必修五1.3解三角形检测题 同步训练 （含答案）

1.3解三角形检测题 同步训练 （含答案）
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)【来源：21cnj*y.co*m】
1．在中，BC=，B=45°，则AB= ( ) 。
2．在△ABC中，A＝，BC＝3，AB＝，则C＝(　　)
A.或 B. C. D.
3．△ABC中，，则△ABC一定是(　　)
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
4．在△ABC中，B＝60°，b＝，c＝4，那么满足条件的△ABC(　　)
A．有一个解 B．有两个解 C．无解 D．不能确定
5．已知△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若cosA>，则△ABC的形状是(　　)21·cn·jy·com
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．钝角三角形
6．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，a＝8，b＝8，S△ABC＝16，则C等于(　　)
A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°
7．若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足(b＋c)－a＝4，且A＝60°，则bc的值为(　　)21cnjy.com
A. B．8－4 C．1 D.
8．△ABC中，AC＝，B＝60°，AB＝4，则边AB上的高是(　　)
A. B.或 C. D．3
9．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，船沿南偏东60°的方向航行30 海里后看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是(　　)海里
A．20 B．10 C．20 D．10
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bcsinB＝sinC(b2＋c2－a2)，则△ABC一定是(　　)21·世纪*教育网
A．等边三角形 B．等腰三角形或直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2＋b2－ab＝c2，且＝，则角B的值为(　　)www-2-1-cnjy-com
A．45° B．60° C．90° D．120°
12．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且B>C>A,3c＝20bcosB，则sinA:sinB:sinC?为(　　)
A．4:3:2 B．5:6:7 C．5:4:3 D．4 :6:5?
第Ⅱ卷(非选择题，共60分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)
13．若锐角的面积为 ，且BC=5，AB=8， ，则AC 等于________．
14．在△ABC中，若9cos2B－4cos2C＝5，则＝________.
15．某观测员在点C测得塔顶A在南偏西80°，仰角为45°，他沿南偏东40°方向前进100米到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为_______米．
16．在△ABC中，B满足sinB＋cosB＝1，BC＝2，AC＝2，则△ABC的面积为________．2-1-c-n-j-y
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.
已知3cos(A－B)－1＝6cosAcosB.
(1)求cosC；
(2)若c＝3，△ABC的面积为2，求a，b.
18．(12分)为了保障高考的公平性，高考每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1000米内收不到手机信号，检查员抽查某一考点，在考点正西千米有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12千米的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟，检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？【版权所有：21教育】
19．(12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，并且sin＝.
(1)试判断△ABC的形状并加以证明；
(2)当c＝1时，求△ABC周长的最大值．
20．(12分)设函数f(x)＝sin2x－sin.
(1)求函数f(x)的最小正周期和最小值；
(2)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝3，f＝－， 若向量m＝(1，sinB)与n＝(2，sinB)共线，求b，c的值．21教育网
21.(12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2b－c)cosA＝acosC，△ABC的面积S＝10，a＝7.　　21*cnjy*com
(1)求角A；
(2)求b，c的值．
