第六章
反比例函数
第1节
反比例函数
【学习目标】
1.具体情境和已有知识经验出发，讨论两个变量之间的相互关系，加深对函数概念的理解。
2.历抽象反比例函数概念的过程，领悟反比例函数的意义，理解反比例函数的概念，在经历反比例函数的建模过程中，培养学生抽象思维能力。
【学习重点】建立与领悟反比例函数的概念
【学习难点】领悟反比例函数的概念。
【学习过程】
模块一
预习反馈
一、知识准备
1、函数：
一般地，在某个变化过
( http: / / www.21cnjy.com )程中，有两个变量x和y，如果给定一个
值，相应的就确定了一个
值，那么我们称
是
的函数。其中x是自变量，y是因变量。
2、一辆汽车以60千米/小时的速度匀速行驶，
( http: / / www.21cnjy.com )那么行驶的路程s（千米）与行驶的时间t（小时）之间的函数关系式是__________。此时s是t的_________函数。
3、一次函数的一般形式：
（
为常数，
≠0）
二、自主学习
1、把一张一百元换成面值5
( http: / / www.21cnjy.com )0元的人民币，可得几张？如果换成面值20元的人民币，可得几张
换成10元,
5元的人民币呢
如果换成2元,
1元的人民币呢
请完成下表:
所换成的面值x（元）
50
20
10
5
2
1
x
相应的张数y（张）
⑴
请用含有x的代数式表示y：
⑵
当换成的面值x变化时，相应的张数y会怎样变化呢？
2、我们知道，电流Ｉ、电阻R、电压U之间满足关系式U=ＩR，当U=220V时，(1)请你用含有R的代数式表示Ｉ：
(2)
利用写出的关系式完成下表:
R（Ω）
20
40
60
80
100
I（A）
当R越来越大时，Ｉ怎样变化？当R越来越小呢？
变量I是R的函数吗？
京沪高速公路全长约为1262km，汽车沿京沪高速公路从上海驶往北京，汽车完成全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度V(km/h)之间有怎样的关系？
变量t是v的函数吗？
思考：（1）反比例函数中自变量x可以取些值？2）反比例函数还可以表示成什么形式？________________________________________________________________
实践训练：下列哪些式子表示y是x的反比例函数？并且说明k是___________________.
（1）y=
（2）y=
（3）xy=2
（4）y=10-x
(5)y=
(6)y=
(7)y=(b为常数
b≠0)
(8)y=(9)y=2x(9)y=
(10)y=
模块二
合作探究
1、当m为何值时,函数y=(m-1)x是反比例函数
2、已知变量y与（x+1）成反比例，且当x=2时，y=-1，求y与x之间的函数关系。
模块三、小结反思
讲一下你本节课学习了哪些新知识？用到了什么方法或数学思想？
1.知识：
2.方法：
模块四
形成提升
1、下列函数中，不是反比例函数的是（
）
A、
B、
C、
D、
填空在函数①
②
③
④⑤⑥⑦⑧是反比例函数的有__________（填序号），并分别写出其K的值：_________。
已知在反比例函数的图像上，则k的值是____________。
【拓展延伸】
1、函数的图像是双曲线，则m=_______________.
2、将代入反比例函数中，所得函数记为y1，又将x=y1+1代入函数中，所得函数记为y2，再持x=y2+1代入函数中，所得函数记为y3，……如此继续下去。
y1
y2
y3
y4
y5
（1）完成下表：
（2）观察上表，你发现了什么规律？猜想则y2016=______
组长评价：
你认为该成员这一节课的表现
：（A）很棒
(
B)一般
(C)
没发挥出来
(D)还需努力.
家长签名：
概念：一般地，如果两个变量x，y之间的关系可以表示成：
（k为常数，且K
0）的形式，那么称y是x的反比例函数.第六章《反比例函数》回顾与思考
【学习目标】
1、巩固反比例函数的概念，会求反比例函数表达式并能画出图象．
2、巩固反比例函数图象的变化其及性质并能运用解决某些实际问题．
【学习重点】反比例函数的定义、图像性质。
【学习难点】反比例函数增减性的理解。
【学习过程】
一、基础知识梳理
（一）、反比例函数的概念:
一般地，如果两个变量x、y之间的关系可表示成
的形式，那么称y是x的反比例函数。反比例函数有三种表达方式：
、
、
。
注意：反比例函数的自变量x不能为
。
（二）、绘制反比例函数凸显的基本步骤
、
、
。
（三）、反比例函数的图象和性质：
1、反比例函数的图象是两支双曲线：
当k>0时，两支曲线分别位于
内，在每一象限内，y的值随x值的
而减小；
当k<0时，两支曲线分别位于
内，在每一象限内，y的值随x值的
而增大.
