2025-2026学年上海大同中学高三上学期数学期中试卷（含答案）

大同中学2025学年第一学期高三年级数学期中
2025.11
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）
1.在复平面内，复数对应的点的坐标为，则______．
2.函数的最小正周期为______．
3.已知集合，，则______．
4.已知，，且是奇函数，则______．
5.已知正实数、满足，则的最大值为______．
6.已知，，若，则______．
7.已知直线是双曲线的一条渐近线，则的离心率等于______．
8.的展开式中的系数为______．
9.已知函数，若当时，，则的最大值
是______．
10.如图所示，某游乐场有一款游乐设施，该设施由转轮和转轮组成，的圆心固定在转轮上的点处，某个座椅固定在转轮上的点处．的半径为10米，的半径为5米，的圆心距离地面竖直高度为20米．游乐设施运行过程中，与分别绕各自的圆心逆时针方向匀速旋转，旋转一周用时分钟，旋转一周用时分钟．当在正下方且在正下方时，开始计时，设在第分钟距离地面的竖直高度为米．则的最大值为______．
11.数列的项是由1或2构成，且首项为1，在第个1和第个1之间有个2，即数列为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…．记数列的前项和为，则______．
12.正四面体，棱长为．点满足，则的取值范围是______．
二、选择题（第13～14题每题满分4分，第15～16题每题满分5分）
13.已知、，则“”是“”的（ ）
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件
14.如图，已知、、、、、分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线相交的是（ ）
A.直线 B.直线
C.直线 D.直线
15.在2022年某省普通高中学业水平考试（合格考）中，对全省所有考生的数学成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，90分以上为优秀，则下列说法中不正确的是（ ）
A.该省考生数学成绩的中位数为75分
B.若要全省的合格考通过率达到，则合格分数线约为44分
C.从全体考生中随机抽取1000人，则其中得优秀考生约有100人
D.若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，可得考试数学成绩的平均分约为70.5
16.设函数是周期函数，对于命题：①存在函数，使得是的周期，但不是的周期；②存在函数，及周期，使得对任意的，当时，函数在，图像总不相同．下列判断正确的是（ ）
A.①和②均为真命题 B.①为真命题，②为假命题
C.①为假命题，②为真命题 D.①和②均为假命题
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17.（本题满分14分，共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
在中，，．
（1）求的值；
（2）若，求的周长和面积．
18.（本题满分14分，共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，在直三棱柱中，，为的中点．
（1）求证：直线；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
19.（本题满分14分，共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
某高中组织学生研学旅行．现有两地可供选择，学生按照自愿的原则选择一地进行研学旅行．研学旅行结束后，学校从全体学生中随机抽取100名学生进行满意度调查，调查结果如下表：
高一 高二 高三
地 地 地 地 地 地
满意 12 2 18 3 15 6
一般 2 2 6 5 6 8
不满意 1 1 6 2 3 2
假设所有学生的研学旅行地点选择相互独立．用频率估计概率．
（1）估计该校学生对本次研学旅行满意的概率；
（2）分别从高一、高二、高三，三个年级中随机抽取1人，估计这3人中至少有2人选择去地的概率．
20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）．
在直角坐标系中，抛物线的焦点为．
（1）已知点在抛物线上，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆的面积为．求抛物线的方程；
（2）若抛物线的方程为．过点作直线与交于不同的两点．若，求直线的斜率；
（3）若抛物线的方程为．过其焦点的直线与抛物线交于点，两点，直线过且与抛物线在处的切线平行，直线交抛物线与另一点，求面积的最小值．
21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）．
已知函数的定义域为，定义集合．
（1）若函数，求集合；
（2）若，判断下列命题是否正确并说明理由：①存在函数为偶函数；
②存在函数在处取最大值；
（3）已知函数满足，求的范围．
参考答案
一、填空题
1.； 2.； 3.； 4.； 5.； 6.； 7.； 8.； 9.； 10.； 11. ； 12.；
12..正四面体，棱长为．点满足，则的取值范围
是______
【答案】
【解析】设的中点为，连接．
因为动点满足，所以，
即点落在以为球心，以1为半径的球上．
因为，所以．
因为正四面体的棱长为，所以，
在三角形中，．
取的中点为，连接，则，
所以在上的投影向量的模为，所以．
设，所以．
因为，所以．
二、选择题
13.C； 14.A； 15.A； 16.D
15.在2022年某省普通高中学业水平考试（合格考）中，对全省所有考生的数学成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，90分以上为优秀，则下列说法中不正确的是（ ）
A.该省考生数学成绩的中位数为75分
B.若要全省的合格考通过率达到，则合格分数线约为44分
C.从全体考生中随机抽取1000人，则其中得优秀考生约有100人
D.若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，可得考试数学成绩的平均分约为70.5
【答案】A
【解析】因为前几组的频率依次为，所以中位数在内，
所以中位数为，所以错；
要全省的合格考通过率达到，设合格分数线为，则正确；
由频率分布直方图优秀的频率为0.1，因此人数为正确；
由频率分布直方图得平均分为
考试数学成绩的平均分约为正确．故选：．
16.设函数是周期函数，对于命题：①存在函数，使得是的周期，但不是的周期；②存在函数，及周期，使得对任意的，当时，函数在，图像总不相同．下列判断正确的是（ ）
A.①和②均为真命题 B.①为真命题，②为假命题
C.①为假命题，②为真命题 D.①和②均为假命题
【答案】D
【解析】命题①分析：
若 是周期，则对任意 ，有 。取 ，则 ，说明 也是周期。因此，不存在满足条件的函数，命题①为假。
命题②分析：
周期函数在任何长度为 的区间上的图像应相同。若对不同 ，图像总不相同，则与周期性矛盾。故命题②为假。
三、解答题
17.（1） （2）周长为32，面积为24
18.（1）证明略 （2）
19.（1） （2）
20.（1）设 ，由题意得圆心到准线距离等于半径，解得 ，抛物线方程为 。
（2）设直线 ，与抛物线联立，利用 解得 或 。
（3）设 ， ，直线 ，与抛物线联立得 ， 。求得 面积表达式并最小化，得最小值为 。
21. (1) 答案：
解析： 指数函数 单调递增，满足定义。
(2) 答案：
① 不正确：若 为偶函数，且 ，则 ，与定义矛盾。
② 正确：可构造分段函数，如 ，满足条件。
(3) 答案：
的范围为