2025-2026学年上海中原中学高一上学期数学期中试卷（含答案）

中原中学2025-2026学年第一学期高一年级数学期中
2025.11
第Ⅰ卷（104分）
一、填空题（每题5分，共50分）
1.用或填空：0______．
2.若，则______．
3.设全集为，，，则______．
4.不等式的解集为______．（用区间表示）
5.设a、b为实数，比较两式的值的大小：______（用符号＞，，＜，或填入划线部分）．
6.若点在幂函数的图像上，则该幂函数的表达式为______．
7.不等式的解集为______．（用区间表示）
8.若，则______．
9.已知，方程的解集为______．（用区间表示）
10.某公司购买一批机器投入生产，根据市场分析每台机器生产的产品可获得的年平均利润y（万元）与机器运转时间x（年数，x是正整数）的关系为，则每台机器的年平均利润的最大值为______万元．
二、单选题（每题5分，共10分）
11.“”是“”的（ ）条件
A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.即非充分又非必要
12.已知函数（且）在上是严格增函数，且，则（ ）
A.3 B.4 C.9 D.16
三、解答题（第13题10分，第14题10分，第15题10分，第16题14分，共44分）
13.证明：对于三个实数a、b、c，若，则或．
14.已知，，试用a，b表示、．
15.集合，
（1）（6分）求A、B；
（2）（4分）．
16.已知函数的图像恒过定点A，且点A又在函数的图像上．
（1）（7分）求实数a的值；
（2）（7分）解不等式．
第Ⅱ卷（46分）
一、填空题（每题4分，共24分）
17.函数的定义域为______．
18.若正数a、b满足，则的最小值为______．
19.已知集合，，，，则实数______．
20.已知集合，，且，则实数a的取值范围是______．
21.若幂函数的图像与x轴、y轴无交点，且图像关于原点成中心对称，则m的值为______．
22.已知关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围是______．
二、单选题（每题4分，共8分）
23.有四个命題：①若，则；②若，则；③若，则；④若且，则．其中真命题的是（ ）
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
24.历史上数学计算方面的三大发明是阿拉伯数字、十进制和对数，其中对数的发明，大大缩短了计算时间，为人类研究科学和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特的优势．已知，则的估算值为（ ）
A. B. C. D.
三、解答题（第1小题4分，第2小题5分，第3小题5分，共14分）
25.若实数x、y、m满足；则称x比y远离m．
（1）若比1远离0，求x的取值范围；
（2）对任意正数a，b，证明：；
（3）对任意两个不相等的正数a，b，证明：比远离．
参考答案
第Ⅰ卷（104分）
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.；
二、选择题
11.A 12.C
三、解答题
13.证明略
14.、．
15.（1） （2）
16.（1） （2）
第Ⅱ卷（46分）
17.
18.
19.
20.
21．
22.已知关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】当时，不等式为，满足题意；
当时，要使不等式的解集为，
则，解得，
综上，实数的取值范围为．故答案为：，
23.有四个命題：①若，则；②若，则；③若，则；④若且，则．其中真命题的是（ ）
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
【答案】C
【解析】对于①，若，由不等式的性质可得：，故命题①是真命题；
对于②，若，因为，而，所以，故命题②是假命题；
对于③，若，则，可得，故命题③是真命题；
对于④，若且，则，，故命题④是真命题.综上所述：真命题有①③④．故选：．
24.历史上数学计算方面的三大发明是阿拉伯数字、十进制和对数，其中对数的发明，大大缩短了计算时间，为人类研究科学和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特的优势．已知，则的估算值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
所以．故选：D．
三、解答题（第1小题4分，第2小题5分，第3小题5分，共14分）
25.若实数x、y、m满足；则称x比y远离m．
（1）若比1远离0，求x的取值范围；
（2）对任意正数a，b，证明：；
（3）对任意两个不相等的正数a，b，证明：比远离．
【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】（1）由题意，可得，∴或，
即或，解得，或，∴的取值氾围为．
（2）证明：由，得
当且仅当时，上述不等式等号成立．
当且仅当时，等号成立，
（3）证明：对任意两个不相等的正数有，
比远离