2025-2026学年上海曹杨中学高三上学期数学期中试卷（含答案）

曹杨中学2025-2026学年第一学期高三年级数学期中
2025.11
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．函数的定义域为 ．
2．已知复数的共轭复数为，则 ．
3．已知向量，则 ．
4．在等比数列中，，则 ．
5．若且，则的值为 ．
6．在的二项展开式中，系数最小的项为 ．
7．经过坐标原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为 ．
8．若矩形的周长为36，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，求圆柱侧面积的最大值为 ．
9．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的点，点为其准线上的点，且满足．若，则的面积为 ．
10．如图，Rt中，点是线段一动点，若以为圆心半径为1的圆与线段交于两点，则的最小值为 ．
11．某地段一楼房在地震时发生了严重倾斜（未塌陷），如图，已知地震前，该楼房在地面上的影子长度为30米，且在影子末端处测得楼顶的仰角为；地震后，在同样的时间（假设太阳位置不变）测得该楼房在地面上的影子长度为40米，则该楼房当前与地面所成角的大小为 ．（两点到）
12．已知正四面体的棱长，点分别在棱上，则满的三角形的个数共有 个．
二、选择题（本大题共有4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分）
13．下列函数中为奇函数的是（ ）.
A． B． C． D．
14．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知这两人能破译的概率分别为，若甲、乙两人一起破译这份密码，则密码不能被成功破译的概率为（ ）.
A． B． C． D．
15．设，点是坐标原点，是双曲线的左焦点，若直线经过点，且与双曲线的右支在第一象限内交于点，则双曲线的离心率的一个可能的值是（ ）.
A． B． C． D．
16．已知，函数在点处的切线均经过坐标原点，则（ ）.
A． B． C． D．
三、解答题（本大题共有5题，满分78分，解答下列各题必须写出必要的步骤）
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面为等腰直角三角形，为底面圆周上
一点.
（1）若弧的中点为，求证：平面；
（2）如果面积是9，求此圆锥的表面积及三棱锥体积的最大值．
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知．
（1）求函数的最小正周期及单调减区间；
（2）已知为实数，若关于的不等式在时恒成立，求的取值范围．
19．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分）
自2024届起，上海实行高考改革新方案。新方案规定：语文、数学、英语是考生的必考科目，考生还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理6门科目中选取3门作为选考科目.
某校为了解高一年级540名学生选科方案的意向，按性别分层抽样，随机选取36名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：
性别 人数 物理 化学 生物 政治 历史 地理
男生 20 20 20 8 2 3 7
女生 16 6 6 16 4 10 6
（1）估计该学校高一年级全体男生中，选科方案为＂物理、化学、历史＂组合的人数；
（2）从选取的20名男生中随机选出2名，求恰好有1人选＂物理、化学、生物＂组合的概率；（结果用最简分数表示）
（3）已知选取的16名女生有且仅有＂物理、化学、生物＂、＂生物、政治、历史＂、＂生物、历史、地理＂3种选科方案.若从选取的16名女生中随机选出2名，求2人选科方案不同的概率．（结果用最简分数表示）
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知椭圆的左、右顶点分别为.过点的直线交椭圆于两点．
（1）若的离心率为，求的值；
（2）若为等腰三角形且在第一象限，求点的坐标；
（3）设直线交椭圆于另一点，若，求的取值范围．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知定义域均为的函数是的非空子集.若对任意，，当时，总有则称是的一个＂关联函数＂．
（1）求的所有关联函数；
（2）若是其自身的一个关联函数，求实数的取值范围；
（3）证明：＂是关联，且是关联＂的充要条件是＂是关联＂．
曹杨中学2025-2026学年第一学期高三年级数学期中
2025.11
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．函数的定义域为 ．
【答案】
2．已知复数的共轭复数为，则 ．
【答案】
3．已知向量，则 ．
【答案】
4．在等比数列中，，则 ．
【答案】16
5．若且，则的值为 ．
【答案】9
6．在的二项展开式中，系数最小的项为 ．
【答案】
7．经过坐标原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为 ．
【答案】2
8．若矩形的周长为36，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，求圆柱侧面积的最大值为 ．
【答案】
9．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的点，点为其准线上的点，且满足．若，则的面积为 ．
【答案】
10．如图，Rt中，点是线段一动点，若以为圆心半径为1的圆与线段交于两点，则的最小值为 ．
【答案】2
11．某地段一楼房在地震时发生了严重倾斜（未塌陷），如图，已知地震前，该楼房在地面上的影子长度为30米，且在影子末端处测得楼顶的仰角为；地震后，在同样的时间（假设太阳位置不变）测得该楼房在地面上的影子长度为40米，则该楼房当前与地面所成角的大小为 ．（两点到）
【答案】
12．已知正四面体的棱长，点分别在棱上，则满的三角形的个数共有 个．
【答案】3
二、选择题（本大题共有4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分）
13．下列函数中为奇函数的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
14．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知这两人能破译的概率分别为，若甲、乙两人一起破译这份密码，则密码不能被成功破译的概率为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
15．设，点是坐标原点，是双曲线的左焦点，若直线经过点，且与双曲线的右支在第一象限内交于点，则双曲线的离心率的一个可能的值是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
16．已知，函数在点处的切线均经过坐标原点，则（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
三、解答题（本大题共有5题，满分78分，解答下列各题必须写出必要的步骤）
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面为等腰直角三角形，为底面圆周上
一点.
