2025-2026学年上海新川中学高三上学期数学期中试卷（2025.11）（含答案）

新川中学2025~2026学年高三上学期期中考试
2025.11
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分）
1.已知集合，集合，则______．
2.函数的最小正周期为______．
3.已知，，若，则实数______．
4.等差数列中，，，则该数列的公差为______．
5.某单位老年、中年、青年员工分别有80人、100人、120人，现采用分层随机抽样的方法，从该单位上述员工中抽取30人调查专项附加扣除的享受情况，则应该从青年员工中抽取的人数为______．
6.已知复数，为纯虚数，则实数______．
7.对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．
8.已知的展开式中所有项的二项式系数的和为64，则展开式中的系数为______．
9.已知正四棱锥的侧棱长等于底面边长的倍，从正四棱锥的5个顶点中任取3个点，若这3个点恰好是正三角形的三个顶点的概率是，则实数______．
10.当时，函数取得最大值，则______．
11.已知，函数的图像的两个端点分别为，设是函数图像上任意一点，过作垂直于轴的直线，且与线段交于点，若恒成立，则的取值范围是______．
12.已知，. 若，则当时，的最大值为______．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13-14题每题4分，15-16题每题5分）
13.若，，则下列不等式中成立的是（ ）
A. B. C. D.
14.如图所示，在正方体中，点为边上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（ ）
A. B. C. D.
15.中国5G技术领先世界，其数学原理之一便是香农公式：，它表示：在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫信噪比，按照香农公式，若不改变带宽，将信噪比从2000提升至10000，则大约增加了（ ）
A. B. C. D.
16.已知函数的定义域为，．
命题：若当时，都有，则函数是上的奇函数．
命题：若当时，都有，则函数是上的增函数．
下列说法正确的是（ ）
A.、都是真命题 B.是真命题，是假命题
C.是假命题，是真命题 D.、都是假命题
三、解答题（第17~19题每题14分，第20~21题每题18分）
17.（本题满分）已知函数，函数是定义在上的奇函数，且．
（1）求函数的解析式；
（2）判断的单调性（无需证明），并解关于的不等式．
18.（本题满分）在中，角的对边分别为，已知．
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，求的最小值，并判断此时的形状．
19.（本题满分）平面直角坐标系中，已知椭圆左、右焦点分别为，离心率为，经过且倾斜角的直线与交于两点（其中点在轴上方），且的周长为8，现将平面沿轴向上折叠，折叠后两点在新图像中对应的点分别记为，且二面角为直二面角，如图所示．
（1）求折叠前的标准方程；
（2）当时，折叠后，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
20.（本题满分）已知抛物线的焦点为，点是抛物线上任意一点，过点作抛物线的切线，该切线与轴交于点．
（1）求抛物线的焦点坐标和准线方程；
（2）若点的坐标为，求的面积；
（3）证明：．
21.（本题满分）已知函数．
（1）当时，求；
（2）当时，讨论的单调性；
（3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
一、填空题
1.； 2.； 3.或； 4.； 5.； 6.； 7.； 8.； 9.；
10.； 11.； 12.；
11.已知，函数的图像的两个端点分别为，设是函数图像上任意一点，过作垂直于轴的直线，且与线段交于点，若恒成立，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】∵，∴，
∴直线的方程为. 设，.
∵恒成立恒成立，∴.
∵，在上小于等于0恒成立，∴.
①或时，恒成立；
②时，，由基本不等式得：，此时.∴的最大值为.
二、选择题
13.C； 14.B； 15.B； 16.D
15.中国5G技术领先世界，其数学原理之一便是香农公式：，它表示：在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫信噪比，按照香农公式，若不改变带宽，将信噪比从2000提升至10000，则大约增加了（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意，将信噪比从2000提升至10000，则最大信息传递速率从增加至，
所以
．故选B.
三、解答题
17.【答案】（1）；（2）单调增；解集为.
18.【答案】（1）；（2）最小值为4，此时为等边三角形.
19.【答案】（1）；
（2）折叠前，易得直线的方程为.
联立，解得，，所以.
对应到折叠后的图中，，结合，可求得平面的一个法向量为.
显然平面的一个法向量为.
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
20.（本题满分）已知抛物线的焦点为，点是抛物线上任意一点，过点作抛物线的切线，该切线与轴交于点．
（1）求抛物线的焦点坐标和准线方程；
（2）若点的坐标为，求的面积；
（3）证明：．
【答案】（1）焦点，准线为；
（2）设切线方程为，联立.
由，解得，所以切线为，从而得，所以的面积；
（3）设，∴. 再设切线方程为.
联立方程.
由，解得，
∴切线方程为，从而可得，∴，得证.
21.（本题满分）已知函数．
（1）当时，求；
（2）当时，讨论的单调性；
（3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）当时，，
∴；
（2）当时，，∴.
令，则，因此单调递增.
又由可得：当时，，即，∴单调递减；
当时，，即，∴单调递增.
故在上单调递减，在上单调递增；
（3）由得，其中.
①当时，不等式显然成立，符合题意；
②当时，分离参数得恒成立，∴.
记，则.
令，则，∴，故严格单调递增，∴，故函数严格单调递增，∴.
由可得：恒成立，
故当时，，严格单调递增；当时，，严格单调递减；因此，∴.