2025-2026学年上海川沙中学高一上学期数学期中试卷（含答案）

川沙中学2025-2026学年第一学期高一年级数学期中
2025.11
一、填空题（36分）
1.若集合，，则______．
2.已知集合，，若，则实数的值是______．
3.已知，，则与的大小关系为______．
4.已知集合，，则______．
5.若，则______．
6.已知一元二次方程的两个实数根分别为、，则______．
7.使得有意义的的取值范围是______．
8.已知，，则______．（用含、的式子表示）
9.设命题，，如果是的充分非必要条件，则的取值范围
是______．
10.若对一切都成立，则的取值范围是______．
11.已知命题有两个不相等的负根，无实根，若和一真一假，则的取值范围是______．
12.已知对任意实数，二次函数恒成立，且，则的最小值为______．
二、单选题（12分）
13.设集合，则满足的集合的子集最多个数是（ ）．
A.4 B.8 C.16 D.32
14.已知，，则下列不等式成立的有（ ）
A. B. C. D.
15.若不等式的解集为，则的解集为（ ）．
A. B.
C. D.
16.已知集合，集合，若对于中的任意两个不同的元素和，都有，则中元素个数的最大值是（ ）．
A.676 B.675 C.672 D.671
三、解答题（52分）
17.设全集，集合，．
（1）若，求与．
（2）若，求的取值范围．
18.设集合，集合．
（1）若且，求集合．
（2）若且，记的最小值为，写出集合的所有真子集．
19.为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙通常需要建造隔热层，某地区正在建设一座购物中心，现在计划对其建筑物建造可使用40年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm）满足关系式：．若不建隔热层，每年能源消耗费用为9万元．设为隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和．
（1）求的值及用表示；
（2）当隔热层的厚度为多少时，总费用达到最小，并求最小值．
20.设集合，集合．
（1）若，求集合．
（2）若，求的取值范围．
（3）设集合，，其中是整数集．是否存在使得集合有且仅有两个子集？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
21.设集合．如果集合满足：对任意、，与至少有一个属于，则称集合为“单封集”．
（1）判断集合与是否为“单封集”，请直接写出结论．
（2）若是“单封集”，且，，求．
（3）若是“单封集”，证明：，并求出的值．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11.已知命题有两个不相等的负根，无实根，若和一真一假，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】若真，即方程有两个不等负根，则，解得．
若真，即方程无实根，
则，解得．
当真假时，且或，即；
当假真时，且，即．
综上，的取值范围是．
12.已知对任意实数，二次函数恒成立，且，则的最小值为______．
【答案】
【解析】因为恒成立，所以，且，所以．
令，则．
故答案为3．
二、选择题
13.C 14.B 15.A 16.A
15.若不等式的解集为，则的解集为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意可知，关于的方程的两根分别为2,3，
则可得故所求不等式为，
即，解得．故选A．
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1）
（2）时，总费用达到最小，为万元.
20.设集合，集合．
（1）若，求集合．
（2）若，求的取值范围．
（3）设集合，，其中是整数集．是否存在使得集合有且仅有两个子集？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】（1） （2） （3）不存在这样的值.
【解析】（1）当时，集合中的不等式为
两边同时平方去掉绝对值符号，得到
展开式子得，移项合并同类项得.
因式分解得.解得，所以集合
（2）若，则一元二次不等式无解.
当，即时，不等式变为，显然无解，满足
当时，要使不等式无解，则二次函数的图象开口向下，且与轴无交点，即，解不等式，
因式分解得，解得.
结合，即，所以.综上，的取值范围是.
（3）因为，所以的取值范围是或，即集合或.
解不等式，两边同时平方得.
展开式子得.移项合并同类项得.
因式分解得.当时，不等式的解集为；
当时，不等式变为，无解；当时，不等式的解集为.
因为集合有且仅有两个子集，所以集合中只有一个元素.
当时，，要使中只有一个元素，
则，解得，不满足，舍去.
当时，，要使中只有一个元素，
则，解得，不满足，舍去.因此，不存在这样的值.
21．【答案】（1）C是；D不是 （2）4050 （3）