2025-2026学年上海奉贤中学高一上学期数学期中试卷（含答案）

奉贤中学2025学年第一学期高一年级数学期中
2025.11
一、填空题（第1-6题每题满分4分，第7-12题满分5分．）
1、设，将改写成指数形式为________．
2、设集合，，则________．
3、不等式的解集为________．
4、已知全集，，且，则实数的值为________．
5、用反证法证明：“如果，，可被5整除，则，至少有一个能被5整除”时应假设：________．
6、若，，则________．（用，的代数式子表示）
7、函数（且）的图象恒过定点，且点在幂函数的图象上，则________．
8、若，则不等式的解集为________．
9、已知，，且，则的最小值为________．
10、已知使为整数的数称为“幸运数”，则在区间内“幸运数”共有________．
11、某物流公司为了扩大业务量，计划改造一间高为6米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的仓库．因仓库的背面靠墙，无须建造费用，设仓库前面墙体的长为米．现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：仓库前面新建墙体每平方米400元，左右两面新建墙体每平方米300元，屋顶和地面以及其他共计28800元；乙队给出的整体报价为元．不考虑其他因素，若乙队要确保竞标成功，则实数的取值范围是________．
12、已知定义在上且图像关于轴对称的函数，满足对任意的实数都成立，且值域为．设函数，，若对任意的，存在，使得成立，则实数的取值范围为________．
二、选择题（第13-14题每题满分4分，第15-16题每题满分5分）
13、设，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
14、下列命题中正确的是（ ）
A．当时函数的图像是一条直线
B．幂函数的图像都经过和点
C．若幂函数图像关于原点对称，则它在定义域上满足随的增大而增大
D．幂函数的图像不可能出现在第四象限
15、航天之父、俄罗斯科学家齐奥科夫斯基（K．E．Tsiolkovsky）于1903年给出火箭最大速度的计算公式．其中，是燃料相对于火箭的喷射速度，是燃料的质量，是火箭（除去燃料）的质量，是火箭将燃料喷射完之后达到的速度．已知，则当火箭的最大速度可达到时，火箭的总质量（含燃料）至少是火箭（除去燃料）的从外质量的（ ）倍．
A． B． C． D．
16、对于集合，给出如下三个结论：①如果，那么；②如果，，那么；③如果，，那么．其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
三、解答题（第17-19题每题满分14分，第20-21题每题满分18分）
17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知函数是指数函数．
（1）该指数函数的图象经过点，求函数的表达式；
（2）解关于的不等式：．
18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知集合，．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围。
19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知命题：“对任意，不等式”是假命题，
（1）求实数的取值集合；
（2）设不等式的解集为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
20、（本题满分18分，第1小题6分，第2小题6分，第3小题6分）
已知函数．
（1）若关于的不等式的解集是．求实数，的值；
（2）若，，，是关于的方程的两个根，求的最小值；
（3）若，，解关于的不等式．
21、（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，…，，使得（其中，2，…，，），则称为的“重覆盖函数”．
（1）判断是否为的“重覆盖函数”，如果是，求出的值；如果不是，说明理由．
（2）若为的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围；
（3）函数表示不超过的最大整数，如，，．若为的“5重覆盖函数”，求正实数的取值范围．
参考答案
一、填空题
1.； 2.； 3.； 4.或； 5.中没有能被5整除的数； 6.； 7.； 8.； 9.； 10.； 11.； 12.；
