2026年高考物理一轮复习靶向训练6 带电粒子在磁场中运动的典型问题（含解析）

靶向训练6 带电粒子在磁场中运动的典型问题
题型1 动态圆问题
1.一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，ab为半圆, ac、 bd与直径 ab共线，ac间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q(q>0)|的粒子，在纸面内从c点垂直于 ac射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为 ( )
2.如图,虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点。大量相同的带电粒子以相同的速率经过 P 点，在纸面内沿不同方向射入磁场。若粒子射入速率为v ，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v ，相应的出射点分布在三分之一圆周上。不计重力及带电粒子之间的相互作用。则v ：v 为 ( )
A. :2 B. :1 C. :1 D.3:
3.(多选)如图所示的直角三角形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场(图中未画出)，磁感应强度的大小为 B，边界Ⅰ、Ⅱ的长度分别为 L、L;大量均匀分布的带电粒子由边界Ⅰ的左侧沿平行边界Ⅱ的方向垂直射入磁场，粒子的速率均相等，已知从边界Ⅰ离开磁场的带电粒子占总粒子数的 ，带电粒子的质量为m，所带电荷量为+q(q>0)，忽略带电粒子之间的相互作用以及粒子的重力。下列说法正确的是( )
A.带电粒子射入磁场后沿顺时针方向做匀速圆周运动
B.带电粒子在磁场中运动的最长时间为
C.刚好从边界Ⅲ离开的带电粒子在磁场中运动的时间为
D.带电粒子的初速度大小为
4.(多选)如图所示，在平面直角坐标系xOy内，以坐标原点O为圆心，半径为 R 的圆形区域内存在垂直于坐标平面的匀强磁场(图中未画出)，磁场区域外右侧有宽度为R 的粒子源，M、N为粒子源两端点，M、N连线垂直于x轴，粒子源中点 P 位于x轴上，粒子源持续沿x轴负方向发射质量为m、电荷量为q(q>0)、速率为v的粒子。已知从粒子源中点 P发出的粒子，经过磁场区域后，恰能从圆与y轴负半轴的交点 Q 处沿y轴负方向射出磁场，不计粒子重力及粒子间相互作用力，则( )
A.带电粒子在磁场中运动的半径为 R
B.匀强磁场的磁感应强度大小为
C.在磁场中运动的带电粒子路程最长为
D.带电粒子在磁场中运动的时间最短为
5.(多选)我国研制的世界首套磁聚焦霍尔电推进系统已经完成了全部在轨飞行验证工作，可作为太空发动机使用，带电粒子流的磁聚焦是其中的关键技术之一。如图，实线所示的两个圆形区域内存在垂直于纸面的匀强磁场Ⅰ、Ⅱ，磁感应强度分别为B ，B 。两圆半径均为r，相切于O 点。一束宽度为2r的带电粒子流沿x轴正方向射入后都汇聚到坐标原点O。已知粒子的质量均为m、电荷量均为+q、进入磁场的速度均为v，不计带电粒子的重力及粒子间的相互作用力。下列说法正确的是 ( )
A. B 的大小为
B.从O 点进入磁场Ⅱ的粒子的速度仍相同
C.若 则粒子在磁场Ⅱ的边界的射出点在四分之一圆周上
D.若 ，则粒子在磁场Ⅱ中运动的最长时间为
题型2 临界极值问题
6.真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a 和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为 ( )
7.如图所示，三角形ACD 区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为 B,∠C=30°,∠D=45°,AO垂直于CD,OA长度为L。O 点有一电子源,在ACD平面向磁场内各个方向均匀发射速率均为v 的电子，速度方向用与OC 的夹角θ表示，电子质量为m，电荷量大小为e，且满足 下列说法正确的是 ( )
A.从AC边射出的电子占总电子数的六分之一
B.从AD 边射出的电子占总电子数的二分之一
C.从OD边射出的电子占总电子数的三分之一
D.所有从AC边射出的电子中，当θ=30°时，所用的时间最短
8.(多选)如图，在等腰梯形abcd区域内(包含边界)存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为 B，边长 ad=dc=l，ab=2l。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从a点沿 ad方向射入磁场中，不计粒子的重力，为了使粒子不能从 bc边射出磁场区域，粒子的速率可能为 ( )
