第四章
图形的相似
第六节
利用相似三角形测高
【学习目标】
1、通过测量旗杆的高度的活动，巩固相似三角形有关知识，积累数学活动的经验．
2、熟悉测量工具的使用技能，了解小镜子使用的物理原理
【学习重难点】重点：综合运用相似三角形判定、性质解决实际问题
难点：解决学生在操作过程中如何与课本中有关知识相联系．
【学习过程】
模块一
预习反馈
一、知识回顾
1、相似三角形：对应角
，对应边
的三角形叫做相似三角形。
2、相似三角形的性质：对应角
，对应边
。
3、平行于三角形一边的直线与其它两边相交，截得的对应线段
。
二、自主学习
1、利用阳光下的影子来测量旗杆的高度
原理：同一时刻，某物体的实际高度：某物体的影长=被测物体的实际高度：被测物体的影长。
如图，测得AB=a，
BE=b,BD=c，求CD的高度。
2、标杆测量旗杆的高度
原理：三点共线
如图，测得AB=a，EF=b,BF=c，BD=d求CD的高度。
3、镜子的反射
原理：入射角=反射角
如图，测得AB=a，BE=b,BD=c，求CD的高度。
模块二
合作探究
1、小明欲测量一古塔的高度，他站在该塔
( http: / / www.21cnjy.com )的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与古塔的影子的顶端重叠，此时他距离古塔18m，已知小明的身高是1.6m，他的影长为2m，
①△ABC与△ADE是否相似？为什么？②求古塔的高度。
2、如图，九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD=3m，标杆与旗杆的水平距离BD=15m，人的眼睛与地面的高度EF=1.6m，人与标杆CD的水平距离DF=2m，人的眼睛E、标杆顶点C和旗杆顶点A在同一直线，求旗杆AB的高度．
模块三、小结反思
讲一下你本节课学习了哪些新知识？用到了什么方法或数学思想？
1.知识：
2.方法：
模块四
形成提升
1、小明为了测量一高楼MN的高,在离N点
( http: / / www.21cnjy.com )20m处放了一个平面镜,小明沿NA后退到C点，正好从镜子中看到楼顶M，若AC＝1.5m,小明的眼睛离地面的高度为1.6m，请你帮助小明计算一下楼房的高度。
【拓展提升】
1、如图，王强在晚上由路灯C下的A处走
( http: / / www.21cnjy.com )向路灯D下的B处，他走到点P时，发现身后他的影子的顶部刚好接触路灯C的底部A；当他再走12m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯D的底部B．已知王强的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m，AP＝QB＝xm．（1）求两路灯间的距离；（2）当王强走到路灯D下的B处时，他在路灯C下的影长是多少？
组长评价：
你认为该成员这一节课的表现
：（A）很棒
(
B)一般
(C)
没发挥出来
(D)还需努力.
家长签名：
B
M
A
C
N第四章
图形的相似
第二节
平行线分线段成比例
【学习目标】
1、理解平行线分线段成比例定理及其推论；
2、会熟练运用平行线分线段成比例定理及其推论计算线段的长度。
【学习重难点】重点：了解平行线分线段成比例定理及其推论并能运用
难点：定理及其推论的运用
【学习过程】
模块一
预习反馈
一、知识回顾
1、已知四条线段a、b、c、d成比例，那么用比例可表示为
。
二、自主学习
1、平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得到的对应线段成比例。
如图所示，直线l1∥l2∥l3，
则=
，,
,。
2、平行线分线段成比例定理的推论：
平行于三角形一边的直线与其它两边（或两边的延长线）相交，截得的对应线段成比例。
如图1或2所示，在△ABC中，点D,E分别在AB,AC边上，DE∥BC，则
=
，
=
。
=
，
=
，
=
。
=
，
模块二
合作探究
1、如图所示，直线l1∥l2∥l3，AB=3，DE=2，EF=4，求BC的长。
2、如图，梯形ABCD中，∥，，求与的值。
模块三、小结反思
讲一下你本节课学习了哪些新知识？用到了什么方法或数学思想？
1.知识：
2.方法：
模块四
形成提升
1、如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（
）
A、
B、
C、
D、
2、如图，点F是平行四边形ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线与点E，则下列结论错误的是（
）
A、
B、
C、
D、
3、如图所示，DE∥BC，DF∥AC，AD=4cm，BD=8cm，DE=5cm，求线段BF的长。
【拓展提升】
1、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，MF∥AD交AB于点E，交BC于点M，求证：
组长评价：
你认为该成员这一节课的表现
：（A）很棒
(
B)一般
(C)
没发挥出来
(D)还需努力.
