2025-2026学年上海控江中学高一上学期数学期中试卷（含答案）

控江中学2025~2026学年第一学期高一年级数学期中
2025.11
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7~12题每题5分）
1.若全集，，则__________．
2.已知函数的图像过点，则实数______．
3.若实数且，函数的图像恒过定点，则点的坐标为________．
4.若实数满足且，则________．
5.函数的定义域为_________．
6.函数的图像的对称中心为_________．
7.若对任意，恒成立，则实数的取值范围为__________．
8.已知为实数，关于的不等式的解集为，则不等式的解集为______．
9.聚合酶链式反应（PCR）扩增技术可以将微量的DNA片段大量复制以便仪器进行检测，常用于医学、考古、刑侦等领域，每1次扩增将DNA片段量变为扩增前的2倍．若某研究中初始DNA片段量为5，要求用于仪器检测的DNA片段量不低于，则检测前需要扩增的次数至少为______．
10.若对任意满足的实数都有成立，则实数的取值范围为_________．
11.若存在实数使得成立，则实数的取值范围为_________．
12.给定有限集，记为集合内元素的个数．对正整数，设，且是3的倍数，则的最大值与最小值之和为_________．
二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13~14题满分4分，第15~16题满分5分）．
13.语句“或”的否定形式为（ ）
A.或 B.或 C. D.且
14.已知，则“”是“”的（ ）
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
15.设，以下四幅图像中，可能代表函数与的图像是（ ）
A. B. C. D.
16.以下四个命题中，正确的有（ ）个．
①存在，以及，使得；
②存在，以及，使得；
③存在，以及，使得；
④存在，以及，使得．
A.1 B.2 C.3 D.4
三、解答题（本大题共5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分）
17.（本题满分）
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围．
18.（本题满分）已知是方程的两实根（其中），求下列两个不等式的解集：
（1）；
（2）．
19.（本题满分）某工厂计划建设一个容积为1000立方米的长方体露天蓄水池，并为其底部和侧壁铺设瓷砖．施工公司给出的铺设池底的报价是每平方米24元，铺设池壁的报价是每平方米20元．由于生产需要，要求蓄水池深度不得超过10米，底部长与宽均不得超过20米．
（1）池底的周长最小为多少？（单位：米）
（2）假设将蓄水池深度限定为5米，则应如何设计池底的长与宽，可以使得铺设的成本最小？最小成本又是多少元？（成本精确到小数点后2位）
20.（本题满分）距离的度量是机器学习算法的重要基础，对平面直角坐标系中的两点，（可重合），定义它们的阶闵可夫斯基距离为：（其中）．
（1）设点，点，求与的值；
（2）若，点和点关于直线对称，比较与的大小，并证明结论；
（3）若，给定点，设集合，，证明：．
21.（本题满分）设是一个非空集合，如果对于任意的，，有，则称是加法封闭的；而如果对于任意的，，有，则称是乘法封闭的．
（1）证明：区间不是加法封闭的；
（2）若区间是加法封闭的，求实数的取值范围；
（3）设，集合是函数的定义域，若是乘法封闭的，求实数的取值范围．
参考答案
一、填空题
1.； 2.； 3.； 4.； 5.； 6.；
7.； 8.； 9.； 10.； 11. 12.
11.若存在实数使得成立，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】由题意得.
同一坐标系内作出函数的图像与直线，
存在实数使得成立，则的解集不是空集.
观察图像，可知直线上的点不能都位于图像的下方，所以直线的斜率应满足或，由得，所以的取值范围是．
二、选择题
13.D 14.A 15.B 16.C
16.以下四个命题中，正确的有（ ）个．
①存在，以及，使得；
②存在，以及，使得；
③存在，以及，使得；
④存在，以及，使得．
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】对于①，由对数的运算性质可知①正确；
对于②，假设存在，以及，使得，
即.
令，则，整理得.
因为，所以，那么，
则，与矛盾，所以命题②错误；
对于③，若存在，以及，使得，
则，即.
因为，则当时，满足，故命题③正确；
对于④，令，此时，所以命题④正确．故选C．
三、解答题
17.【答案】（1）；（2）.
18.【答案】（1）；（2）.
19.【答案】（1）；（2）.
20．（本题满分）距离的度量是机器学习算法的重要基础，对平面直角坐标系中的两点，（可重合），定义它们的阶闵可夫斯基距离为：（其中）．
（1）设点，点，求与的值；
（2）若，点和点关于直线对称，比较与的大小，并证明结论；
（3）若，给定点，设集合，，证明：．
【答案】（1），；
（2）依题意可设，
则，.
∵，∴，∴.
∴当时，即点和点在直线上时，，
即；
当时，即点和点不在直线上时，，
即.
（3）证明略.
21.（本题满分）设是一个非空集合，如果对于任意的，，有，则称是加法封闭的；而如果对于任意的，，有，则称是乘法封闭的．
（1）证明：区间不是加法封闭的；
（2）若区间是加法封闭的，求实数的取值范围；
（3）设，集合是函数的定义域，若是乘法封闭的，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.
【解析】（1）证明：取，均属于，但，故区间不是加法封闭的．
（2）对任意，需，即恒成立，故．
而，∴，故需满足，解得．故实数的取值范围为．
（3）由，得，根据，故．
因是乘法封闭的，即对任意，需.
当时，，需，解得；
当时，，此时（当时，该式显然成立）；
当时，，需，即（因，该式仍成立）.
故综上所述：实数的取值范围为．