2025-2026学年上海华三附中高一上学期数学期中试卷上海宜川中学

华师大三附中2025-2026学年第一学期高一年级数学期中
2025.11
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1.已知集合，，则______．
2.关于的不等式的解集为______．
3.已知幂函数的图像经过点，则______．
4.若正实数、满足，则的最大值是______．
5.含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则_____．
6.已知，，则______．（结果用表示）
7.不等式的解集为______．
8.已知对于任意，，则实数的取值范围为______．
9.已知，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为______．
10.若命题“任意，”为假命题，则实数的取值范围为______．
11.设命题：方程有两个不相等的正根；命题：方程无实根．若与中有且只有一个是真命题，则实数的取值范围______．
12.已知集合，集合、、满足：①每个集合都恰有4个元素；②．集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，则的最大值与最小值的差为______．
二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，13-14每题4分，15-16每题5分．
13.设，则“”是“”的（ ）条件
A.充分非必要 B.必要非充分 C.充分必要 D.既非充分又非必要
14.函数与函数在同一平面直角坐标系中图像可能为（ ）
A.B.C.D.
15.已知，函数过点、．若，则（ ）
A.2 B.4 C.8 D.16
16.数学上将形如（为素数）的素数称为“梅森素数”，试估计“梅森素数”的位数为（ ）位
A.609 B.610 C.611 D.612
三、解答题（本大题满分78分）本大题共5题．
17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知集合，集合．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知指数函数，满足．
（1）求函数的解析式；
（2）若方程有两个不同的实数解，求实数取值范围．
19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
上海某中学一年一度的校运动会将在十月份举行．学校各单位已经开始各项准备工作，其中宣传报道组制作了各式各样的宣传海报供各个单位使用．如图，一份矩形宣传海报的排版面积（矩形）为，根据设计要求，它的两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白．
（1）若，，且该海报的面积不超过，求的取值范围；
（2）若，，则当长多少时，才能使纸的用量最少？
20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
设，定义
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围；
（3）若，记，分别比较与，以及与的大小，并求的最大值．
21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
若有限个正整数组成的集合中至少有两个元素，且对于任意的，都有，则称为“双集合”．
（1）判断是否为“双集合”，说明理由；
（2）若双元素集为“双集合”，且，求所有满足条件的集合；
（3）求所有满足条件的“双集合”．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11.设命题：方程有两个不相等的正根；命题：方程无实根．若与中有且只有一个是真命题，则实数的取值范围______．
【答案】
【解析】当命题为真时，有，解得，
当命题为真时，有，即，解得，
由题意，与中有且只有一个是真命题，分两种情况：
若真假，则，解得；
若假真，则，解得，
综上可得实数的取值范围是．故答案为：．
12.已知集合，集合、、满足：①每个集合都恰有4个元素；②．集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，则的最大值与最小值的差为______．
【答案】
【解析】因为满足：①每个集合都恰有4个元素；
②，所以一定各包含4个不同的数值．
当集合中元素的最小值分别是，最大值分别是，
特征数的和最小，如：，特征数为
，特征数为，特征数为9，
则的最小值为．
当集合中元素的最小值分别是，最大值分别是时，
特征数的和最大，如：，，特征数为13；
，特征数为，，特征数为17，
则的最大值为，
故的最大值与最小值的差为．
二、选择题
13.B 14.C 15.B 16.B
15.已知，函数过点、．若，则（ ）
A.2 B.4 C.8 D.16
【答案】B
【解析】函数的图象经过点，
可得，即（1）；即（2）
由（1）×（2）可得：
∴，而，解得：，故答案为：4．
16.数学上将形如（为素数）的素数称为“梅森素数”，试估计“梅森素数”的位数为（ ）位.
A.609 B.610 C.611 D.612
【答案】B
【解析】因为，则即，
所以的位数为．故选：．
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1） （2）当时，才能使纸的用量最少，为
20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
设，定义
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围；
（3）若，记，分别比较与，以及与的大小，并求的最大值．
【答案】（1） （2） （3）见解析
【解析】（1）当时，，则可化为，结合，得到.
当时，，则可化为，此式恒成立，所以.
综合两种情况，的取值范围是.
（2）因为，根据新定义运算可知.
当时，，则，解得.
当时，不成立，此区间无解.
当时，，则，解得.
综合三种情况，的取值范围是
（3）当时，，
由均值不等式，则.
因为，所以，当且仅当时取等号.
当时，的值可能大于，需要进一步分析.
综合分析，当时，取得最大值.
21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
若有限个正整数组成的集合中至少有两个元素，且对于任意的，都有，则称为“双集合”．
（1）判断是否为“双集合”，说明理由；
（2）若双元素集为“双集合”，且，求所有满足条件的集合；
（3）求所有满足条件的“双集合”．
【答案】（1）不是 （2）见解析 （3）．
【解析】（1）假设，则，故不是＂双集合＂．
（2）假设，则另一个元素为，因为，
若，解得不符合题意；
若，解得（符合题意）或（不符合题意），所以此时；
假设，则另一个元素为，因为，
若，解得符合题意；
若，解得不符合题意，所以此时；
（3）若满足条件的＂双集合＂，只有两个元素，仿照（2）讨论，可得满足＂双集合＂的有）
当＂双集合＂有两个以上的元素时，设最小的元素为，最大元素为，
第二大的元素为，所以有是＂双集合＂中的元素，所以，
若，与已知矛盾，故，解得，
显然与不可能同时为整数，故该假设不成立，
所以＂双集合＂不可能有两个以上的元素；
故所有满足的＂双集合＂为．