北师大版2025—2026学年八年级上册数学第三次月考模拟试卷培优卷（含答案）（测试范围第一章勾股定理到第五章二元一次方程组）

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北师大版2025—2026学年八年级上册数学第三次月考模拟试卷培优卷
（测试范围第一章勾股定理到第五章二元一次方程组）
考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟
第I卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．以下列四组数（单位：）为边长，其中能构成直角三角形的一组是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
2．海洋交通运输业是深圳海洋产业的重要组成部分．远洋货轮在海上行驶时，确定自己的具体位置，需要知道所在位置的（ ）
A．高度 B．经度和纬度 C．纬度 D．经度
3．下列实数中是无理数的是（ ）
A．2 B． C． D．
4．下列说法正确的是（　　）
A．1的平方根是1 B．
C．4的算术平方根是2 D．9的立方根是3
5．在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．有一个两位数和一个一位数，它们的和为39，若将两位数放在一位数的前面，得到的三位数比将一位数放在两位数的前面得到的三位数大27，求这两个数．若设两位数是x，一位数是y，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
7．下列命题中是假命题的是（ ）
A．全等三角形的面积相等
B．三角形三个内角的和等于
C．若函数的图象与函数的图象平行，则
D．如果，，那么
8．若点在y轴上，则点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．关于函数，已知点，是该函数图象上的任意两点，且与同号，则图象必经过（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、二、三象限 D．第二、三、四象限
10．在如图所示的方格纸上（小正方形的边长均为1），都是斜边在x轴上的等腰直角三角形，且它们的斜边长分别为2，4，6，…．若的顶点坐标分别为，则依图中所示规律，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（6小题，每题3分，共18分）
11．若，则的立方根是 ．
12．点P在第四象限，且点P到x轴的距离是7，到y轴的距离是5，那么点P的坐标为 ．
13．若点，在一次函数的图象上，则 ．（填“”、“”或“”）．
14．如图，，，，，数轴上点表示的数是 ．
15．如图，点是内一点，且，若是等腰三角形，，，，则的度数为 ．
16．在正方形中，E是边上一点，连接，将正方形沿折叠，使点C的对应点落在正方形内部，连接并延长，交边于点F，的延长线交于点G，此时恰有，若，则 ．

第II卷
北师大版2025—2026学年八年级上册数学第三次月考模拟试卷培优卷
（测试范围第一章勾股定理到第五章二元一次方程组）
姓名：____________ 学号：____________准考证号：___________
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题
11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．计算：
(1)； (2)．
18．解二元一次方程组：
(1) (2)
19．如图，在平面直角坐标系中，，，．
(1)在图中作出关于y轴对称的；
(2)直接写出，，的坐标：______，______，______；
(3)的面积为______．
20．如图，在一条笔直的火车轨道同侧有两城镇，城镇到轨道的垂直距离为．城镇到轨道的垂直距离为10千米，的长度为12千米．
(1)求城镇之间的距离；
(2)现要在线段上修建一个货运中转站，使得中转站到城镇的距离相等，此时中转站应修建在离点多远处？
21．某超市销售甲、乙两种水果，乙种水果在销售后采取降价销售，这个价格保持到销售完这批水果．这两种水果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数关系如图所示．
(1)甲种水果每千克的销售价______元；
(2)当时，乙种水果销售额y与销售量x之间的函数解析式为______，当时，乙种水果销售额y与销售量x之间的函数解析式为______；
(3)销售量为多少千克时，两种水果的销售额相差150元？
22．为了防控流感，我校积极进行校园环境消毒，购买了甲、乙两种消毒液共100瓶，其中甲种每瓶6元，乙种每瓶9元．
(1)如果购买这两种消毒液共用780元，求甲，乙两种消毒液各购买多少瓶？
(2)由于部分区域需要重点消毒，我校准备花60元再次购买这两种消毒液，有多少种购买方案．
23．如图1，已知函数与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称．
(1)求直线的函数解析式；
(2)设点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点．
①若的面积为，求点的坐标；
②连接，如图2，若，求点的坐标．