（1）若弧的中点为，求证：平面；
（2）如果面积是9，求此圆锥的表面积及三棱锥体积的最大值．
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】（1）∵是底面圆的直径，∴∵弧的中点为，∴，
又共面，∴，又不在平面平面，∴平面
（2）设圆锥底面半径为，高为，母线长为，
∵圆锥的轴截面为等腰直角三角形，∴
由，得
∴圆锥的表面积
易知当是弧中点时，三棱锥体积的最大，
且最大值为：
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知．
（1）求函数的最小正周期及单调减区间；
（2）已知为实数，若关于的不等式在时恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）单调减区间为． （2）
【解析】（1），
故的最小正周期是
令，解得，
所以的单调减区间为．
（2），关于的不等式在时恒成立，
关于的不等式在时恒成立，
由，则，所以，则，
所以，解得，即的取值范围为．
19．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分）
自2024届起，上海实行高考改革新方案。新方案规定：语文、数学、英语是考生的必考科目，考生还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理6门科目中选取3门作为选考科目.
某校为了解高一年级540名学生选科方案的意向，按性别分层抽样，随机选取36名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：
性别 人数 物理 化学 生物 政治 历史 地理
男生 20 20 20 8 2 3 7
女生 16 6 6 16 4 10 6
（1）估计该学校高一年级全体男生中，选科方案为＂物理、化学、历史＂组合的人数；
（2）从选取的20名男生中随机选出2名，求恰好有1人选＂物理、化学、生物＂组合的概率；（结果用最简分数表示）
（3）已知选取的16名女生有且仅有＂物理、化学、生物＂、＂生物、政治、历史＂、＂生物、历史、地理＂3种选科方案.若从选取的16名女生中随机选出2名，求2人选科方案不同的概率．（结果用最简分数表示）
【答案】（1）45 （2） （3）
【解析】（1）由题意知该学校高一年级男生有人.
因此估计该学校高一全体男生中，
选科方案为＂物理、化学、历史＂组合的人数为人．
（2）用表示事件＂恰好有1人选＂物理、化学、生物＂组合＂，则．
（3）由题意知选取的16名女生中，有6人选＂物理、化学、生物＂，
4人选＂生物、政治、历史＂，6人选＂生物、历史、地理＂.
用表示事件＂2人选科方案不同＂，则，
进而有．
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知椭圆的左、右顶点分别为.过点的直线交椭圆于两点．
（1）若的离心率为，求的值；
（2）若为等腰三角形且在第一象限，求点的坐标；
（3）设直线交椭圆于另一点，若，求的取值范围．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）由题意知，
椭圆焦点在轴上，，则，则，因此．
（2）当时，椭圆，其中
如下图所示：设点，且，
因为为等腰三角形，且在第一象限，
已知，
由椭圆对称性和点位置可知，，
若，则，所以，可得，
又因为在椭圆上，所以，即，
将代入中，得到，
展开并化简可得：，即，
③进一步变形为，，
则此方程无实数解；故；
若，则，
将代入可得，
展开并化简：，即，
因式分解为，解得或（舍去），
将代入椭圆方程可得，所以．
（3）设直线的方程为，
将代入椭圆方程，得到，
展开并整理可得，由得
由韦达定理可得，
因为与关于原点对称，所以，
又，则，
根据向量数量积求解：已知，则，
将代入上式可得：
整理得
将代入上式可得：
，即，
因为，所以，所以，又，所以．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知定义域均为的函数是的非空子集.若对任意，，当时，总有则称是的一个＂关联函数＂．
（1）求的所有关联函数；
（2）若是其自身的一个关联函数，求实数的取值范围；
（3）证明：＂是关联，且是关联＂的充要条件是＂是关联＂．
【答案】（1） （2） （3）证明见解析
【解析】（1）设是的关联函数，
对于，当时，，
因为，所以，
设，则，令，则，所以，
所以的关联函数为．
（2）因为是其自身的一个关联函数.
即任取，则，也即函数在上是严格增函数
即在上严格增，所以在上恒成立，
即在上恒成立，所以
设，则，
令，则，则，
所以在上严格减，在上严格增，
所以，所以．
（3）①先证明：是关联的，且是在关联的，在是关联的，
由已知条件可得，，∴,
又∵是在关联的，∴任意任取成立，
若,∴，∴，
即，∴，∴是关联，
②再证明：在是关联的是在关联的，且是在关联的，
∵是关联，∴任取，都有成立，
且，则
又，故且，
故是关联的则，
再证明是在关联的，
任取，则存在，使得任取，
∵,∴,
∴,∴是在关联的；
综上所述，是关联的，且是在关联的，当且仅当＂在是关联的＂，故得证．