2025-2026学年上海南洋模范中学高二上学期数学期中试卷（2025.11）（含答案）

南洋模范2025-2026学年第一学期高二年级数学期中
2025.11
一、填空题（共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1.若圆锥的高为10，底面圆的半径为2，则这个圆锥的体积为______．
2.小明在期中复习时，对常见的“角”进行了简要梳理：①两条异面直线所成的角；②直线与平面所成的角；③二面角；④两个非零向量的夹角．则上述各种“角”的取值范围是的有______（请填写序号）
3.如图是一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积等于______．
4.如图，正六棱柱中与直线异面的侧棱共有______条．
5.与圆柱底面成角的平面截圆柱得到如图所示的几何体，截面上的点到圆柱底面距离的最大值为3，最小值为1，则该几何体的体积为______．
第3题图 第4题图 第5题图
6.一个正四面体木块如图所示，点是棱的中点，过点将木块锯开，使截面平行于棱和，若木块的棱长为，则截面面积为______．
7.如图，在正四棱柱中，，该正四棱柱的体积为48，则直线与底面所成角的大小
为______．（用反三角函数表示）
8.如图，在一个的二面角的棱上，有两个点，分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于的线段，且，，，则的长为______cm．
9.如图，在三棱柱中，所有棱长均为1，且底面，则点到平面的距离为______．
10.如图，正八面体棱长为4，空间动点满足，则的最大值为______．
第8题图 第9题图 第10题图
11.“曼哈顿距离（Manhattan Distance）”是由19世纪赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，表示两个点在空间（或平面）直角坐标系中的“绝对轴距”总和．例如：在空间直角坐标系中，点，之间的曼哈顿距离为．现已知在空间直角坐标系中，点为坐标原点，动点满足，则由动点构成的几何体的体积为______．
12.数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体中，正四面体的棱长为4，给出下列四个结论：正确的序号是______．
①若是勒洛四面体表面上的任意两点，则的最大值是4；
②勒洛四面体被平面截得的截面面积是；
③勒洛四面体的体积是；
④勒洛四面体内切球的半径是．
二、选择题（共4题，满分18分，第13，14题4分，第15，16题5分）
13.已知空间两点，，向量满足，则实数的值为（ ）
A.0 B.1 C.0或1 D.不存在
14.已知正三棱柱的所有棱长均为2，且点在上运动，则直线与平面所成角的最大正弦值为（ ）
A. B. C. D.
15.已知四点在同一个球的球面上，，，若四面体体积的最大值为3，则这个球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
16.如图，已知正方体中，，为线段上一点，为平面内一点，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
三、解答题
17.如图，四棱锥中，底面，，点在线段上，且．
（1）求证：平面；
（2）若，，，，求两条异面直线和所成的角．
18.如图，在正四棱柱中，底面边长为1，，分别为，上的点，且，．
（1）求证：直线平面；
（2）求平面与平面所成锐二角的余弦值．
19.（1）对于精美的礼物，通常会搭配礼盒保护，现工厂有一种树脂工艺球待礼盒包装，为节省材料费用，定制礼盒尺寸大小卡住树脂工艺球避免其来回滚动即可．现在有两种定制方式，一种是正方体礼盒，另一种是圆柱体礼盒，均不计损耗的话后者的单位面积费用是前者的1.2倍，工厂应选择哪一种礼盒更经济实惠？
（2）包装好的礼物、通常还会用彩带捆扎，有时还会扎出一个花结，这些包装彩带也不便宜，因此在捆扎时不仅要考虑美观、结实，也要考虑尽量地节省包装彩带．以长方体的礼盒为例，较为典型的两种捆扎方式分别为“十字”和“对角”，如下图所示．
“十字”捆扎 “对角”捆扎
假设1：将礼物视作一个长方体，其长为4，宽为2、高为1；
假设2：不考虑花结处的彩带，将每一段彩带视为线段，且完全位于礼物的表面上；
假设3：“十字”捆扎中，长方体表面上的每一段彩带（上底面和下底面各2段，每个侧面各1段）都与其相交的棱垂直；
假设4：“对角”捆扎中，以某种方式展开长方体后，长方体表面上的每一段彩带（上底面和下底面各2段，每个侧面各1段）在其表面展开图上均落在同一条直线上．
①求“十字”捆扎中彩带的总长度；
②根据假设4绘制示意图，求“对角”捆扎中彩带的总长度，并比较两种捆扎方式，给出用彩带捆扎礼物的建议．
20.在空间直角坐标系中，任何一个平面都能用方程表示．（其中且），且空间向量为该平面的一个法向量．有四个平面，，，
（1）若平面与平面互相垂直，求实数的值；
（2）请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点到平面的距离为；
（3）若四个平面围成的四面体的外接球体积为，求该四面体的体积．
21.已知完全封闭且内部中空的圆柱底面的半径为，母线长为．
（1）当，时，在圆柱内放一个半径为1的实心球，求圆柱内空余部分的体积；（结果用精确值表示）