2、反比例函数的图象不与坐标轴相交原因：因为
，所以和x轴没有交点；因为
，所以和y轴没有交点.
3、反比例函数的图象
原点（填
经过
或者不经过）.
4、反比例函数的图象自身是轴对称图形，它有两条对称轴对称轴直线解析式为
；图象也是关于
的中心对称图形。
5、在一个反比例函数图象上任取两点
( http: / / www.21cnjy.com )P，Q，分别过P，Q作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1,S2，则有S1＝S2
=
.
（四）、确定反比例函数关系式的方法：待定系数法
找
对x与y的对应值或者图像上任一点的坐标即可
（五）、反比例函数和正比例函数的图像的关系：
正比例函数
反比例函数
解析式
___________________
____________________________
图像
直线
位置
k＞0，
象限k＜0，
象限
k＞0，
象限k＜0，
象限
增减性
k＞0，y随x的增大而
k＜0，y随x的增大而
k＞0，在每个象限y随x的增大而
k＜0，在每个象限y随x的增大而
二、典型例题
例1、如图，直线y=x+1和y=﹣x+3相交于点A，且分别与x轴交于B，C两点，过点A的双曲线y=（x＞0）与直线y=﹣x+3的另一交点为点D．
（1）求双曲线的解析式；
（2）求△BCD的面积．
例2、如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是矩形，AD∥x轴，A（﹣3，），AB=1，AD=2．
（1）直接写出B、C、D三点的坐标；
（2）将矩形ABCD向右平移m个单位，使点A、C恰好同时落在反比例函数y=（x＞0）的图象上，得矩形A′B′C′D′．求矩形ABCD的平移距离m和反比例函数的解析式．
例3、如图，直线y=ax+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线y=（x＞0）相交于点P，PC⊥x轴于点C，且PC=2，点A的坐标为（﹣2，0）．
（1）求双曲线的解析式；
（2）若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且QH⊥x轴于H，当以点Q、C、H为顶点的三角形与△AOB相似时，求点Q的坐标．
例4、如图，已知反比例函数y=（k＞0）的图象经过点A（1，m），过点A作AB⊥y轴于点B，且△AOB的面积为1．（1）求m，k的值；（2）若一次函数y=nx+2（n≠0）的图象与反比例函数y=的图象有两个不同的公共点，求实数n的取值范围．
三、巩固训练
（一）选择题
1、下列函数中，反比例函数是（
）
A、
B、
C、
D、
2、函数的图象经过点（－4，6），则下列各点中在图象上的是（
）
A、（3，8）
B、（3，－8）
C、（－8，－3）
D、（－4，－6）
3、已知反比例函数的图像经过点（，），则它的图像一定也经过（
）
A、(－,－)
B、(,－)
C、(－，)
D、（0，0）
4、已知反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象位于（
）
A．第一、三象限B．第二、三象限
C．第二、四象限
D．第三、四象限
5、若反比例函数的图像在第二、四象限，则的值是（
）
A、－1或1
B、小于
的任意实数
C、－1
Ｄ、不能确定
（二）填空题
1、函数，当时没有意义，则的值为
如图8，若点在反比例函数的图象上，轴于点，的面积为3，则
．
3、对于函数y=，当x>0时，y_______0，这部分图象在第______象限；对于y＝-，当x<0时，y____这部分图象在第_____象限.