11.某物流公司为了扩大业务量，计划改造一间高为6米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的仓库．因仓库的背面靠墙，无须建造费用，设仓库前面墙体的长为米．现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：仓库前面新建墙体每平方米400元，左右两面新建墙体每平方米300元，屋顶和地面以及其他共计28800元；乙队给出的整体报价为元．不考虑其他因素，若乙队要确保竞标成功，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】由题意可得：甲队的报价为
元
又乙队给出的整体报价为元，
又乙队要确保竞标成功则28800恒成立，
即，设，
则，
又在为增函数，则，
则，即，又，则，
即实数的取值范围是．故答案为：．
12、已知定义在上且图像关于轴对称的函数，满足对任意的实数都成立，且值域为．设函数，，若对任意的，存在，使得成立，则实数的取值范围为________
【答案】
【解析】变形为,
∴，或，即，或，
∵为偶函数，且值域为，
在同一坐标系中画出函数与的大致图象，如图：
要想满足对任意的，存在，使得成立，
则当时，，
且时，的图象要位于的下方，
故只需，即，解得，综上所述，实数的取值范围是．
二、选择题
13.C； 14.D； 15.A； 16.D
15.航天之父、俄罗斯科学家齐奥科夫斯基（K．E．Tsiolkovsky）于1903年给出火箭最大速度的计算公式．其中，是燃料相对于火箭的喷射速度，是燃料的质量，是火箭（除去燃料）的质量，是火箭将燃料喷射完之后达到的速度．已知，则当火箭的最大速度可达到时，火箭的总质量（含燃料）至少是火箭（除去燃料）的从外质量的（ ）倍．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知，，代入可得，
16、对于集合，给出如下三个结论：①如果，那么；②如果，，那么；③如果，，那么．其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】集合．对于①，，
则恒有，所以，即，故①正确。
对于②，，若，则存在，使得，
所以。由题意得和同奇或同偶。
又若和都是奇数，则为奇数，而是偶数，矛盾．
若和都是偶数，则能被4整除，而不能被4整除，
所以，即，故②正确。
对于③，，可设．
则
所以，故③正确．
综上，正确的结论有①②③．故选D
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1） （2）
20.已知函数．
（1）若关于的不等式的解集是．求实数，的值；
（2）若，，，是关于的方程的两个根，求的最小值；
（3）若，，解关于的不等式
【答案】（1） （2）4 （3）见解析
【解析】（1）由题意：方程的两根为-1，4，且，
所以，所以；
（2）由韦达定理可得：，
所以,
因为，所以，（当且仅当时取＂＝＂），
又当时，方程为，因为，所以方程有两个根，
所以的最小值为4；
（3）当时，由，可化为：，
若，则原不等式可化为：，可得原不等式的解为；
若4），
当时，的两根为，
①当时，，原不等式的解为；
②当时，，原不等式的解为；
③当时，，原不等式的解为;
④当时，，原不等式的解为；
⑤当时，，原不等式的解为；
⑥当时，，原不等式的解为．
21.已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，…，，使得（其中，2，…，，），则称为的“重覆盖函数”．
（1）判断是否为的“重覆盖函数”，如果是，求出的值；如果不是，说明理由．
（2）若为的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围；
（3）函数表示不超过的最大整数，如，，．若为的“5重覆盖函数”，求正实数的取值范围．
【答案】（1）见解析 （2） （3）
【解析】（1）由定义可得，对任意，恰好存在个不同的实数，
使得（其中，即，
∵且为增函数，
∴对于任意，都有唯一一个，使得，
∴是的＂重覆盖函数＂，；
（2）可得的定义域为，
即对任意，存在2个不同的实数，使得（其中），
即对任意有2个实根，
当时，已有一个根，故只需时仅有1个根．
当时，，符合题意，当时，若对称轴，
∵，且，
∴在上单调递减，上单调递增，
则一定存在使得有两个根，舍去；
若对称轴，则无解，舍去；
若对称轴，则在上必须单调递减，且，
∴，解得;当时，对称轴，
∵且，∴时，无解；
当时，单调递减且，
因此仅有1个根，符合题意．综上，实数的取值范围是；
（3）当时，；
当时，，其中为双勾函数，
该函数在上为减函数，在上为增函数，故，
故，故，
∴对于任意要有5个根，
,作出函数的图像，如图：
要使有5个根，需，
又，解得，所以正实数的取值范围．