24．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为一次函数的图象分别与x轴和y轴交于点B，C，作直线．
(1)求直线的函数表达式．
(2)M是直线上的一动点，是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，点，P为x轴正半轴上的一动点，以点P 为直角顶点，为腰在第一象限内作等腰直角，连结QD，当的值最小时，请直接写出点Q的坐标．
25．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数分别与x轴和y轴交于点C和点B，已知．
(1)求的面积；
(2)直线l经过两点，求直线的解析式；
(3)点D是在直线上的动点，是否存在动点D，使得？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
(4)如图2，P为A点右侧x轴上的一动点，以P为直角顶点、为腰在第一象限内作等腰直角三角形，连接并延长交y轴于点K．当P点运动时，K点的位置是否发生变化？如果不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C C D D D C A A
二、填空题
11．
12．
13．
14．
15．
16．4
三、解答题
17．【解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．【解】（1）解：，
将①代入②可得，解得：，
将代入①可得，
故方程组的解为：．
（2）解：，
整理①得：③，
得：，解得：，
把代入②得，，
∴方程组的解为．
19．【解】（1）解：如图所示：
（2）解：根据题意得，，，，关于轴对称，
则点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，
因此点，，的坐标为：、、，
故答案为：、、；
（3）解：
故答案为：．
20．【解】（1）解：如图所示，过点作于点，连接．
．
，，
，，
四边形为矩形，
千米，千米，
（千米），
在中，（千米），
答：城镇，之间的距离为13千米；
（2）解：如图，连接，，设千米，则千米．
，
，
∴，
解得，
中转站应修建在离点的距离为千米处．
21．【解】（1）解：根据图象，得当甲种水果销售120千克时，销售额为2400元，
故单价为元；
故答案为：20．
（2）当时，是正比例函数，
设解析式为，
把点代入解析式，得，
解得，
故解析式为；
当时，是一次函数，
设解析式为，
把点，代入解析式，得，
解得，
故解析式为．
（3）根据题意得：甲的解析式为．
①当时，，解得；
②当时，，解得．
答：当销售量分别为或时销售额相差150元．
22．【解】（1）解：设买甲种消毒液购买了x瓶，乙种消毒液购买了y瓶，根据题意，
得，
解得，
答：甲种消毒液购买了40瓶，乙种消毒液购买了60瓶．
（2）解：设买甲种消毒液购买了m瓶，乙种消毒液购买了n瓶，根据题意，
得，化简得，
∵m，n为正整数，
∴或或．
∴有三种购买方案．
23．【解】（1）解：对于，
由得：，
由得：，
解得，
∴，，
∵点与点A关于轴对称，
∴ ，
设直线的函数解析式为，
则，
解得．
∴直线的函数解析式为；
（2）解：①设，
则、，
如图1，过点作于点，
∴，，
∴，
解得，
∴，或；
②如图，当点在轴的左侧时，∵点与点A关于轴对称，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
，，，
，
解得．
．
当点在轴的右侧时，如图3，
同理可得，
综上，点的坐标为或．
24．【解】（1）解：当时，，
∴点C的坐标为．
设直线的函数表达式为．
将点，代入，
得
解得
∴直线的函数表达式为．
（2）存在．当时，，解得，
∴点B的坐标为．
∵点，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，
解得，点M的坐标为；
时，，
解得，点M的坐标为．
综上所述存在点M的坐标为或，使得．
（3）点Q的坐标为．
如图，连接，
设点P的坐标为．
∵，
∴当C，Q，D三点共线时，的值最小．
过点Q作轴于点H，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，，
∴点Q的坐标为．
∵点，，
∴易求得直线的函数表达式为．
把点代入，得，
解得，
∴点Q的坐标为．
25．【解】（1）解：当时，，当时，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴
；
（2）解：设直线的解析式为，
将，代入，得，
∴，
∴直线的解析式为；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴当时，，解得，即点D的坐标为；
当时，，解得，即点D的坐标为；
综上所述，存在点D的坐标为或使得；
（4）解：点K的位置不发生变化，其坐标为，理由如下：
如图所示，过点Q作轴于H，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，即，
又∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，∴．
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