2025-2026学年上海复附徐汇高一上学期数学期中试卷（含答案）

复附徐汇2025~2026学年高一上学期期中考试
2025.11
一、填空题（本大题共有12小题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）．
1.已知集合，．若，则______．
2.不等式的解集是______．
3.函数的定义域为______．
4.设，，若是的充分条件，则实数的取值范围是______．
5.不等式的解集是______．
6.函数的值域是______．
7.用二分法研究函数在区间内的零点时，计算得，，，那么下一次应计算______时的函数值．
8.已知关于的不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为____．
9.设是定义在上的偶函数，且当时，．若函数恰有4个零点，则实数的取值范围是______．
10.若正数满足，则的最小值为______．
11.设定义在上的函数满足，且当时．若对任意，不等式恒成立，则实数的最大值是______．
12.不等式有多种解法，其中之一是在同一直角坐标系中作出与的图像，然后求解.
请类比求解以下问题：设，若对任意的都有，则的最大值是______．
二、选择题（共有4小题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分）
13.下列不等式中，解集为的是（ ）
A. B. C. D.
14.若为实数，则“”是“”的（ ）
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分也非必要条件
15.若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
16.设函数的定义域为，若存在正实数，使得对于任意，都有，则称为“类严格增函数”．对于“类严格增函数”，有如下两个命题：
①若是“类严格增函数”，则一定在上严格增；
②函数是“类严格增函数”（其中表示不大于的最大整数）．
则下列选项正确的是（ ）
A.①是假命题；②是真命题 B.①是真命题；②是假命题
C.①是真命题；②是真命题 D.①是假命题；②是假命题
三、解答题（本大题共5题，满分78分）
17.（本题满分）已知集合，．
（1）求的值；
（2）若中至多只有一个元素，求实数的取值范围．
18.（本题满分）设，为常数．
（1）判断的奇偶性并证明；
（2）若，证明在上是严格减函数．
19.（本题满分）“CAOLU”科技公司新研发了一款取名“灵犀”的智能笔，每生产千支“灵犀”笔的总成本为千元，用AI软件对市场的相关数据进行分析得知，“灵犀”笔投放市场后可以全部销售完，其销售额为（单位：千元）．
（1）求“CAOLU”科技公司生产销售“灵犀”笔的利润（千元）关于产量（千支）的函数关系式；
（2）当产量为多少千支时，“CAOLU”科技公司在生产销售“灵犀”笔中所获得的利润最大？
20.（本题满分）已知一元二次方程的两个实根为．
（1）若，，，求的值；
（2）若，，用反证法证明：中至少有一个大于等于2；
（3）若，，求的取值范围．
21.（本题满分）已知函数在区间上的图像是一条连续不断的曲线，若对于给定的非零实数，存在，使得，且，则称函数在区间上具有性质．
（1）判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由；
（2）若函数在区间上具有性质，求正整数的最小值；
（3）若函数在区间上具有性质，求的最大值．
参考答案
一、填空题
1.； 2.； 3.； 4.； 5.； 6.； 7.； 8.； 9.； 10.； 11.； 12..
11.设定义在上的函数满足，且当时，．若对任意，不等式恒成立，则实数的最大值是______．
【解析】依题意可得：当时，，∴，顶点坐标为为；
当时，，此时，
顶点坐标为为；
当时，，此时，
顶点坐标为为.
其函数图像如下所示：
解不等式得或（舍），因此实数的最大值是2.
12.不等式有多种解法，其中之一是在同一直角坐标系中作出与的图像，然后求解.
请类比求解以下问题：设，若对任意的都有，则的最大值是______．
【解析】依题意可得：在区间上，与的函数值始终异号，根据二者图像分析可知：只能是，
∴，且.
所以当时，取得最大值.
二、选择题
13.B； 14.D； 15.A； 16.A
16.设函数的定义域为，若存在正实数，使得对于任意，都有，则称为“类严格增函数”．对于“类严格增函数”，有如下两个命题：
①若是“类严格增函数”，则一定在上严格增；
②函数是“类严格增函数”（其中表示不大于的最大整数）．
则下列选项正确的是（ ）
A.①是假命题；②是真命题 B.①是真命题；②是假命题
C.①是真命题；②是真命题 D.①是假命题；②是假命题
【答案】A
【解析】对于命题①：当时（其中表示不大于的最大整数），此时对任意，均有恒成立，但在上并非严格增，故①为假命题；
对于命题②：，其图像如下所示：
显然，对任意，均有恒成立，即存在正实数1满足题意，故为“类严格增函数”，②为真命题.
三、解答题
17.【答案】（1）；（2）.
18.【答案】（1）当时，函数为偶函数；当时，函数非奇非偶；
（2）证明略.
19.【答案】（1）；（2）产量为11千支时，利润最大.
20.（本题满分）已知一元二次方程的两个实根为．
（1）若，，，求的值；
（2）若，，用反证法证明：中至少有一个大于等于2；
（3）若，，求的取值范围．
【答案】（1）2；（2）证明见解析；（3）.
由韦达定理知：且.
（1），，时，，说明，∴；
（2）假设，由得，再结合可知：异号，同号.
由韦达定理知：，即此时，故，
∴. 而可知：，即，与上述结论矛盾，
故假设错误，即中至少有一个大于等于2；
（3）由得，代入得，
变形得，即，解得.
21.（本题满分）已知函数在区间上的图像是一条连续不断的曲线，若对于给定的非零实数，存在，使得，且，则称函数在区间上具有性质．
（1）判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由；
（2）若函数在区间上具有性质，求正整数的最小值；
（3）若函数在区间上具有性质，求的最大值．
【答案】（1）假设存在，此时，且满足，解得.
故函数在区间上具有性质；
（2）依题意可得：方程在上有解，化简得，解得
（其中舍），故，因此满足条件的最小正整数；
（3）略