家长签名：第四章
图形的相似
第三节
相似多边形
【学习目标】
1、经历相似多边形概念的探索过程，初步掌握多边形的相似判定。
2、运用相似多边形的概念解决问题。
【学习重难点】
重点：经历相似多边形概念的探索过程，初步掌握多边形的相似判定。
难点：运用相似多边形的概念解决问题。
【学习过程】
模块一
预习反馈
一、知识回顾
全等的图形：能够完全
的两个图形叫做全等图形；全等图形的形状
，大小
。
二、自主学习
1、判断下列各句话的真假。
（1）所有的圆都是形状相同的图形（
）
（2）所有的矩形都是形状相同的图形（
）
（3）所有的菱形都是形状相同的图形（
）
（4）所有的等边三角形都是形状相同的图形（
）
（5）所有的等腰三角形都是形状相同的图形（
）
（6）所有的等腰直角三角形都是形状相同的图形（
）
（7）所有的圆柱体都是形状相同的图形（
）
综合以上我们体会到：两个图形的形状________，但图形的大小______，这样的两个图形叫做形状相同的图形。
2、相似多边形的定义：
相等、
成比例的两个多边形叫做相似多边形。表示相似的符号是
，读作
，在记两个多边形相似时，要把表示对应角的顶点字母写在
位置上。
3、相似比：相似多边形
的比，叫做相似比。
4、相似多边形的性质：对应角
，对应边
。
例：在四边形ABCD与四边形A′B′C′D′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，∠D=∠D′，且，则四边形________∽四边形________，且它们的相似比是
。
模块二
合作探究
1、将一个矩形纸片ABCD沿边AD和BC的中点连线EF对折，要使矩形AEFB与原矩形相似，则原矩形的长与宽的比应为（
）
A.2:1
B
C
.
Ｄ．１:１
2、两个相似多边形的相似比为7:4，已知期中一个多边形的最小边长为28，则另一个多边形的最小边长为
3、在一个矩形花坛ABCD的四周修建小
( http: / / www.21cnjy.com )路，要使相对的两条小路宽度相等，如果花坛AB=20米，AD=30米，试问小路的宽x与y的比值为多少时，能使小路四周所围成的矩形
与矩形ABCD相似？并说明理由
模块三、小结反思
讲一下你本节课学习了哪些新知识？用到了什么方法或数学思想？
1.知识：
2.方法：
模块四
形成提升
１、把一个长为2的矩形剪去一个正方形后，所剩下的矩形与原矩形相似，则原矩形的宽为
．
2、如图3，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
3、如图4，将一个矩形纸片ABCD沿边AD和BC的中点连线EF对折，要使矩形AEFB与原矩形相似，则原矩形的长与宽的比应为（
）
A．
B．
C．
D．
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【拓展提升】
1、已知矩形ABCD中，AB＝1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，求AD的长。
组长评价：
你认为该成员这一节课的表现
：（A）很棒
(
B)一般
(C)
没发挥出来
(D)还需努力.
家长签名：第四章
图形的相似
第七节
相似三角形的性质（一）
【学习目标】
理解并能应用相似三角形对应高的比，对应角平分线的比和对应中线的比与相似比的关系.
【学习重难点】重点：相似三角形的性质
难点：相似三角形的性质
【学习过程】
模块一
预习反馈
一、知识回顾
1、相似三角形：对应角
，对应边
的三角形叫做相似三角形。
2、相似三角形的性质：对应角
，对应边
。
二、自主学习
1、相似三角形的性质
（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例
（2）相似三角形
、
和
都等于相似比。
2、相似三角形的性质的应用：可用来证明线段成比例，角相等，还可用来计算线段长。
模块二
合作探究
1、已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比为k.
（1）如果CD和C′D′是它们的对应高，那么等于多少？
（2）如果CD和C′D′是它们的对应角平分线,那么等于多少？如果CD和C′D′是它们的对应中线呢？
2、如图，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC=40
cm，AD=
30
cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形
EFGH.
使它的一边EF在BC上，顶点
G、H分别在AC，AB
上，AD与HG
的交点为M.
(1)求证：；
(2)求这个矩形EFGH
的周长.
模块三、小结反思
讲一下你本节课学习了哪些新知识？用到了什么方法或数学思想？
1.知识：
2.方法：
模块四
形成提升
1、在△ABC中，DE∥BC，交AB于D，交AC于E，且AD∶DB=1∶2，则下列结论正确的是(
)
A.
=
B.
=
C.
=
D.
=
2、若两个三角形相似，且它们的最大边分别为6
cm和8
cm，它们的一组对应高之和为35
cm，则较小的三角形的高为________。
3、如图，小明拿着一把厘米刻度尺，站在距电线
( http: / / www.21cnjy.com )杆约30m的地方，把手臂向前伸直。刻度尺竖直，刻度尺上18个刻度恰好遮住电线杆，已知手臂长约60cm，小明能求出电线杆的高度吗？若能求，请你替小明写出求解过程．
【拓展提升】
1、一块直角三角形木板的一条直角边AB长为
( http: / / www.21cnjy.com )1.5米，面积为1.5 平方米，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面. 甲、乙两位同学的加工方法分别如图1，图2所示. 请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求. （加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）
组长评价：
你认为该成员这一节课的表现：（A）很棒
(
B)一般
(C)
没发挥出来
(D)还需努力.
