2025-2026学年上海高桥中学高三上学期数学期中试卷（2025.11）（含答案）

高桥中学2025学年第一学期高三年级数学期中
2025.11
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题．
1.已知集合，，则______．
2.已知复数满足（为虚数单位），则______．
3.已知，则不等式的解集为______．
4.在的展开式中，常数项的值为______．
5.如图是某小组成员的年龄分布茎叶图（十位数字为茎、个位数字为叶）则该小组成员年龄的第30百分位数为______．
6.若第二象限角满足，则______．
7.高为3的圆锥体积为，若该圆锥的底面恰为一个球的大圆，则该球的表面积为______．
8.已知函数的图象过定点，且点在一次函数的图象上，若，，则的最小值为______．
9.莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是世界上现存规模最大、内容最丰富的佛教艺术圣地，每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游．已知购买莫高窟正常参观套票可以参观8个开放洞窟，在这8个洞窟中有3个被誉为最值得参观的洞窟．现游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择4个进行参观，则至少选中2个最值得参观洞窟的概率是______．
10.若函数有一个极大值点为，则的取值范围是______．
11.已知椭圆，是椭圆的左右顶点，是椭圆上的任意一点，且直线的斜率分别为．若的最小值为1，则该椭圆的离心率为______．
12.已知为平面内的定点且．平面内动点满足：存在实数，使得．若点的轨迹为平面图形，则的面积为______．
二、选择题（本大题满分18分）13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分．
13.已知实数．则“”是“”的（ ）
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
14.现有个不同的数据，其平均数为．若在这个数据中加入一个新的数据，则形成的一组新数据一定满足（ ）
A.平均数变大 B.中位数不变 C.极差变小 D.方差变小
15.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球上的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球上的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球上的数字之和为8”，丁表示事件“两次取出的球上的数字之和为7”，则（ ）
A.甲与丙相互独立 B.乙与丙相互独立
C.甲与丁相互独立 D.丙与丁相互独立
16.已知三棱柱，平面，是内一点，点在直线上运动．若直线和所成角的最小值与直线和平面所成角的最大值相等，则满足条件的点的轨迹是（ ）
A.直线的一部分 B.圆的一部分 C.椭圆的一部分 D.抛物线的一部分
三、解答题（本大题满分78分）
17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图，在三棱柱中，平面平面，，四边形是边长为2的正方形．
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的余弦值线．
18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知，，函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）在中，若，，且的面积为，求的值．
19.（本题满分14分）第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分．
一个掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…、第100站，共101站．设棋子跳到第站的概率为，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次．若掷出奇数点，棋子向前跳1站；若掷出偶数点，棋子向前跳2站，直到棋子跳到第99站（获胜）或第100站（失败）时，游戏结束．（骰子是一种由均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6）
（1）求的值，并根据棋子跳到第站的情况，试用和表示（直接写出结论，不用证明）；
（2）证明：为等比数列；
（3）求玩该游戏获胜的概率．
20.（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知椭圆，、分别是椭圆短轴的上下两个端点，是椭圆左焦点，是椭圆上异于点、的点，是边长为4的等边三角形．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当直线的斜率为时，求以为直径的圆的标准方程；
（3）设点满足：，．求证：与面积之比为定值．
21.（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知，．
（1）求函数在处的切线方程；
（2）讨论函数的极值点个数；
（3）若对于任意总有，求实数的取值范围．
参考答案
一、填空题
1.； 2.； 3.； 4.； 5.； 6.； 7.； 8.； 9.； 10.； 11.； 12.；
11.已知椭圆，是椭圆的左右顶点，是椭圆上的任意一点，且直线的斜率分别为．若的最小值为1，则该椭圆的离心率为______．
【答案】
【解析】因为，且的最小值为1，所以，
从而，即，于是
12.已知为平面内的定点且．平面内动点满足：存在实数，使得．若点的轨迹为平面图形，则的面积为______
【答案】
【解析】以为圆心，以为半径作圆，
过作圆的切线分别与圆切于点，连结，延长与圆交于点，存在点以及实数，
记点，满足，由，可知点在的延长线上，
若要存在使得，相当于的延长线于圆有交点，
故只能在图中阴影部分，所以点的轨迹面积,因为与圆相切于点，所以，由勾股定理可知，，
所以，同理，因为，所以，
所以，综上所述，的面积为．故答案为：．
二、选择题
13.B； 14.D； 15.B； 16.D
15.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球上的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球上的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球上的数字之和为8”，丁表示事件“两次取出的球上的数字之和为7”，则（ ）
A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立
【答案】B
【解析】由题意可知，两点数和为8的所有可能为，两点数和为7的所有可能为
甲，乙丙丁．
选项（甲丙）（甲）（丙）；选项（甲丁）甲;
选项C：乙丙乙丙;选项D：（丙丁）（丙）（丁），
故选B．
16.已知三棱柱，平面，是内一点，点在直线上运动．若直线和所成角的最小值与直线和平面所成角的最大值相等，则满足条件的点的轨迹是（ ）
A.直线的一部分 B.圆的一部分 C.椭圆的一部分 D.抛物线的一部分
【答案】D
【解析】设三棱柱的高为在平面上的射影为，
则当共线时，直线和所成角取得最小值，
不妨设最小值为，则，
当时，直线和平面所成角取得最大值，
不妨设最大值为，则，
∴当直线和所成角的最小值与直线和平面所成角的最大值相等时，，即到的距离等于到直线的距离，设到的距离为，
则，∴到的距离等于到的距离，
∴的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线的一部分，故选：D．
三、解答题
17.（1）证明略 （2）
18.（1） （2）
19.（1） （2）证明略 （3）
20.已知椭圆，、分别是椭圆短轴的上下两个端点，是椭圆左焦点，是椭圆上异于点、的点，是边长为4的等边三角形．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当直线的斜率为时，求以为直径的圆的标准方程；
（3）设点满足：，．求证：与面积之比为定值
【答案】（1） （2） （3）见解析
【解析】（1）由椭圆的左焦点，
分别是椭圆短轴的上下两个端点，又是边长为4的等边三角形，
可得，即有，即，
故椭圆的标准方程为．
（2）因，直线的斜率为-1，则直线的方程为，
联立，解得和，即，
故以为直径的圆的圆心为，半径为，
所以所求圆的方程为：.
（3）证明：设直线的斜率分别为，则直线的方程为．
由，直线的方程为0.
将代入，得，
因为是椭圆上异于点的点，
所以．则，
所以．
由，所以直线的方程为
由，解得．
所以，即与面积之比为定值．
21.已知，．
（1）求函数在处的切线方程；
（2）讨论函数的极值点个数；
（3）若对于任意总有，求实数的取值范围．
【答案】（1） （2）见解析 （3）
【解析】（2），
①当，即时，对恒成立，
在单调增，没有极值点；
（2）当，即时，方程有两个不等正数解，
不妨设，则当时，增；
时，减；，时，增，
所以分别为极大值点和极小值点，有两个极值点．
综上所述，当时，没有极值点；当时，有两个极值点．
②，由
即对于恒成立，设
,
∵时，减，时，增，
∴，∴．