4、反比例函数的图像经过（－，5）点、（，－3）及（10，）点，则＝
，＝
，＝
；
5、已知反比例函数的图象经过点（m，2）和（-2，3）则m的值为
．
6、如图9，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数y=（x＞0）和y=（x＞0）的图象交于P、Q两点，若S△POQ=14，则k的值为__________．
（三）简答题
1、如图，已知一次函数的图象交反比例函数（）的图象于点、，交轴于点。（1）求的取值范围；
（2）若点的坐标是（2，），且，求的值和一次函数的解析式。
2、如图，已知A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；
（3）求方程kx+b﹣＜0的解集（请直接写出答案）．
3、如图，反比例函数y=（k＞0）与正比例函数y=ax相交于A（1，k），B（﹣k，﹣1）两点．
（1）求反比例函数和正比例函数的解析式；
（2）将正比例函数y=ax的图象平移，得到一次函数y=ax+b的图象，与函数y=（k＞0）的图象交于C（x1，y1），D（x2，y2），且|x1﹣x2| |y1﹣y2|=5，求b的值．
4、如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A、C分别在坐标轴上，点B的坐标为（4，2），直线x+3交AB，BC分别于点M，N，反比例函数
的图象经过点M，N．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P在y轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．
5、已知反比例函数和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图象经过（a,b），（a+1，b+k）两点.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图，已知点A在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点A的坐标；
（3）利用（2）的结果，请问：在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由.
组长评价：
你认为该成员这一节课的表现
：（A）很棒
(
B)一般
(C)
没发挥出来
(D)还需努力.
家长签名：第六章
反比例函数
第2节
反比例函数的图象与性质（1）
【学习目标】
1.会并了解反比例函数的图象的意义
2.描点画出反比例函数的图象
3.过反比例函数的图象的分析，探索并掌握反比例函数的图象的性质。
4.结合正比例函数y＝kx（k≠0）的图象和性质，来帮助我们观察、分析及归纳，通过对比，能更好地理解和掌握所学的内容，体会数形结合的思想方法。
【学习重点】画反比例函数的图象；并从函数图象中获取信息，探索并研究反比例函数的主要性质。
【学习难点】反比例函数的图象特点及性质的探究.
【学习过程】
模块一
预习反馈
学习准备
1、上节课我们学的反比例函数解析式是________________，自变量x的取值范围是____________，函数y的取值范围是_________________。
2、一次函数y＝kx＋b（k、b是常数，k≠0）的图象是_________，其性质有_____________________________正比例函数y＝kx（k≠0）图象是_________，其性质有________________________
3、画函数图象的方法是________，其一般步骤有____________________________
二、自主学习
4、画出反比例函数与的图象．
解：（1）列表
X
-3
-2
-1
1
2
3
（2）描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点
（3）连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得到函数y=
与的图像
5、反比例函数与的图象有什么相同点和不同点
相同点：
(1)图象都是由______支曲线组成；
(2)它们都不与________相交；
(3)它们都不过_____；(4)它们都是_______图形，也是_______图形.
不同点：它们所在的象限_____.的两支曲线在_____象限；的两支
曲线在_____象限
模块二
合作探究
1、已知反比例函数的图象在第二、四象限，求m值
2、如图，已知反比例函数与一次函数的图象在第一象限相交于点．
（1）试确定这两个函数的表达式；
（2）求出这两个函数图象的另一个交点的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的的取值范围．
模块三、小结反思
讲一下你本节课学习了哪些新知识？用到了什么方法或数学思想？
1.知识：
2.方法：
模块四形成提升
1、函数的图像在第_____象限，函数的图象在第_______象限。
2、
双曲线经过点（-3，________）.
3、函数的图像在二、四象限，则m的取值范围是
____
.
4、如果在平面直角坐标系中反比例函数的图象与直线交于点（，3）.
（1）试确定的值；（2）反比例函数的图象与直线的另一个交点为，求的面积。
【拓展延伸】
1、设函数与的图像的交点坐标为（a，b）,则的值为____________.
2、如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数的图象交于A（-2，m），B（4，-2）两点，与x轴交于C点，过A作AD⊥x轴于D．
（1）求这两个函数的解析式：
（2）求△ADC的面积．
组长评价：
你认为该成员这一节课的表现
：（A）很棒
(
B)一般
(C)
没发挥出来
(D)还需努力.
家长签名：
归纳:
①反比例函数(k≠0)的图象是由两个分支组成的
线,又叫
。
②当时，图象在
象限；当时，图象在
象限；
④反比例函数(k≠0)的图象关于直角坐标系的原点成
对称，对称中心是________。关于_____成轴对称，对称轴是____________。
A
B
O
x
y第六章
反比例函数
第2节
反比例函数的图象与性质（2）
【学习目标】
1.巩固作反比例函数的图象.探索并掌握反比例函数的主要性质.
2.过画反比例函数图象，训练作图能力和识图能力.