家长签名：第四章
图形的相似
第四节
探索三角形相似的条件（二）
【学习目标】
1、初步掌握两个三角形相似的判定条件；
2、会运用三角形相似的条件解决简单的问题。
【学习重难点】重点：相似三角形的判定条件。
难点：运用相似三角形判定的条件解决简单的问题。
【学习过程】
模块一
预习反馈
一、知识回顾
1、相似三角形的性质：对应角
，对应边
。
2、三角形相似的判定定理1：两角分别
的两个三角形相似。
二、自主学习
1、三角形相似的判定定理2：两边
且
相等的两个三角形相似。
如图，若∠DAE=
，，则△ADE∽△ABC。
模块二
合作探究
1、如图，CE与BD交于点A，AC=2,AE=3，AB=4，AD=6，求证：△ADE∽△ABC。
2、如图，在△ABC中，AB=AC，D为CB延长线上的一点，E为BC延长线上一点，且满足，求证：△ADB∽△EAC.
3、如图，在4x3的正方形方格中，△ABC
( http: / / www.21cnjy.com )和△DEC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上。
(1)填空：∠ABC=_____°，BC=_____；
(2)判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．
模块三、小结反思
讲一下你本节课学习了哪些新知识？用到了什么方法或数学思想？
1.知识：
2.方法：
模块四
形成提升
1、如图，DE与BC不平行，当=
,△ABC∽△AED。
2、如图，若，则△
∽△
，∠ADC=
。
3、如图，已知AC与BD相交于点O，且AO：OC=BO：OD=2：3，AB=5,则CD=
。
4、在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A=90o，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD的中点。求证：△CDE∽△EAB.
【拓展提升】
1、如图，在正方形ABCD中，E是AB的中点，。
（1）求证：△FAE∽△EBC；（2）FE⊥EC.
组长评价：
你认为该成员这一节课的表现
：（A）很棒
(
B)一般
(C)
没发挥出来
(D)还需努力.
家长签名：第四章
图形的相似
第四节
探索三角形相似的条件（三）
【学习目标】
1.掌握三角形相似的判定方法.
2.会用相似三角形的判定方法来判断、证明及计算.
【学习重点】重点：相似三角形判定方法的推导过程，掌握判定方法并能灵活运用.
【学习过程】
模块一
预习反馈
一、知识回顾
1、三角形相似的判定定理1：两角分别 的两个三角形相似。
2、三角形相似的判定定理2：两边
且
相等的两个三角形相似。
二、自主学习
1、三角形相似的判定定理3：三边
的两个三角形相似。
如图，若，，则△
∽△
，∠DAE=
。
模块二
合作探究
1、△ABC的三边长分别为2，，
，的两边长分别为1和，当的第三边长为多少时，△ABC与相似。
2、在网格图中，每个方格都是边长为1的正方形。若A、B、C、D、E、F都是格点，试说明△ABC∽△DEF.
3、已知,求证：.
模块三、小结反思
讲一下你本节课学习了哪些新知识？用到了什么方法或数学思想？
1.知识：
2.方法：
模块四
形成提升
1、如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，则△DEF∽________,理由是________.
2、如图，AB=2AD，AC=2AE，若BC=3
cm,则DE=________cm.
3、如图，点O是△ABC外的一点，分别在射线OA，OB，OC上取一点A′，B′，C′，使得，连接A′B′，B′C′，C′A′，所得△A′B′C′与△ABC是否相似？证明你的结论。
【拓展提升】
1、如图，已知A（3，0），B（0，4），C（4，2），作CD⊥x轴，D为垂足，连接AB、BC、AC.求证:.
组长评价：
你认为该成员这一节课的表现
：（A）很棒
(
B)一般
(C)
没发挥出来
(D)还需努力.
