2025-2026学年上海南洋模范中学高三上学期数学期中试卷（2025.11）（含答案）

南模中学2025学年第一学期高三年级数学期中
2025.11
一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1.设向量，，若，则______．
2.正三角形的边长是2，则______．
3.若，恒成立是真命题，则实数的取值范围是______．（结果用集合表示）
4.若函数的值域是，则函数的值域为______．
5.已知等差数列中，首项，公差，且成等比数列，则公差______．
6.某校数学组老师的年龄分布茎叶图如图所示，则该校数学组老师年龄的中位数与极差之和为______．
7.若一组样本数据的平均数为2，方差为4，则数据，，，，的方差为______．
8.已知抛物线的焦点为，倾斜角为的直线过点，若与相交于两点，则以为直径的圆被轴截得的弦长为______．
9.已知函数，若，则______．
10.若直线是曲线的一条对称轴，且函数在区间上不单调，则的最小值为______．
11.已知函数，且，不等式，则实数的取值范围是______．
12.若长方体中，，，．则四面体与四面体公共部分的体积为______．
二、选择题（本大题共4题，满分18分）
13.已知实数满足，，则的范围是（ ）
A. B. C. D.
14.下列关于复数的命题中（其中为虚数单位），说法正确的是（ ）
A.若关于的方程有实根，则
B.复数满足，则在复平面对应的点位于第二象限
C.，（为虚数单位，），若，
则
D.是关于的方程的一个根，其中、为实数，则
15.已知函数，则关于的方程有7个不同实数解，则实数，满足（ ）
A.且 B.且
C.且 D.且
16.已知动点，，为圆上两动点，且，点为线段的三等分点，若，，存在点使得，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
三、解答题（本大题共5题，满分78分）
17.如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，底面，，E是PC的中点．
（1）求点P到平面EDB的距离；
（2）求直线PB与平面EDB的夹角的正弦值．
18.已知函数的两条相邻对称轴的距离为．
（1）求的解析式；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象．若，且，求的值；
19.中国乒乓球队是中国体育军团的王牌之师，屡次在国际大赛上争金夺银，被体育迷们习惯地称为“梦之队”．2024年巴黎奥运会，中国乒乓球队包揽全部五枚金牌．其中团体赛由四场单打和一场双打比赛组成，采用五场三胜制．每个队由三名运动员组成，当一个队赢得三场比赛时，比赛结束．2024年8月9日，中国队对战瑞典队，最终以取得团体赛冠军，赛前某乒乓球爱好者对赛事情况进行分析，根据以往战绩，中国队在每场比赛中获胜的概率均为．
（1）已知中国队输掉了第一场，求中国队最终获胜的概率．
（2）求至多进行四场就结束比赛的概率．
20.已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，直线与轴交于点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线交椭圆于两点（在的左侧），直线分别与直线交于两点，直线的斜率记为．
①求证：为定值；
②点为中点，若，求实数的取值范围．
21.若曲线的切线与曲线共有个公共点（其中，），则称为曲线的“－切线”．
（1）若曲线在点处的切线为切线，另一个公共点的坐标为，求的值；
（2）求曲线所有－切线的方程；
（3）设，是否存在，使得曲线在点处的切线为－切线？若存在，探究满足条件的的个数，若不存在，说明理由．
参考答案
一、填空题
1.； 2.； 3.； 4.； 5.； 6.； 7.； 8.； 9.； 10.； 11.； 12.；
11.已知函数，且，不等式，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】设，
由题意，，
则，即，
所以函数在上单调递减，
所以对于恒成立，
即对于恒成立，
设，则
令，得，令，得，
所以函数在上单调递增，在）上单调递减，
则，即，所以实数的取值范围是．故答案为：．
12.若长方体中，，，．则四面体与四面体公共部分的体积为______．
【答案】
【解析】如图，
设，
作，垂足为，
∴为的第一个三等分点（靠近），连是的中点，
∴到平面的距离是到平面的距离的一半，
∴公共部分是三棱必,
又，
易知平面，
由等面积法可得，
故答案为：．
二、选择题
13.C； 14.D； 15.C； 16.C
15.已知函数，则关于的方程有7个不同实数解，则实数，满足（ ）
A.且 B.且
C.且 D.且
【答案】C
【解析】令，作出函数的图象如下图象如：
由于方程至多两个实根，设为和，
由图象可知，直线与函数图象的交点个数可能为，
由于关于的方程有7个不同实数解，
则关于的二次方程的一根为，则，
则方程的另一根为，
直线与函数图象的交点个数必为4，则，解得．
所以且．故选：．
16.已知动点，，为圆上两动点，且，点为线段的三等分点，若，，存在点使得，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】已知动点，则均为直线上的动点，又为圆上两动点，且，则为等边三角形，
因为点为线段的三等分点，不妨取，
由余弦定理得，
所以点在以原点为圆心，半径为的圆上，
因为，所以，则，
要使，所以点在以为直径的圆上，则圆与圆有公共点；
又原点到直线的距离为,
当圆的圆心为直线上离原点最近的点，且两圆外切时，
圆的半径取得最小值，
所以的中点为直线上的动点，，
故对任意的取值，总存在
故圆与圆有公共点，故无最大值，故的取值范围为．故选：．
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1） （2）
20.已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，直线与轴交于点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线交椭圆于两点（在的左侧），直线分别与直线交于两点，直线的斜率记为．
①求证：为定值；
②点为中点，若，求实数的取值范围．
【答案】（1） （2）①见解析；②
【解析】（1）因为直线的离心率为，且点在直线上，
所以，又，解得，
则椭圆的标准方程为；
（2）①证明：因为，直线的方程为，
联立，消去并整理得
此时,解得．
设，由韦达定理得．
所以
则为定值，定值为-2；
②设直线的方程为，即．
令，解得，即，
设直线的方程为，同理得，
由①知，所以，所以
因为所以
因为方程），
可得
所以
令，此时．
则的取值范围为．
21.若曲线的切线与曲线共有个公共点（其中，），则称为曲线的“－切线”．
（1）若曲线在点处的切线为切线，另一个公共点的坐标为，求的值；
（2）求曲线所有－切线的方程；
（3）设，是否存在，使得曲线在点处的切线为－切线？若存在，探究满足条件的的个数，若不存在，说明理由．
【答案】（1）3 （2） （3）见解析
【解析】（1）曲线在点处的切线为切线，另一个公共点的坐标为，则该切线的斜率为，因此．
（2）由求导得，
则曲线在处的切线方程为：，令，
整理得，
此切线为－切线，等价于方程有且仅有一个根，即，即，
所以曲线的－切线仅有一条，为
（3）由，
得曲线在点处的切线方程为：，
即，
令，
求导得，由，得,
对，当时，为严格增函数；
当时，为严格减函数，
函数所有的极大值为，当时，极大值等于0，即，当为正整数时，极大值全部小于0，即在无零点，
当为负整数时，极大值全部大于0，
函数所有的极小值为，
当时，极小值，
且随着的增大，极小值越来越小，
因此在点处的切线为－切线，等价于有三个零点，等价于，即有解，
令，则，因此为上的严格增函数，
因为，
于是存在唯一实数，满足
所以存在唯一实数，使得曲线在点处的切线为－切线．