2025-2026学年上海宜川中学高一上学期数学期中试卷（含答案）

宜川中学2025-2026学年第一学期高一年级数学期中
2025.11
一、填空题（共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1.已知集合，，则______．
2.化简______．
3.已知陈述句或，则的否定形式为______．
4.函数的定义域是______．
5.设，，是的充分条件，则实数的取值范围是______．
6.已知、是关于的方程的两个根，则______．
7.已知，且，则______．
8.已知，则______．
9.设，方程的解集为______．
10.函数所过定点为，若位于幂函数的图像上，则______．
11.若，，，则取得最小值时，______．
12.已知集合为非空数集，且同时满足下列条件：
（ⅰ）；
（ⅱ）对任意的，任意的，都有；
（ⅲ）对任意的且，都有．
给出下列四个结论：①；②；③对任意的、，都有；④对任意的，且，都有．其中正确的序号为______．
二、选择题（第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13.下列各组函数中，同组的两个函数是相同函数的有（ ）
A.与 B.与
C.与 D.与
14.下列函数中图像关于原点对称，并且在上严格递减的是（ ）
A. B. C. D.
15.若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
16.命题：定义在上的函数一定能表示成一个定义在上的偶函数与定义在上的奇函数的和，即；命题：定义在上的严格增函数一定能表示成一个定义在上的严格增函数与定义在上的严格减函数的和，即．下列判断正确的是（ ）
A.、均为真命题 B.、均为假命题
C.为真命题，为假命题 D.为假命题，为真命题
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）．
17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知幂函数在上是严格增函数，函数，其中、．
（1）求的值；
（2）记集合，集合，若，求实数的取值范围．
18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知函数，．函数的定义域为．
（1）当，时，求函数的值域；
（2）当，时，判断函数的单调性并证明．
19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．
（1）求函数的表达式；
（2）求关于的不等式的解集．
20.（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
在研究函数过程中，经常会遇到一类形如（、、、为实常数且）的函数，我们称为一次型分式函数．请根据条件完成下列问题．
（1）设是实数，函数，请根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由；
（2）设是实数，函数，若成立的一个充分非必要条件是，求的取值范围；
（3）设是实数，函数，若存在区间使得，求的取值范围．
21.（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
若有限个正整数组成的集合中至少有两个元素，且对于任意的，都有，则称为“双集合”．
（1）判断是否为“双集合”，说明理由；
（2）若双元素集为“双集合”，且，求所有满足条件的集合；
（3）求所有满足条件的“双集合”．
参考答案
一、填空题
1.； 2.； 3.且； 4.； 5.； 6.； 7.； 8.； 9.； 10.； 11.； 12.①③④；
11.若，，，则取得最小值时，______．
【答案】
【解析】由可得，
所以
当且仅当即时取得最小值．故答案为：．
12.已知集合为非空数集，且同时满足下列条件：
（ⅰ）；
（ⅱ）对任意的，任意的，都有；
（ⅲ）对任意的且，都有．
给出下列四个结论：①；②；③对任意的、，都有；④对任意的，且，都有．其中正确的序号为______
【答案】①③④
【解析】对于①，由（ii）知，对任意的，任意的，都有，
当时，满足上述条件，所以成立；
对于②，由（iii）知，对任意的且，都有，
所以可知当时满足上述条件，所以不成立；
对于③，由（ii）知，对任意的，任意的，都有，所以取，则，所以成立；对于④，由③可知，成立，
所以也成立，所以也成立，因为即为个相加，
所以也成立．综上，所有正确的结论为①③④
二、选择题
13.D； 14.D； 15.C； 16.C
15.若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据题意，分两种情况讨论：
①当时，即，若时，原不等式为，解可得：，
则不等式的解集为，不是空集；若时，原不等式为，无解，不符合题意；
②当时，即，若的解集是空集，
则有，解可得,
则当不等式的解集不为空集时，有或且，
综合可得：实数的取值范围为；故选：．
三、解答题
17.（1）0 （2）
18.（1） （2）函数单调递增，证明略
19.（1） （2）
20.在研究函数过程中，经常会遇到一类形如（、、、为实常数且）的函数，我们称为一次型分式函数．请根据条件完成下列问题．
（1）设是实数，函数，请根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由；
（2）设是实数，函数，若成立的一个充分非必要条件是，求的取值范围；
（3）设是实数，函数，若存在区间使得，求的取值范围．
【答案】（1）见解析 （2） （3）
【解析】（1）对于函数，其定义域为，
若，此时，定义域关于原点对称，且显然有，
故此时是偶函数，
若，则定义域不关于原点对称，故此时是非奇非偶函数；
（2）根据题意可知不等式的解集包含区间，
由，
若，即时，此时不等式无解，不符合题意；
若，即时，此时不等式的解集为，
要符合题意，则需，
注意到等号不能同时取得，故满足条件；
若，即时，此时不等式的解集为，
显然，不符合题意，综上：．
（3）易知函数在上单调递增，
由题意可知有两个不等实根，
即在上有两个不同解，即在上有两个不同解，
易知，由二次函数的性质可知．
21.若有限个正整数组成的集合中至少有两个元素，且对于任意的，都有，则称为“双集合”．
（1）判断是否为“双集合”，说明理由；
（2）若双元素集为“双集合”，且，求所有满足条件的集合；
（3）求所有满足条件的“双集合”
【答案】（1）见解析 （2）或 （3），
【解析】（1）不是，理由：假设，则，故不是＂双集合＂。
（2）假设，则另一个元素为，因为，
若，解得，不符合题意；
若，解得或（不符合题意），所以。
假设，则另一个元素为，因为，
若，解得，符合题意，所以；
若，解得，不符合题意。综上，或．
（3）若满足条件的＂双集合＂只有两个元素，仿照（2）讨论，
可得满足条件的＂双集合＂有。
当＂双集合＂有两个以上的元素时，设最小的元素为，最大的元素为，
第二大的元素为，则是＂双集合＂中的元素，所以，即．
若，则，与上方矛盾；故，解得，
显然与不可能同时为正整数，故该假设不成立
所以＂双集合＂不可能有两个以上的元素
故所有满足条件的＂双集合＂为，.