家长签名：第四章
图形的相似
第八节
图形的位似（二）
【学习目标】
1、能熟练准确地利用图形的位似将一个图形放大或缩小；
2、了解常用的几种图形的放大或缩小的数学依据；
【学习重难点】重点：能够利用做位似图形等方法将一个图形放大或缩小。
难点：比较放大或缩小后的图形与原图形，归纳位似放大或缩小图形的规律
【学习过程】
模块一
预习反馈
一、知识回顾
1、如果两个多边形不仅是
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多边形，且每对对应点所在的直线都经过
,那么这样的两个多边形叫做
,
这个点叫做
,
这时的相似比又叫做它们的
。
2、位似图形的性质：位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于
。
二、自主学习
1、图形的放大与缩小的主要方法：
橡皮筋，方格纸，借助计算机软件。
2、归纳作位似图形的步骤：
第一步：在原图上找若干个关键点（一般为多边形的顶点），并在原图外任取一点作为位似中心；
第二步：确定相似比；
第三步：以位似中心为端点，向各关键点作射线。（或者反向作射线）
第四步：在射线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例。
第五步：顺次连接截取点。
3、在平面直角坐标系中，将一个多边
( http: / / www.21cnjy.com )形每个顶点的横、纵坐标都乘同一个数k（k≠0）,所对应的图形与原图形
，位似中心是
，它们的相似比为
。
模块二
合作探究
画图，将图中的△ABC作下列运动，画出相应的图形。
（1）沿y轴正向平移2个单位；
关于y轴对称；
（3）以B点为位似中心，放大到2倍。
2、如图，△
ABC三个顶点的坐标分别为A
(2，7)，B
(6，8)，C
(8，2)，请你分别完成下面的作图并标出所有顶点的坐标。(不要求写出作法)
（1）以O为位似中心，在第三象限内作出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC的位似比为1∶2；
（2）以O为旋转中心，将△ABC沿顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2。
模块三、小结反思
讲一下你本节课学习了哪些新知识？用到了什么方法或数学思想？
1.知识：
2.方法：
模块四
形成提升
1、如图，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，点F的坐标为（1,1），点C的坐标为（4,2）。则这两个正方形位似中心的坐标是________。
2、如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是
。
第1题
第2题
第3题
3、如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1，0)，以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍。设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是（
）
A、
B、
C、
D、
4、已知E，F，以原点O为位似中心，相似比为1:2，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标为__________________。（注意此题不要漏解）
组长评价：
你认为该成员这一节课的表现
：（A）很棒
(
B)一般
(C)
没发挥出来
(D)还需努力.
家长签名：第四章
图形的相似
回顾与思考
【学习目标】1、学习相似图形，重点研究相似三角形。
2、是学生经历线段比、成比例线段、实力黄金分割，并通过图形相似的具体应用过程，掌握相似图形所应有的方法。
3、通过培养学生对问题的观察、思考、交流、类比、归纳等过程，发展学生的探索精神，合作意识，增强应用数学意识，加深对数学的人文价值的理解和认识。
【学习重点】1、主要概念—线段的比、成比例线段、相似三角形、相似多边形、相似比；
2、利用数的比引申到三角形、多边形，进行特殊与一般的某些关系的比较。
【学习难点】灵活应用相似图形的概念解决实际问题。
学习过程：
典型问题分析：
例1、设==，则=______，=______.
例2、如图，四边形EFGH是ABC内接正方形，BC=21cm，高AD=15cm，求内接正方形边长EF。
例3、已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F，
求证：。
例4、如图，四边形ABCD与四边形DEFG都是矩形，顶点F在BA的延长线上，边DG与AF交于点H，AD=4，DH=5，EF=6，求FG的长．
例5、如图，△ABC中，AD为∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于点F，连接AF．求证：∠B=∠CAF．
例6、如图，晚上，小亮走在大街上。他发现：当他站在大街边的两盏路灯之间，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为3米，左边的影子长为1.5米．又知自己身高1.80米，两盏路灯的高相同，两盏路灯之间的距离为12米，求路灯的高。
例7、如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，
（1）求证：；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD=4，AB=6，求的值．
【拓展提升】
1、如图，，又，点在同一条直线上。
（1）求证：；（2）如果，，设，求的长。
( http: / / www.21cnjy.com )
2、在△ABC中，AC=8cm，BC=16cm，点P从点A出发，沿着AC边向点C以1cm/s的速度运动，点Q从点C出发，沿着CB边向点B以2cm/s的速度运动，如果P与Q同时出发，那么经过几秒△PQC与△ABC相似？
3、如图，点在线段上，点、在同侧，，，。（1）求证：；
（2）若，，点为线段上的动点，连接，作，交直线于点。若点与、两点不重合，求的值。
4、如图1，在四边形ABCD中，
( http: / / www.21cnjy.com )点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且∠AGD＝∠BGC．
(1)求证：AD＝BC；(2)求证：△AGD∽△EGF；(3)如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求的值．
5、如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE、始终经过点A，EF与AC交于M点。
（1）求证：△ABE∽△ECM；
（2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；
（3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积。
A
P
B
C
Q
D
E
（第20题图）
A
A
B
B
E
E
C
D
C
D
F
F
G
G
图1
图2第四章
图形的相似
第一节
成比例线段（一）
【学习目标】
1、了解相似形、线段的比、比例尺的概念；
2、会求两条线段的比、比例尺及运用比例尺求图我上长度和实际长度；
3、理解线段的比的概念，应用线段的比解决实际问题。
【学习重难点】重点：理解线段比的概念及其求解。
难点：求线段的比，注意线段长度单位要统一。
【学习过程】
模块一
预习反馈
一、知识回顾
1、全等的图形：能够完全
的两个图形叫做全等图形。
2、分式的基本性质：分式的分子与分母
乘（或除）以
的整式，分式的值不变。
二、自主学习
1、形状相同而大小不同的两个平面图形，较
( http: / / www.21cnjy.com )大的图形可以看成是由较小的图形“
”得到的，较小的图形可以看成是由较大的图形“
”得到的。
2、线段的比:选用同一个长度单位量得的两条线段的
的比。
如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m，n,那么就说这两条线段的比AB∶CD=
,或写成
。其中,AB,CD分别叫做这个线段比的
和
。如果把表示成比值k,那么
,或AB=
。
注意：在量线段时要选用同一个长度单位.线段的比是一个没有单位的整数；在m:n（或）中，我们称m为比的前项，n为比的后项。
3、比例线段：四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即
，那么这四条线段a、b、c、d叫做
，简称
。线段
a、d
叫做比例外项，线段
b、c
叫做比例内项，当两个比例内项相等时，或
a：b=b：c，那么线段
b
叫做线段
a
和
c
的比例中项.