9.(2024 广东惠州模拟)如图所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B=0.30 T。磁场内有一块较大的平面感光板 ab，板面与磁场方向平行，在距 ab 的距离l=32 cm处有一个点状的α粒子放射源S，它向各个方向发射α粒子，α粒子的速率都是 已知α粒子的比荷 现只考虑在纸面内运动的α粒子，则感光板 ab 上被α粒子打中区域的长度为 ( )
A.20cm B.40 cm C.30cm D.25 cm
10.(2025 辽宁沈阳二模)(多选)如图所示，直角三角形ABC 位于纸面内,∠C =30°,AB边长为 d。垂直于纸面向外的匀强磁场被限定在直角三角形ABC区域内。质量为m、电荷量为+q的粒子从A 点以速度v沿纸面射入磁场区域，刚好从 C 点离开磁场。粒子重力不计，下列说法中正确的是 ( )
A.磁场磁感应强度的最大值为
B.粒子通过磁场的最长时间为
C.粒子在磁场中做匀速圆周运动的最小周期为
D.粒子在磁场中做匀速圆周运动的最大角速度为23sd
11.(2025 湖南郴州模拟)(多选) M如图所示，匀强磁场中位于 P处的粒子源可以沿垂直于磁场方向向纸面内的各个方向发射质量为m、电荷量为q、速率为v的带正电粒子，P到荧光屏 MN的距离为 d，设荧光屏足够大，不计粒子重力及粒子间的相互作用。下列判断正确的是 ( )
A.若磁感应强度 则发射出的粒子到达荧光屏的最短时间为
B.若磁感应强度 则同一时刻发射出的粒子到达荧光屏的最大时间差为
C.若磁感应强度 则荧光屏上形成的亮线长度为(
D.若磁感应强度 则荧光屏上形成的亮线长度为
12.如图,在0≤x≤h,-∞0)的粒子以速度v 从磁场区域左侧沿x轴进入磁场，不计重力。
(1)若粒子经磁场偏转后穿过y轴正半轴离开磁场，分析说明磁场的方向，并求在这种情况下磁感应强度的最小值 Bm；
(2)如果磁感应强度大小为B ，粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场。求粒子在该点的运动方向与x轴正方向的夹角及该点到x轴的距离。
题型3 多解问题
13.(2025黑龙江齐齐哈尔模拟)(多选)如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ 方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP 之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷大小为 am，速率为v，OP与OQ 间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度 B 的大小和方向可能是 ( )
垂直纸面向里
垂直纸面向里
垂直纸面向外
垂直纸面向外
14.(多选)在如图所示的平面内，分界线SP 将宽度为 L 的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为 B，SP与磁场左右边界垂直。离子源从S 处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与 SP 成30°角。已知离子比荷为k，不计重力。若离子从P 点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为 ( )
C. kBL,60° D.2kBL,60°
15.(多选)如图所示的正六边形是一个绝缘筒的截面，筒内无磁场，在每边中点处开一小孔。现有质量为m、电荷量为+q的粒子(不计重力)，从其中一个小孔以垂直边方向、大小恰当的初速度，进入外部磁感应强度大小为 B 的无限大匀强磁场。磁场方向垂直截面，若粒子可以不与筒相碰，以相同速度回到起点，那么该过程粒子经历的时间可能是 ( )
16.(16分)空间存在两个垂直于 Oxy平面的匀强磁场，y轴为两磁场的边界，磁感应强度分别为： ，甲、乙两种比荷不同的粒子同时从原点O 沿x轴正向射入磁场，速度均为v。甲第1次、第2次经过y轴的位置分别为 P、Q，其轨迹如图所示。甲经过Q时，乙也恰好同时经过该点。已知甲的质量为m，电荷量为q。不考虑粒子间的相互作用和重力影响。求：
(1)Q到O 的距离d;
(2)甲两次经过P点的时间间隔
(3)乙的比荷 可能的最小值。