【学习重点】通过观察图像，概括反比例函数图象的共同特征，探索反比例函数的主要性质。
【学习难点】从反比例函数的图象中归纳总结反比例函数的主要性质。
【学习过程】
模块一
预习反馈
一、学习准备
1、反比例函数的图象是_________
2.反比例函数的图象的位置与k的关系：当k>0时，两支曲线分别位于第________象限内；当k<0时，两支曲线分别位于第________象限内.
二．自主学习
1、观察反比例函数y=，y=,y=的形式，它们有什么共同特征
(1)函数图象分别位于哪几个象限
(2)在每一个象限内，随着x值的增大,y的值是怎样变化的 能说明这是为什么吗？
（3）反比例函数的图象可能与x轴相交吗 可能与y轴相交吗？为什么？
类推的方法来研究的图象有哪些共同特征
（1）函数图象分别位于哪个象限内？在每个象限内，随着x值的增大，y的值怎样变化？
（2）反比例函数的图象可能与x轴相交吗 可能与y轴相交吗？为什么？
实践训练：下列函数中，其图象位于第一、三象限的有__________;在其所在的象限内，y随x的增大而增大的有___________.
模块二
合作探究
1、已知反比例函数，y随x的增大而减小，求a的值和反比例函数表达式？
2、如图，已知反比例函数的图象经过点(，8)，直线经过该反比例函数图象上的点Q(4，m)．
(1)求上述反比例函数和直线的函数表达式；
(2)设该直线与x轴、y轴分别相交于A
、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P，连结0P、OQ，求△OPQ的面积．
模块三、小结反思
讲一下你本节课学习了哪些新知识？用到了什么方法或数学思想？
1.知识：
2.方法：
模块四
形成提升
1、若点（3，6）在反比例函数
(k≠0)的图象上，那么下列各点在此图象上的是（
）
（A）（，6）
（B）
（2，9）
（C）
（2，）
（D）
（3，）
2、函数的图象位于第_______象限,
在每一象限内,y的值随x的增大而___________,
当x＞0时,y_____0,这部分图象位于第_______象限.
3、若函数的图像在其象限内y随x的增大而增大，则m的取值范围是__________。
4、已知点A(-2,),B(-1,),C(3,)都在反比例函数
的图象上，比较、、大小关系。
组长评价：
你认为该成员这一节课的表现
：（A）很棒
(
B)一般
(C)
没发挥出来
(D)还需努力.
家长签名：
归纳：1、反比例函数y＝的图象，当k>0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而______；当k<0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而____________。
2、由于x≠0，k≠0，所以y≠0，反比例函数的图象既不能与x轴相交也不能与y轴相交,但是当x的值越来越接近于0时，y的值将逐渐变得_______；反之，y的值将逐渐接近于______.因此，图象的两个分支无限接近；第六章
反比例函数
第3节
反比例函数的应用
1、会分析实际问题中变量之间的关系。
2、会依据变量间的关系建立反比例函数模型、进而解决实际问题。
3、经历分析实际问题中两个问题的关系、建立反比例函数模型，进而解决问题的过程。
【学习重点】掌握从实际问题中建构反比例函数模型。
【学习难点】从实际问题中寻找变脸之间的关系。
【学习方法】自主探究+小组合作学习
【学习过程】：
模块一
预习反馈
知识准备
1、反比例函数y＝的图象是_________.当k>0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而______；当k<0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而____________。
2、反比例函数的图象不会与________相交，它既是_______图形又是______图形。
3、过双曲线上的点作x轴，y轴的垂线与坐标轴形成的矩形，。过双曲线上的点作x轴，y轴的垂线与坐标轴形成的直角三角形，。
二、自主学习
1、某校科技小组进行野外考察，途中遇到
( http: / / www.21cnjy.com )一片十几米宽的烂泥湿地，为了安全，迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成任务的情景。问题思考：
（1）请你解释他们这样做得道理。
______________________________________________________________________
（2）当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S（）的变化，人和木板对地面的压强将如何变化？
______________________________________________________________________
（3）如果人和木板对湿地地面的压力合计600N。那么：
①用含S的代数式表示P，P是S的反比例函数吗？为什么、②当木板面积为0.2时，压强是多少？
________________________________________________
③如果要求压强不超过6000，木板的面积至少多大？
________________________________________________
________________________________________________
④在直角坐标系中，作出相应的函数图像。
⑤请利用图像对（2）和（3）作出直观解释，并与同伴进行交流。
___________________________________________________________________？
蓄电池的电压为定值.使用此电源时，电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数关系如下图所示；
蓄电池的电压是多少 你能写出这一函数的表达式吗
_________________________________________________
(2)完成下表，并回答问题：如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内
______________________________________________________________________
R/Ω
3
4
5
6
7
8
9
10
I/A
4
模块二
合作探究
1、如图，一次函数y=
–x+2的图象与反比例函数y=
–
的图像交于A、B两点，与x轴交于D点，且C、D两点关于y轴对称.