4、比例尺：在地图或工程图纸上，图上长度与实际长度的比通常称为
。
注意：比例尺实际上是两条线段的比，表示比例尺时顺序不能颠倒，必许是图上长度与实际长度的比，在求比例尺时，图上长度与实际长度的单位必须统一。
模块二
合作探究
1、已知点C是线段AB上的点，点D是AB延长线上的点，且，求AD的长。
2、已知,求的值。
3、已知三个数x、y、z，满足，求的值。
4、设a、b、c是△ABC的三条边，且，判断△ABC为何种三角形，并说明理由。
模块三、小结反思
讲一下你本节课学习了哪些新知识？用到了什么方法或数学思想？
1.知识：
2.方法：
模块四
形成提升
1、若，则
2、在线段AB上取一点P,使AP:PB=1:4,则AP:AB=_____________，AB:PB=__________
3、若2a=3b=4c，且abc≠0，则的值是______________。
4、已知四条线段a、b、c、d的长度，试判断它们是否成比例。
a=16cm，b=8cm，c=5cm,d=10cm；
(2)a=8cm，b=85cm，c=6cm,d=10cm。
5、已知：C为线段AB上一点，AC∶CB=5∶3．求AC∶AB及AB∶CB的长．
【拓展提升】
1、若，且试求.
组长评价：
你认为该成员这一节课的表现
：（A）很棒
(B)一般
(C)
没发挥出来
(D)还需努力.
家长签名：第四章
图形的相似
第七节
相似三角形的性质（二）
【学习目标】
1、相似多边形的周长比，面积比与相似比的关系.
2、相似多边形的周长比，面积比在实际中的应用.
【学习重难点】重点：相似多边形的性质。
难点：相似多边形的性质的应用。
【学习过程】
模块一
预习反馈
一、知识回顾
1、相似三角形的性质
（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
（2）相似三角形
、
和
都等于相似比。
二、自主学习
1、相似三角形的周长比等于
，面积比等于
。
2、相似多边形被对角线分成的对应三角形相似，其相似比等于相似多边形的相似比。
模块二
合作探究
1、在□ABCD中，点E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，.
（1求证：△ABF∽△CEB；
（2）若△DEF的面积为2，求：□ABCD的面积。
2、如图，在△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连结EF
（1）求证：EF∥BC.
（2）若△ABD的面积为6，求四边形BDFE的面积.
模块三、小结反思
讲一下你本节课学习了哪些新知识？用到了什么方法或数学思想？
1.知识：
2.方法：
模块四
形成提升
1、将一个五边形改成与它相似的五边形，如果面积扩大为原来的9倍，那么周长扩大为原来的
倍。
2、两个相似多边形对应边的比为3∶2，小多边形的面积为32
cm2，那么大多边形的面积为________。
3、如果DE是△ABC的中位线，若△ADE和△ABC的周长之和为24，则△ABC的周长为________。
4、如图，□ABCD中，AE∶ED=1∶2，S△AEF=6
cm2，则S△CBF等于(
)
A.12
cm2
B.24
cm2
C.54
cm2
D.15
cm
5、如图，在□ABCD中，延长AB到E，使BE=AB，延长CD到F，使DF=DC，EF交BC于G，交AD于H
。求：△BEG与△CFG的面积之比。
【拓展提升】
1、如图，已知在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD=AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于F.
（1）求证：△ABC∽△FCD；
（2）若求ED的长.
组长评价：
你认为该成员这一节课的表现
：（A）很棒
(
B)一般
(C)
没发挥出来
(D)还需努力.
家长签名：图形的相似
第四节
探索三角形相似的条件（一）
【学习目标】
1、掌握相似三角形的定义、表示法，并能根据定义及判定定理1判断两个三角形是否相似。
2、能根据相似比进行计算，训练学生判断能力及对数学定义的运用能力
【学习重点】重点：相似三角形定义的理解和认识。
【学习过程】
模块一
预习反馈
一、知识回顾
1、全等三角形：能够完全
的两个三角形叫做全等三角形；全等三角形对应边
，对应角
。
2、全等三角形的判定方法有：
、
、
、
和
。
（直角三角形的判定）。
二、自主学习
1、相似三角形：对应角
，对应边
的三角形叫做相似三角形。
如△ABC与△DEF相似，记作
注意：（1）对应性：两个三角形相似时通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。
（2）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，如：△ABC∽，它们的相似比为k，则；如果写成∽△ABC，它们的相似比为,则,因此
（3）传递性：若△ABC∽，∽，则△ABC∽。
2、相似三角形的性质：对应角
，对应边
。
3、相似三角形对应边的比称为相似三角形的
。
注意：两个三角形的前后次序不同，所得相似比不同。
三角形相似的判定定理1：两角分别
的两个三角形相似。
即：已知△ABC和，若∠A=∠A′，∠B=∠B′，则△ABC∽。
模块二
合作探究
1、如图，已知点D，E分别在AB，AC或它们的延长线上，且∠1=∠2，分别指出图中的相似三角形。
2、已知△ABC∽△ADE，AE=50cm,
EC=30cm,BC=70cm.∠BAC=45°,
∠ACB=40°,
(1)求∠AED和∠ADE的大小；
(2)求DE的长.
