2025-2026学年上海南洋模范高一上学期数学期中试卷上海宜川中学

南模中学2025-2026学年第一学期高一年级数学期中
2025.11
一、填空题（）
1.用描述法表示图中的阴影部分的点（含边界）的坐标组成的
集合______．
2.函数的定义域是______．
3.《再别康桥》是中国现代诗人徐志摩的诗作，是新月派诗歌的代表作，诗中写道：
轻轻的我走了，正如我轻轻的来；
我轻轻的招手，作别西天的云彩；
那河畔的金柳，是夕阳中的新娘；
波光里的艳影，在我的心头荡漾．
……
若定义该诗的第行的字数（标点符号不计入字数）为，则______．
4.为解决上下班的交通问题，调查了某地100名职工，其中78人持有交通卡，52人拥有自行车，而持有交通卡又有自行车的有37人，则既无交通卡又无自行车的共有______人．
5.已知满足，则的范围是______．
6.已知函数，又，，，，试写出的大小关系______．
7.若是关于的方程的两个实根，则最大值为______．
8.不等式的解集是______．
9.研究表明，函数为奇函数时，函数的图象关于点成中心对称．若函数的图象对称中心为，那么______．
10.甲，乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数，，当甲公司投入万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费用小于万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败风险；当乙公司投入万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费用小于万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败风险．设，，甲，乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少投入宣传费用，问甲公司应投入______万元宣传费．
11.设，若存在定义域的函数既满足“对于任意，的值为或”又满足“关于的方程无实数解”，则的取值范围为______．
12.已知，，，且，则的最小值为______．
二、选择题（）
13.十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数，关于的方程没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为（ ）
A.对任意正整数，关于的方程都没有正整数解
B.对任意正整数，关于的方程至少存在一组正整数解
C.存在正整数，关于的方程至少存在一组正整数解
D.存在正整数，关于的方程至少存在一组正整数解
14.如果正数满足，那么（ ）
A.，且等号成立时的取值唯一；
B.，且等号成立时的取值唯一；
C.，且等号成立时的取值不唯一；
D.，且等号成立时的取值不唯一；
15.若实数满足，且，则称与互补，记，那么是与互补的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
16.设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①一定可以写成一个奇函数和一个偶函数之差；②若、、均是定义域上的奇函数，则、、均是定义域上的奇函数，下列判断正确的是（ ）
A.①和②均为真命题 B.①和②均为假命题
C.①为真命题，②为假命题 D.①为假命题，②为真命题
三、解答题（）
17.关于的不等式．
（1）若，求不等式解集；
（2）当时，求上述不等式的解集．
18.由正数组成的集合具有如下性质：若，且，则．
（1）若且，试分别判断与是否在集合内并说明理由；
（2）试问集合能否恰有两个元素且？若能，求出所有满足条件的集合，若不能，请说明理由．
19.如图所示，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在射线AB上，N在射线AD上，且对角线MN过点C，已知AB长为4米，AD长为3米，设米．
（1）要使矩形花坛AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内；
（2）要使矩形花坛AMPN的扩建部分铺上大理石，则AN的长度是多少时，用料最省？
20.已知不等式的解集为．
（1）若，求的值；
（2）若，且不等式有且仅有9个整数解，求的取值范围；
（3）若解关于的不等式：．
21.设集合为非空数集，定义，．
（1）若，写出集合；
（2）若，，且，求证：；
（3）若，且，求集合元素个数的最大值．
参考答案
一、填空题
1.； 2.； 3.； 4.； 5.；
6.（当且仅当时取等号）； 7.； 8.； 9.； 10.； 11.； 12.；
12.已知，，，且，则的最小值为______
【答案】
【解析】因为，所以
当且仅当时等号成立．又因为，
由不等式的性质可得,
当且仅当时等号成立，所以的最小值为
二、选择题
13.D； 14.A； 15.C； 16.A
15.若实数满足，且，则称与互补，记，那么是与互补的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若，则，
两边平方解得，故至少有一为0，不妨令则可得，
故，即与互补；若与互补时，易得，故至少有一为0，若，此时
同理若，此时
即，故是与互补的充要条件．故选：．
16.设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①一定可以写成一个奇函数和一个偶函数之差；②若、、均是定义域上的奇函数，则、、均是定义域上的奇函数，下列判断正确的是（ ）
A.①和②均为真命题 B.①和②均为假命题
C.①为真命题，②为假命题 D.①为假命题，②为真命题
【答案】A
【解析】对于①：设是定义域为的函数，为奇函数，为偶函数，
且，可得，
可得,
因为，可知为奇函数，，可知为偶函数，故①为真命题；
对于②：设,
可知均是定义域上的奇函数，且
，
所以均是定义域上的奇函数，故②是真命题；故选：A．
三、解答题
17.（1）
（2）①时，解集；②，解集；
③解集；④，解集．
⑤当时，解集．
18.（1）在集合内 （2）能，满足条件的集合有
19.（1） （2）6
20.已知不等式的解集为．
（1）若，求的值；
（2）若，且不等式有且仅有9个整数解，求的取值范围；
（3）若解关于的不等式：．
【答案】（1）15 （2） （3）见解析
【解析】（1）因为，不等式的解集为，
所以不等式的解集为，且不等式的解集为，
所以方程的两个根分别为2和3，所以
得，所以．
（2）由（1）可知，所以不等式，可化为，由（1）知等式的解集为，所以恒成立，
所以解得，
不等式等价于,
所以，得，
因为不等式有且仅有9个整数解，所以，解得，
综上，的取值范围为．
（3）若，以由（1）可知可化为，
即，当时，，即不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．当时，，即不等式的解集为．
若，则不等式的解集为的解集为，
所以方程的两个根分别为2和3，所以
得，所以不等式的解集为，
所以恒成立，所以，解得，
所以所求不等式为，
解得或，即不等式的解集为，
当时，，得，
所以所求不等式无解，
当时，，得，
所以所求不等式为，解得，
综上，当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为．
21.设集合为非空数集，定义，．
（1）若，写出集合；
（2）若，，且，求证：；
（3）若，且，求集合元素个数的最大值．
【答案】（1）， （2）见解析 （3）1349
【解析】（1）由题意知，，得，.
（2）由于集合，且，
所以集合中有且仅有4个元素，即，，
剩下的元素满足，即．
（3设满足题意，其中，
则，
所以（表示集合中元素的个数）．
又，所以.
因为，由容斥原理，得，
且最小的元素为0，最大的元素为，所以，
所以，解得，实际上当时，满足题意，证明如下：设，
则，，
依题意，得，即，所以的最小值为675，
于是当时，集合中的元素最多，即，时，满足题意。综上所述，集合中元素个数的最大值为1349．