，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】连接，∵或其补角，
设，
在中，，，
由余弦定理知，
令，则，
，在上单调递增，
∴当时，取得最小值，为；
当时，取得最大值，为
故答案为：．
14.阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为______．
【答案】
【解析】平面的方程为，可得平面的法向量为，
平面的法向量为，平面的法向量为
设直线的方向向量为，则，令，则，
设直线与平面所成角，则,
所以直线与平面所成角的正弦值为0．故答案为：0．
二、选择题
15.A 16.B 17.C 18.C
17.已知中，，，点P为BC边所在直线上的一个动点，则满足（ ）
A.最大值为16 B.最小值为4 C.为定值8 D.与点P的位置有关
【答案】C
【解析】取的中点，则，由平行四边形法则，，
，故选：C．
18.在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
【答案】C
【解析】设平面的法向量为，则
令，则，即，
所以该四棱锥的高．故选C．
三、解答题
19.（1） （2）
20.（1） （2）
21.（1） （2）
22.如图，在正四棱柱中，，．点，，，分别在棱，，，上，，，．
（1）证明：；
（2）点P在棱上，当二面角为时，求．
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则．
（1）因为，所以，所以．
（2）设，其中，则，
设平面的法向量为，
则取，得．
设平面的法向量为，
则取，得．
因为二面角为，所以
即，解得或，所以．
23．【答案】（1） （2） （3）