（3）图中有哪些线段成比例？有互相平行的线段吗？
3、如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于点E.求证：△ABD∽△CBE.
模块三、小结反思
讲一下你本节课学习了哪些新知识？用到了什么方法或数学思想？
1.知识：
2.方法：
模块四
形成提升
1、△ABC∽△A′B′C′，如果∠A=55°，∠B=100°，则∠C′的度数等于(
)
A.55°
B.100°
C.25°
D.30°
2、如果△ABC∽△A′B′C′，BC=3，B′C′=1.8，则△A′B′C′与△ABC的相似比为(
)
A.5∶3
B.3∶2
C.2∶3
D.3∶5
3、如图，△ADE∽△ACB，那么下列比例式成立的是（
）
A、
B、
C、
D、
4、如图，在等腰梯形ABCD中，DC∥AB，E是DC延长线上的点，连接AE，交BC于点F．
（1）求证：△ABF∽△ECF；
（2）如果AD=5cm，AB=8cm，CF=2cm，求CE的长．
【拓展提升】
1、如图，
已知四边形ABCD是平行四边
( http: / / www.21cnjy.com )形。（1）求证：△MEF∽△MBA；（2）若AF、BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线，求证：DF=EC.
组长评价：
你认为该成员这一节课的表现
：（A）很棒
(
B)一般
(C)
没发挥出来
(D)还需努力.
家长签名：第四章
图形的相似
第五节
相似三角形判定定理的证明
【学习目标】
1、掌握两个三角形相似的判定方法；
2、会运用三角形相似的条件解决的问题。
【学习重难点】重点：三角形相似的判定性质及其应用。
难点：三角形相似的判定和性质的灵活运用。
【学习过程】
模块一
预习反馈
一、知识回顾：寻找相似三角形的思路
（1）、横向三点定形法：分别观察所证线段比例式的分子和分母，它们各自两条线段的四个字母中不同的三个字母是否分别为某三角形的三个顶点？要证
（2）、纵向三点定形法：与横向三点定形法一样，当横向定形行不通时，改用各个比的分子和分母进行定形．如要证
（3）、基本图形定形法
１．（平截型）平行线型，即“A”型或“X”型
如右图，ＤＥ∥ＢＣ，则有ΔＡＤＥ∽ΔＡＢＣ．
２．斜截型
（1）等角对顶型(蝴蝶型)：
如右图，∠Ｄ＝∠Ｂ，则有ΔＡＤＥ∽ΔＡＢＣ．
（2）．共角等角型：
如右图，∠ＡＤＥ＝∠Ｂ，则有ΔＡＤＥ∽ΔＡＢＣ．
（3）．共边等角型(套型)
如图４，∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，则有ΔＡＣＤ∽ΔＡＢＣ．这是最常见的、也是最难识别的相似三角形，由于在这两个三角形相似的背后存在着因此许多与比例中项有关的证明题大多以此为背景．
3、母子型相似：如图：∠BＡＣ=900,AD⊥BC,则有
∽
∽
射影定理：（1）____________
___（2）_______________（3）______________
二、自主学习：相似三角形判定定理的证明
1、三角形相似的判定定理1：两角分别
的两个三角形相似。
如下左图所示，在△ABC和△A’B’C’中，∠A=∠A’，∠B’
=∠B。猜想：△ABC与△A’B’C’是否相似
探究：在A’B’上截取
A’D=AB，过点D作DE∥B’C’交A’C’于点E，
∴△A’DE∽
，∠A’DE=∠B’
又∠B’
=∠B，∴∠A’DE=∠B
，
又∵∠A’
=∠A，A’D=AB
∴
≌△ABC，∴△ABC∽△A’B’C’
归纳：（1）
对应相等
( http: / / www.21cnjy.com )，两个三角形相似；用几何语言描述：∵
∠A=∠A'，
∠B=∠B'
∴
ΔABC
∽
ΔA'B'C'
2、三角形相似的判定定理2：两边
且
相等的两个三角形相似。
如下左图1所示，在△ABC和△A’B’C’中，，猜想：△ABC与△A’B’C’是否相似？
探究：如下左图在A’B上截取
A’D=AB，过点D作DE∥B’C’交A’C’于点E，则△A’DE∽
；
∵=
=
；又∵，A’D=AB
，∴DE=
，A’E=
；∴
≌
；
∴△ABC∽△A’B’C’
归纳：如果两个三角形的三组边
，那么这两个三角形相似；
用几何语言描述：∵
______________________
∴
____________________
( http: / / www.21cnjy.com )
3、三角形相似的判定定理3：三边
的两个三角形相似。
如图2所示，在△ABC和△A’B’C’中，，∠A=∠A’，猜想：△ABC与△A’B’C’是否相似？
探究：在A’B上截取
A’D=AB，过点D作DE∥B’C’交A’C’于点E。
∴△A’DE∽
；∴
又∵，A’D=AB；∴
∴A’E=AC；∵∠A=∠A’；∴△A’DE≌
；∴△ABC∽△A’B’C’
归纳：如果两个三角形的两边
，并且所夹角
相等，那么这两个三角形相似；
用几何语言描述：∵