(1)求A、B两点的坐标；
(2)求△ABC的面积．.
2、我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费．即一月用水10吨以内（包括10吨）的用户，每吨收水费元；一月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨元收费，超过10吨的部分，按每吨元（）收费．设一户居民月用水吨，应收水费元，与之间的函数关系如图所示．
（1）求的值；某户居民上月用水8吨，应收水费多少元？
（2）求的值，并写出当时，与之间的函数关系式；
（3）已知居民甲上月比居民乙多用水4吨，两家共收水费46元，求他们上月分别用水多少吨？
模块三、小结反思
讲一下你本节课学习了哪些新知识？用到了什么方法或数学思想？
1.知识：
2.方法：
模块四
形成提升
1、如图，已知双曲线和直线y=mx+n交于点A和B，B点的坐标是（2，-3），AC垂直y轴于点C，．（1）求双曲线和和直线的解析式．（2）求△AOB的面积．
【拓展提升】
1、如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点.
分别求这两个函数的表达式；
将直线向上平移个单位长度后与轴交于点，与反比例函数图象在第四象限的交点为，连接，求点的坐标及的面积.
组长评价：
你认为该成员这一节课的表现
：（A）很棒
(
B)一般
(C)
没发挥出来
(D)还需努力.
家长签名：第六章
反比例函数
第2节
反比例函数的图像和性质（3）
【学习目标】
理解并掌握k值得几何意义
理解并掌握函数确定k值的常用方法
在直角坐标系中求面积的方法
【学习重点】理解并掌握函数确定k值的常用方法,在直角坐标系中求面积的方法
【学习难点】理解并掌握函数确定k值得常用方法
【学习过程】
模块一
预习反馈
一、知识准备
1、一般地，如果两个变量x，y之间的关系可以表示成：
（k为常数，且K
0）的形式，那么称y是x的反比例函数.
2、反比例函数(k≠0)的图象关于直角坐标系的原点成
对称。关于_____成轴对称，对称轴是____________。
3、反比例函数y＝的图象，当k>0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而______；当k<0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而____________。
二、自主学习
1、观察函数图象y=的图像上任取两点P、Q、R，过点P分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为s1；过点Q分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为s2；过点R分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为求出P点为双曲线的值，比较s1、s2、他们的大小关系。
2、如上图，以上条件不变，连接OP、OQ，求出它们与坐标轴围成的三角形，并比较它们的大小。
模块二
合作探究
3、如图所示，在直角坐标系中，点是反比例函数的图象上一点，轴的正半轴于点，是的中点；一次函数的图象经过、两点，并将轴于点若
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）观察图象，请指出在轴的右侧，当时，的取值范围．
模块三、小结反思
讲一下你本节课学习了哪些新知识？用到了什么方法或数学思想？
1.知识：
2.方法：
模块四
形成提升
1、填空题
（1）当时，双曲线y=过点（，2）；
（2）已知
(k≠0)的图象的一部分如图（1），则；
（3）如图（2），若反比例函数的图象过点A，则该函数的解析式为________；
（4）在平面直角坐标系内，过反比例函数（k＞0）的图象上的一点分别作x轴、y轴的垂线段，与x轴、y轴所围成的矩形面积是6，求函数解析式_______。
【拓展提升】
1、如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数（k为常数，且k＞0）在第一象限的图象交于点E，F．过点E作EM⊥y轴于M，过点F作FN⊥x轴于N，直线EM与FN交于点C．若（m为大于l的常数）．记△CEF的面积为S1，△OEF的面积为S2，则=_________．
（用含m的代数式表示）
组长评价：
你认为该成员这一节课的表现
：（A）很棒
(
B)一般
(C)
没发挥出来
(D)还需努力.
家长签名：
小结：过双曲线上的点作x轴，y轴的垂线与坐标轴形成的直角三角形，。
小结：过双曲线上的点作x轴，y轴的垂线与坐标轴形成的矩形，