1C 由带电粒子在磁场中做圆周运动的周期公式 可知，运动的周期和粒子运动的速度没有关系，所以本题中粒子在磁场中转过的圆心角越大，运动的时间越长。
解题思路 如图所示，设某一粒子从磁场圆弧ab上的e点射出磁场，粒子在磁场中转过的圆心角为π+θ=π+2α,由于所有粒子在磁场中运动周期相同，粒子在磁场中做匀速圆周运动时，运动轨迹对应的圆心角最大，则运动时间最长。由几何关系可知，α最大时，ce恰好与圆弧 ab相切，此时 可得 设粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为 T，粒子在磁场中运动的最长时间 又 解得 故选C。
2C 设速率为v 的粒子最远出射点为 M，速率为v 的粒子最远出射点为 N，如图所示，则由几何知识得
(点拨：入射点和出射点的连线为轨迹圆的弦，最长的弦为轨迹圆的直径。六分之一圆对应的圆心角为60°，对应磁场圆的弦长为R，三分之一圆对应的圆心角为120°，对应磁场圆的弦长为 R)
由 得 故 选项C正确。
3BD 由左手定则可知，带电粒子在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，A错误；带电粒子在磁场中运动的周期为 带电粒子在磁场中转过半个圆周时，运动时间最长，则带电粒子在磁场中运动的最长时间为 正确；作出带电粒子刚好与边界Ⅲ相切的轨迹，如图所示，由于从边界Ⅰ离开磁场的带电粒子占总粒子数的 ，则图中的a、b、c为边界Ⅰ的四等分点，由几何关系可知，三角形区域的顶角为30°，a点到顶点的距离为 根据几何关系可得 解得粒子轨迹半径 根据牛顿第二定律得 解得 D正确；由图可知，刚好从边界Ⅲ离开的带电粒子在磁场中偏转的角度为120°，则该粒子在磁场中运动的时间为 C错误。
4AC 从粒子源中点P 发出的粒子，在磁场中的轨迹如图所示，由几何知识可知，带电粒子在磁场中运动的半径为R,A正确;
根据牛顿第二定律有 解得 B错误；从M点发出的粒子在磁场中的轨迹如图所示，此时在磁场中的轨迹最长，由几何知识可知，四边形O DOQ 为菱形，则∠QO D=120°，则在磁场中运动的带电粒子路程最长为l= C正确；
从N点发出的粒子在磁场中的轨迹如图所示，此时在磁场中运动的时间最短，可知四边形 OBO Q 为菱形，则 则粒子在磁场中运动的时间最短为 D.错误。
5AD 由磁聚焦的特点可知，粒子在磁场Ⅰ中的运动半径与磁场圆的半径相等，即 解得 故 A 正确；洛伦兹力只改变带电粒子的运动方向，不改变其速度的大小，则粒子在O 点的速度大小相等，但方向不同，故B错误；若 则 可知粒子离开磁场Ⅱ最远的位置离原点距离为r，由几何关系知，粒子在磁场Ⅱ的边界的射出点在六分之一圆周上，故C错误；若 则 粒子离开磁场Ⅱ时运动轨迹的弦越长，运动的时间越长，由几何关系知，粒子在磁场中运动轨迹对应的圆心角最大为60°(点拨：此时弦为磁场圆的直径)，则粒子在磁场Ⅱ中运动的最长时间为 故D正确。
6C 为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，且磁感应强度最小，由 可知，电子在匀强磁场中的轨迹半径 当r最大时，B最小，故临界情况为电子轨迹与有界磁场外边界相切，如图所示，由几何关系知 解得 联立可得最小的磁感应强度 C正确。
7B 由于电子源发射的电子速率相同，电子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有 解得 即所有电子运动的半径都相等，由左手定则可知，电子进入磁场后沿顺时针方向做圆周运动，所以其从AC 边射出的一个临界位置为A点,此时θ=60°,当0°≤θ≤60°时，电子从AC边上射出，由几何关系可知，从AC 边射出的电子数占总电子数的 故A 错误；当( 150°时，电子从AD 边射出，由几何关系可知从AD 边射出的电子数占总电子数的 故 B正确；当1 180°时，电子从OD边射出，由几何关系可知，从OD 边射出的电子数占总电子数的 故C错误；电子在磁场中做匀速圆周运动，其周期 在磁场中运动的时间t满足 整理有 则电子运动轨迹对应的圆心角越小，其在磁场中运动的时间就越短，而圆心角所对应的弦长越长，其圆心角越大，所以最短时间对应弦长的最小值，过O点作AC的垂线，交AC于E点，则对于从AC 边射出的电子，电子从E 点射出时，所用时间最短，由几何关系可知，此时θ不等于30°，故D错误。
8.AC 粒子不从 bc边射出，其临界条件分别是从b点和c点射出，其临界轨迹如图所示。当粒子从c点飞出时，由几何关系有 当粒子从b点飞出时，由几何关系有 由洛伦兹力提供向心力，有 整理有 分析可知，要使粒子不能从 bc边射出，r应满足的条件为rr ，解得 或v> 故选A、C。