____________________
∴_____________________
模块二
合作探究
1、在矩形ABCD中，AB=4，BC=6,M是BC的中点，DE⊥AM于点E.（1）求证：△ADE~△MAB
（2）求DE的长
2、如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB
( http: / / www.21cnjy.com )=6cm，CD=4cm，BD=14cm，点P在BD上由B点向D点移动．当BP等于多少时，△ABP∽△CPD？
模块三、小结反思
讲一下你本节课学习了哪些新知识？用到了什么方法或数学思想？
1.知识：
2.方法：
模块四
形成提升
1、如图，（1）若=_____，则△OAC∽△OBD，∠A=________；
（2）若∠B=________，则△OAC∽△OBD，________与________是对应边；
（3）请你再写一个条件，_________，使△OAC∽△OBD。
2、如图，若∠BEF=∠CDF，则△_______∽△________，△______∽△_______。
3、如图，已知A（3，0），B（0，6），且∠ACO=∠BAO，则点C的坐标为（____，____），AC=
。
4、在□ABCD中，M、N为对角线BD的三等分点，连接AM交BC于E，连接EN并延长交AD于F。（1）试说明△AMD∽△EMB；（2）求的值．
【拓展提升】
1、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的一点，，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．
组长评价：
你认为该成员这一节课的表现
：（A）很棒
(
B)一般
(C)
没发挥出来
(D)还需努力.
家长签名：
Ｂ
Ｃ
Ａ
Ｄ图形的相似
第一节
成比例线段（二）
【学习目标】
1、了解线段的比和成比例线段；
2、理解并掌握比例的基本性质及其简单应用；
3、发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力。
【学习重难点】重点：比例线段和比例的基本性质
难点：比例的基本性质
【学习过程】
模块一
预习反馈
一、知识回顾
1、已知四条线段a、b、c、d成比例，那么用比例可表示为
。
二、自主学习
1、比例的基本性质：
如果，那么
；如果ad=bc（a、b、c、d都不等于0）那么
。
2、合比性质：
如果，那么=
；那么=
。
3、等比性质：
如果（b+d+……+n≠0），那么=
。
模块二
合作探究
1、已知2a=3b,
分别求出和的值。
2、
已知，求的值
3、若x:y:z=3:4:7，且2x-y+z=18，求x+2y-z的值。
4、已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足.
(1)试求a、b、c的值；（2）判断△ABC的形状。
模块三、小结反思
讲一下你本节课学习了哪些新知识？用到了什么方法或数学思想？
1.知识：
2.方法：
模块四
形成提升
1、已知a,b,c是三条线段，当a:b:c等于（
）时，以a,b,c为三边的三角形是直角三角形。
A、1：2：3
B、3：4：5
C、1：
2
：2
D、3：3：2
已知3x=2y(x≠0)，则下列比例式一定成立的是（
）
A、
B、
C、
D、
3、已知，且，求的值.
【拓展提升】
1、已知△ABC的三边分别为a，b，c，且（a－c）︰（a+b）︰（c－b）＝-2︰7︰1，又有a+b+c=24。
求（1）a、b、c的值；（2）判断△ABC的形状。
组长评价：
你认为该成员这一节课的表现
：（A）很棒
(
B)一般
(C)
没发挥出来
(D)还需努力.
家长签名：第四章
图形的相似
第四节
黄金分割
【学习目标】
1．知道黄金分割的定义；会找一条线段的黄金分割点；会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点；
2.理解黄金分割的意义，并能动手找到和制作黄金分割点
【学习重难点】重点：了解黄金分割的意义并能运用
难点：找出黄金分割点
【学习过程】
模块一
预习反馈
一、知识回顾
1、线段的比:选用同一个长度单位量得的两条线段的
的比。
2、已知四条线段a、b、c、d成比例，那么用比例可表示为
。
二、自主学习
1、黄金分割：
如图，点C把线段AB分成两条线段
( http: / / www.21cnjy.com )AC和AB（AC>AB），如果
，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的
，AC与AB的比叫做
。
记忆口诀：大：全=小：大
注意：（1）由黄金分割的意义可知：；
（2）黄金比
（3）线段AB有两个黄金分割点，其中一个点D靠近A点，有；另一点靠近点B，有,并且AD=BC,AC=BD.