（2）如图，当，时，平面与圆柱的底面所成锐二面角为，且平面只与圆柱的侧面相交，设平面与圆柱的侧面相交的轨迹为曲线，半径为1的两个球分别在圆柱内平面上下两侧且分别与平面相切于点，若点为曲线上任意一点，求证：为定值；
（3）在（1）的条件下，在圆柱内部空余的地方放入和实心球、侧面及相应底面均相切的半径为的同样大小的小球个，求的最大值．
参考答案
一、填空题
1.； 2.③④； 3.； 4.； 5.； 6.； 7.； 8.； 9.； 10.； 11.； 12.①②④；
11.“曼哈顿距离（Manhattan Distance）”是由19世纪赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，表示两个点在空间（或平面）直角坐标系中的“绝对轴距”总和．例如：在空间直角坐标系中，点，之间的曼哈顿距离为．现已知在空间直角坐标系中，点为坐标原点，动点满足，则由动点构成的几何体的体积为______
【答案】
【解析】设，因为动点满足，所以，
当时，设，
因此，点，共面，
点围成的图形是边长为的正三角形及内部，
由对称性知，动点围成的几何体是正八面体，每个面都是边长为的正三角形，
所以动点围成的几何体的体积
故答案为：．
12.数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体中，正四面体的棱长为4，给出下列四个结论：正确的序号是______．
①若是勒洛四面体表面上的任意两点，则的最大值是4；
②勒洛四面体被平面截得的截面面积是；
③勒洛四面体的体积是；
④勒洛四面体内切球的半径是．
【答案】①②④
【解析】由勒洛四面体的定义可知勒洛四面体表面上的任意两点间的距离的最大值是4，
则①正确．
勒洛四面体被平面截得的截面如图1所示，
其面积为），则②正确．
如图2，由对称性可知勒洛四面体内切球的球心是正四面体外接球的球心，
连接，并延长交勒洛四面体的曲面于点，则就是勒洛四面体内切球的半径．
如图3，在正四面体中，为的中心，是正四面体外接球的球心，连接，由正四面体的性质可知在上．
因为，所以，则．
因为，即，
解得，则正四面体外接球的体积是.
因为勒洛四面体的体积小于正四面体外接球的体积，则③错误．
因为，所以，则④正确。故答案为：①②④
图1 图2 图3
二、选择题
13.A； 14.B； 15.C； 16.A
15.已知四点在同一个球的球面上，，，若四面体体积的最大值为3，则这个球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，，
则
所以，若四面体体积的最大，
则点D到平面的距离最大，此时平面平面．
设为的中点，则为截面的外接圆的圆心，则
所以．
设四面体的外接球的球心为，则，设，
则，解得
所以，这个球的表面积为．故选C
16.如图，已知正方体中，，为线段上一点，为平面内一点，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】把沿上转，与平面共面，
当时，最小，,
所以的最小值为．故选A．
三、解答题
17.（1）证明略 （2）
18.（1）证明略 （2）
19.（1）工厂应选择圆柱体礼盒更经济实惠 （2）①16 ②，在实际生活中包装彩带时应选择“对角”捆扎方式，更节省包装彩带。
20.在空间直角坐标系中，任何一个平面都能用方程表示．（其中且），且空间向量为该平面的一个法向量．有四个平面，，，
（1）若平面与平面互相垂直，求实数的值；
（2）请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点到平面的距离为；
（3）若四个平面围成的四面体的外接球体积为，求该四面体的体积．
【答案】（1） （2）见解析 （3）
【解析】（1）根据题意，平面的法向量，平面的法向量，
所以，故。
（2）证明：不妨设，在平面内取一点，
则向量，取平面的一个法向量，
所以点意平面的距离为．
（3）由解得交点，
同理，可得其他交点,，
又四面体外接球体积为，故外接球半径，设球心为，
则，即有得或，
当球心坐标为时，，
解得（舍去），当球心坐标为时，
解得（舍去）或
故，所以到平面
即的距离为
又是正三角形，所以，故.
21.已知完全封闭且内部中空的圆柱底面的半径为，母线长为．
（1）当，时，在圆柱内放一个半径为1的实心球，求圆柱内空余部分的体积；（结果用精确值表示）
（2）如图，当，时，平面与圆柱的底面所成锐二面角为，且平面只与圆柱的侧面相交，设平面与圆柱的侧面相交的轨迹为曲线，半径为1的两个球分别在圆柱内平面上下两侧且分别与平面相切于点，若点为曲线上任意一点，求证：为定值；
（3）在（1）的条件下，在圆柱内部空余的地方放入和实心球、侧面及相应底面均相切的半径为的同样大小的小球个，求的最大值．
【答案】（1） （2）见解析 （3）30
【解析】（1）圆柱内空余部分的体积为：
（2）证明：当时，平面与圆柱的底面所成锐二面角为，
且平面只与圆柱的侧面相交，则平面与圆柱的侧面相交的轨迹为椭圆，
且长轴长为，短轴长为，
如图，在椭圆上任取一点，过作平行于圆柱的母线的直线，
交上方球与圆柱相切的圆于点，交下方球与圆柱相切的圆于点，
则与球相切，与球相切，
又∵两个球分别在圆柱内平面上下两侧且分别与平面相切于点，∴，即椭圆上任意一点到，的距离和为定值，
∴为椭圆的两焦点，故;
（3）考虑其轴截面，如下图所示，，
则，∴，解得，
考虑大球及小球在底面上的投影，如下图所示：，
，即，
下方空余位置最多可放15个，