9B α粒子带正电，故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，用R 表示轨迹半径，有 解得R=0.2m=20cm；由于2R>l>R，从S朝不同方向发射的α粒子的圆轨迹都过S，可知轨迹在N左侧与 ab 相切时的切点P 就是α粒子能打中的左侧最远点；再考虑N的右侧，α粒子在运动中离S的距离不可能超过2R，则以2R为半径、S为圆心作圆，交ab于N右侧的P 点为右侧能打到的最远点，粒子运动轨 迹 如 图 所 示。根据 几 何 关系 可 得 故感光板 ab 上被α粒子打中区域的长度为 40cm,故B正确。
10 BD 根据带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的特点可知，粒子从C 点沿 BC 方向射出磁场时，粒子做匀速圆周运动的半径最小、磁场磁感应强度最大、通过磁场的时间最长、周期最小、角速度最大。当粒子从 C 点沿 BC方向射出磁场时，粒子的运动轨迹如图，设此时粒子的轨迹半径为 r，由几何知识可知 由 可得磁感应强度为 通过磁场的时间为 周期为 、角速度为v d。故选 B、D。
11 ABC 根据 若磁感应强度 ，则运动的半径R=d，粒子到达荧光屏的时间最短时，恰好打到 P 点的 N正左方，如图所示，根据几何关系知，轨迹对应的圆心角为 则 故 A 正确。由几何关系可知，打到荧光屏MN上的最长时间对应粒子恰好运动了 个周期，因此时间差 故 B 正确。若磁感应强度 则轨迹半径R=2d。到达荧光屏最下端的粒子的轨迹是与 MN相切的，根据几何关系有 解得 到达荧光屏最上端的粒子的轨迹与屏的交点和 P 点连线为轨迹 x 的直径，根据几何关系有 解得 所以亮线的总长度为( d,故C正确,D错误。
12 解题思路 (1)由题意，粒子刚进入磁场时应受到方向向上的洛伦兹力，因此磁场方向垂直于纸面向里。设粒子进入磁场中做圆周运动的半径为 R，根据洛伦兹力公式和圆周运动规律，有
①
由此可得 ②
粒子穿过y轴正半轴离开磁场，其在磁场中做圆周运动的圆心在y轴正半轴上，半径应满足
R≤h ③
由题意，当磁感应强度大小为B 时，粒子的运动半径最大，由此得
④
(2)若磁感应强度大小为B ，粒子做圆周运动的圆心仍在y轴正半轴上，由②④式可得，此时圆弧半径为
R'=2h ⑤
粒子会穿过图中P 点离开磁场，运动轨迹如图所示。设粒子在 P点的运动方向与x轴正方向的夹角为α，由几何关系得 ⑥
即 ⑦
由几何关系可得，P点与x轴的距离为
y=2h(1-cosα) ⑧
联立⑦⑧式得
13 BD 当磁场方向垂直纸面向里时，离子恰好与OP 相切的轨迹如图甲所示，设此时轨迹半径为r ，由几何关系可知 可得r =s,由 可得 当磁场方向垂直纸面向外时，其临界轨迹如图乙所示，设此时轨迹半径为r ，由几何关系可知 可得 由 可得 故B、D正确,A、C错误。
14 BC 离子入射速度大小不同但方向均与 SP 夹角为30°，故从P 点出射时的速度与SP 夹角仍为30°，由( 寻 若S、P 之间为奇数段圆弧,即(2n+1)R=L(n=0,1,2…),有 解得 2…)，对应出射和入射速度方向夹角θ=60°，当n=0时，v =kBL,C 选项正确;若S、P 之间为偶数段圆弧,即2nR=L(n=1,2,3…),有 解得 对应出射和入射速度方向夹角θ=0°，当n=1时， 则 B选项正确。
15 AD 粒子的轨迹可能如图所示，由 可知 由几何关系得 解得 d= R，故在正六边形内运动的时间至少为 粒子在磁场中做圆周运动的周期为 故粒子在磁场中的运动时间至少为 该过程粒子经历的时间可能是 当n=4时t=8(2π+ A正确；
粒子的轨迹可能如图所示，由洛伦兹力提供向心力有 得 由几何关系得 解得 故在正六边形内运动的时间至少为t '= 粒子在磁场中做圆周运动的周期为 故粒子在磁场中的运动时间至少为 该过程粒子经历的时间可能是 t'= 当n=3时,t'= D正确。
16 解题思路 (1)甲粒子先后在两磁场中做匀速圆周运动，设半径分别为r
由半径 得
且 解得
(2)甲粒子先后在两磁场中做匀速圆周运动，设运动时间分别为t 、c
由 得 且 (点拨：甲第一次经过 P点时只在y轴右侧经过一段半圆轨迹，甲在y轴右侧经过三段半圆轨迹、在y轴左侧经过三段半圆轨迹后会第二次经过P点)
解得
(3)乙粒子周期性地先后在两磁场中做匀速圆周运动
若经过两磁场的次数均为n(n=1,2,3,…)
相遇时，有
解得
根据题意，n=1舍去。
当n=2时,g/m有最小值
若先后经过右侧、左侧磁场的次数分别为n+1、n(n=0,1,2，3，…)，经分析两粒子不可能相遇。