2、黄金分割点的画法：
如果已知线段AB，按照如下方法画图：
（1）经过点B作BD⊥AB，使
（2）连接AD，在DA上截取DE=DB
（3）在AB上截取AC=AE，则点C为线段AB的黄金分割点。
根据上述作图回答下列问题
①如果设AB=2，那么BD、AD、AC、BC分别等于多少？
②点C是线段AB的黄金分割点吗？为什么？
模块二
合作探究
1、已知线段AB＝2cm，点C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，求AC和BC的长。
2、以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上，如图所示
求AM、DM的长。
（2）求证：
（3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？
3、（2016.成都）实数满足，这四个数在数轴上对应的点分别是（如图），若，则称为的“黄金大数”，为的“黄金小数”，当时，求的黄金大数与黄金小数之差m-n的值。
( http: / / www.21cnjy.com )
模块三、小结反思
讲一下你本节课学习了哪些新知识？用到了什么方法或数学思想？
1.知识：
2.方法：
模块四
形成提升
1、已知点M将线段AB黄金分割(AM＞BM)，则下列各式中不正确的是(
)
A、AM∶BM=AB∶AM
B、AM=AB
C、BM=AB
D、AM≈0.618AB
2、已知线段AB＝6cm，点C是AB的黄金分割点（AC>BC），求AC－BC和AC·BC的值。
3、如果一个矩形ABCD(AB＜BC)中，≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感.在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE(如图)，请问矩形ABFE是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性.
【拓展提升】
1、如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD延长线上的一点，且D为AE的黄金分割点，即，BE交DC于点F，已知，求CF的长．
组长评价：
你认为该成员这一节课的表现
：（A）很棒
(
B)一般
(C)
没发挥出来
(D)还需努力.
家长签名：第四章
图形的相似
第八节
图形的位似（一）
【学习目标】
1、了解位似图形及其有关概念，
2、了解位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。
【学习重难点】重点：位似图形的定义及性质。
难点：位似图形的性质的应用。
【学习过程】
模块一
预习反馈
一、知识回顾
1、相似三角形：对应角
，对应边
的三角形叫做相似三角形。
2、相似三角形的性质：
（1）对应角
，对应边
。
（2）相似三角形
、
和
都等于相似比。
（3）相似三角形的周长比等于
，面积比等于
。
二、自主学习
观察下列几幅图片：
问题：上图几幅图形有什么特征？
1、
如果两个图形不仅是相似图形
( http: / / www.21cnjy.com )，而且是每组对应点连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形。
这个点叫做位似中心。这时的相似比又称为相似比。（位似中心可在形上、形外、形内。)
每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行。
2、如果两个多边形不仅是
多边形，且每对对应点所在的直线都经过
,那么这样的两个多边形叫做
,
这个点叫做
,
这时的相似比又叫做它们的
。
3、位似图形的性质：位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于
。
注意：位似图形一定是相似图形，相似图形则不一定是位似图形。
模块二
合作探究
1、已知，如图1，A′B′∥AB，B
( http: / / www.21cnjy.com )′C′∥BC，且OA′∶A′A=4∶3，则△ABC与________是位似图形，位似比为________；△OAB与________是位似图形，位似比为________。
如图2，火焰的光线穿过小孔O，在竖直的屏幕上形成倒立的实像，像的长度BD=2cm，OA=60cm,
OB=15cm，则火焰的长度为
。
3、如图，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，且位似比为.若五边形ABCDE的面积为17
cm2，周长为20
cm，求：五边形A′B′C′D′E′的面积和周长。
4、如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．（1）画出位似中心点O；
（2）求出△ABC与△A′B′C′的位似比；
（3）以点O为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比等于1.5．
模块三、小结反思
讲一下你本节课学习了哪些新知识？用到了什么方法或数学思想？
1.知识：
2.方法：
模块四
形成提升
1、下列说法正确的个数是（
）
（1）位似图形一定是相似图形；（2）相似图形一定是位似图形；（3）两个位似图形若全等，则位似中心在两个图形之间；（4）若五边形ABCDE与五边形位似，则其中与也是位似图形.且位似比相等。
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
2、若两个图形位似，则下列叙述不正确的是（
）
A、每对对应点所在的直线相交于同一点
B、两个图形上的对应线段之比等于位似比
C、两个图形上的对应线段必平行
D、两个图形的面积比等于位似比的平方
3、如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出△
和；
（1）以O为位似中心，在点O的同侧作△，使得它与原三角形的位似比为1：2；
（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到，并求出点A旋转的路径的长．
4、△ABC与关于点O位似，BO=3，。(1)若AC=5，求的长；
(2)若△ABC的面积为7，求面积。
组长评价：
你认为该成员这一节课的表现
：（A）很棒
(
B)一般
(C)
没发挥出来
(D)还需努力.
家长签名：
