2025-2026学年上海上中东校高一上学期数学期中试卷（含答案）

上中东校2025-2026学年第一学期高一年级数学期中
2025.11
一、填空题（每题3分，共42分）
1.已知集合，，则______．
2.不等式的解为______．
3.已知函数（且），无论取何值，函数图像恒过一个定点，则定点坐标为______．
4.若非空集合不是单元素集，则其中所有元素之和为______．
5.已知一元二次方程有一个根比1大，另一个根比1小，则实数的取值范围是______．
6.关于的方程的解集为______．
7.已知，则______．
8.若，且函数与的图像有两个交点，则满足条件的不同集合有______个．
9.设，，，则的最小值为______．
10.已知二次函数，甲同学：的解集为；乙同学：的解集为；丙同学：此二次函数的对称轴在轴左侧．在这三个同学的论述中，只有一个论述是错误的，则的取值范围是______．
11.已知为实数，用表示有限集合的元素个数，，，则所有可能的值是______．
12.已知集合点不在第一、三象限，集合，若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是______．
13.设，若仅有一个常数使得对于任意的，都有满足方程，则的取值集合为______．
14.已知集合，集合是集合的三元子集，即，中的元素满足，则符合要求的集合有______个．
二、单选题（每题3分，共12分）
15.“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
16.下列结论中，正确的是（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.
17.数学上将形如（为素数）的素数称为“梅森素数”，试估计“梅森素数”的位数为（ ）
A.607 B.608 C.609 D.610
18.在上海中学东校科技节中，李明同学定义了可分比集合：若集合满足对任意，都有，则称是可分比集合．若集合均为可分比集合，且（为正整数），则的最大值为（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
三、解答题（共56分）
19.（10分）已知常数，集合，集合．
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
20.（10分）已知幂函数的图像关于轴对称，且，．
（1）求；
（2）若，求的取值范围．
21.（10分）对于二次函数，若存在，使成立，则称为该二次函数的不动点．
（1）已知函数，求该函数的不动点；
（2）若对于任意的，二次函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围．
22.（12分）某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为元，朱古力蜂果蛋糕单价为元，现有两种购买方案：
方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为个，花费记为；
方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为个，花费记为．
（其中，）
（1）试问哪种购买方案花费更少？请说明理由；
（2）若同时满足关系，，求这两种购买方案花费的差值的最小值．（注：差值花费较大值花费较小值）
23.（14分）桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面放不少于两个苹果，这一现象就是我们所说的“抽屉原理”．
抽屉原理的一般含义为：如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，
假如有个元素放到个集合中去，其中必定有一个集合里至少有两个元素．
应用抽屉原理，解答下列问题：
设为正整数，集合．对于集合中的任意元素和，
记．
（1）当时，若，，求和的值；
（2）当时，对于中的任意两个不同的元素，证明：；
（3）给定不小于2的正整数，设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同元素，．写出一个集合，使其元素个数最多，并说明理由．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12. 13. 14.
13.设，若仅有一个常数使得对于任意的，都有满足方程，则的取值集合为______．
【答案】
【解析】由方程，可得
∵∵函数在上单调递减，
∴，化为解得．∴的取值的集合为．故答案为：．
14.已知集合，集合是集合的三元子集，即，中的元素满足，则符合要求的集合有______个．
【答案】
【解析】因为，所以，即，
整理得，故或（舍去），则，
所以，由，解得得
又，所以符合要求的集合的个数为．故答案为：．
二、选择题
15.A 16.C 17.B 18.B
17.数学上将形如（为素数）的素数称为“梅森素数”，试估计“梅森素数”的位数为（ ）
A.607 B.608 C.609 D.610
【答案】B
【解析】形如（为素数）的素数称为＂梅森素数＂，因为，
则，即，
所以的位数为．故选：．
三、解答题
19.（1） （2）
20.（1） （2）
21.（1） （2）
22.（12分）某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为元，朱古力蜂果蛋糕单价为元，现有两种购买方案：
方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为个，花费记为；
方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为个，花费记为．
（其中，）
（1）试问哪种购买方案花费更少？请说明理由；
（2）若同时满足关系，，求这两种购买方案花费的差值的最小值．（注：差值花费较大值花费较小值）
【答案】（1）采用方案二，花费更少； （2）的最小值为24元．
【解析】（1）方案一的总费用为（元），方案二的总费用为（元），
又因为，所以，所以，
即，所以，所以采用方案二，花费更少；
（2）由（1）可知（
令，则，所以，
当，即时，等号成立；又因为，
所以，当且仅当，
即时等号成立，所以差值的最小值为，
当且仅当时等号成立，
所以两种方案花费的差值的最小值为24元．
23.（14分）桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面放不少于两个苹果，这一现象就是我们所说的“抽屉原理”．
抽屉原理的一般含义为：如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，
假如有个元素放到个集合中去，其中必定有一个集合里至少有两个元素．
应用抽屉原理，解答下列问题：
设为正整数，集合．对于集合中的任意元素和，
记．
（1）当时，若，，求和的值；
（2）当时，对于中的任意两个不同的元素，证明：；
（3）给定不小于2的正整数，设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同元素，．写出一个集合，使其元素个数最多，并说明理由．
【答案】（1）, （2）证明见解析 （3）见解析
【解析】（1）因为，
所以，
．
（2）证明：当时，设，
所以
所以对于任意的，其中，
当时，有
当时，有
于是有，其中，
所以
又因为，其中，
所以，当且仅当时等号成立，
所以
当且仅当时等号成立．即．
（3）由（2）结论可得：对于任意的，
若，则成立．
不妨设
，对于任意的
所以，假设满足条件的集合中元素个数不少于，
则至少存在两个元素在某个集合1）中，
不妨设为，则．
这与假设相矛盾，所以满足条件的集合中元素个数不多于．
取且
取，则集合满足条件，且元素个数为，
故是一个满足条件且元素个数最多的集合．