22(12分).已知某海岛A四周8海里内有暗礁，有一艘货轮由西向东航行，此时岛A在货轮北偏东75°，当货轮航行20海里后，见此岛在北偏东30°.若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险？www.21-cn-jy.com

参考答案：
1解析：由正弦定理可知：=答案：2
2.解析：由正弦定理得＝，则sinC＝＝＝.又BC>AB，∴A>C，∴C＝.答案：C
3.解析：由条件知，bcosC＝ccosB，即sinBcosC－cosBsinC＝sin(B－C)＝0.所以B＝C，故△ABC为等腰三角形．故选D.答案：D21世纪教育网版权所有
4.解析：csinB＝4×sin60°＝4×＝2.又b＝，且<2，则△ABC无解．故选C.答案：C【出处：21教育名师】
5.解析：因为cosA>，所以>，所以b2＋c2－a2>2c2，所以a2＋c2－b2<0，所以cosB<0，所以角B为钝角．故选D.答案：D
6.解析：由S△ABC＝absinC，得×8×8sinC＝16.所以sinC＝.所以C＝30°或150°.故选C.答案：C2·1·c·n·j·y
7.解析：由已知得b2＋c2－a2＋2bc＝4，由于A＝60°，所以cosA＝＝，即b2＋c2－a2＝bc，因此bc＋2bc＝4，bc＝，故选A.答案：A
8.解析：因为B＝60°，b＝，c＝4，由余弦定理得13＝16＋a2－4a，即a2－4a＋3＝0，解得a＝1或3.设边AB上的高为h，则h＝asin60°，所以h＝或.故选B.答案：B21教育名师原创作品
9.解析：
如图，A为灯塔，∠COD＝60°，在△AOC中，OC＝30，∠AOC＝30°，∠OCA＝30°所以∠OAC＝120°，设AC＝x，则＝，所以x＝＝10.答案：B21*cnjy*com
10.解析：利用正弦定理将角的关系转化为边的关系，得b2c＝c(b2＋c2－a2)，即c2＝a2，a＝c，故△ABC是等腰三角形．答案：D
11.解析：由a2＋b2－ab＝c2，得a2＋b2－c2＝ab，∴cosC＝＝，∴C＝60°，又＝，∴＝，∴sinA＝sinC＝×＝，∴A＝30°，∴B＝180°－C－A＝90°.答案：C
12.解析：∵B>C>A，∴b>c>a，设b＝c＋1，a＝c－1，由3c＝20bcosB得3c＝20(c＋1)·化简得7c2－27c－40＝0，解得c＝5或c＝－(舍去)，∴b＝6，a＝4，∴sinA:sinB:sinC＝4:6:5.答案：D
13.解析：由已知得的面积为，所以sinB=，B(0,)，所以B=．由余弦定理得AC2=BC2+AB2-2BC.ABcosB=49,AC=7，．
14.解析：∵9cos2B－4cos2C＝5，∴9(1－2sin2B)－4(1－2sin2C)＝5，∴9sin2B＝4sin2C，∴＝，∴＝＝，即＝.答案：
15.解析：
示意图如图，设塔高x米，则BC＝x米，BD＝x米(x>0)．∵CD＝100米，∠BCD＝80°＋40°＝120°，BD2＝BC2＋CD2－2×BC×CDcos∠BCD，∴3x2＝x2＋1002－2×100×x×.∴2x2－100x－10 000＝0.∴x2－50x－5 000＝0.∴x＝100.答案：100
16.解析：由得∴B＝120°.由正弦定理，得＝，∴sinA＝.∴A＝30°，∴C＝30°，∴S△ABC＝BC·ACsinC＝×2×2×sin30°＝.答案：
17.解：(1)∵3(cosAcosB＋sinAsinB)－1＝6cosAcosB，∴3cosAcosB－3sinAsinB＝－1，∴3cos(A＋B)＝－1，∴cos(π－C)＝－，∴cosC＝.(2)由(1)得sinC＝，由面积公式absinA＝2可得ab＝6　①，
根据余弦定理得cosC＝＝＝，则a2＋b2＝13　②，①②两式联立可得a＝2，b＝3，或a＝3，b＝2.
18.解：
如图，考点为A，检查开始处为B，设公路上C、D两点到考点的距离为1000米．在△ABC中，AB＝，AC＝1，∠ABC＝30°，由正弦定理得sin∠ACB＝·AB＝，∴∠ACB＝120°(∠ACB＝60°不合题意)，∴∠BAC＝30°，∴BC＝AC＝1.在△ACD中，AC＝AD，∠ACD＝60°，
∴△ACD为等边三角形，∴CD＝1.∵×60＝5，∴在BC上需5分钟，CD上需5分钟．答：最长需要5分钟检查员开始收不到信号，并持续至少5分钟才算合格．
19.解：(1)△ABC为直角三角形．证明如下：证法一：由已知，可得＝－，即cosA＝.由余弦定理，得cosA＝＝.化简，得c2＝a2＋b2，由此知△ABC为直角三角形．
证法二：由证法一知b＝ccosA.由正弦定理，得sinB＝sinCcosA.由sinB＝sin(A＋C)，从而有sinAcosC＋cosAsinC＝sinCcosA，即sinAcosC＝0.因为sinA≠0，所以cosC＝0，即C＝，故△ABC为直角三角形．
(2)由(1)知c为Rt△ABC的斜边．当c＝1时，两直角边长分别为sinA，cosA，则△ABC的周长l＝1＋sinA＋cosA＝1＋sin.而020.解：(1)f(x)＝sinx－sin＝－＝－sin2x＋cos2x＝－sin2x.∴f(x)的最小正周期T＝＝π.当2x＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋kπ，k∈Z时，f(x)取得最小值.
(2)由f＝－，即－sinA＝－，得sinA＝.∵m与n共线，∴sinC－2sinB＝0.由，得c＝2b.①当A为锐角时，A＝.∵a＝3，∴9＝b2＋c2－2bccos.②
由①②，得b＝，c＝2.当A为钝角时，A＝π，b＝，c＝.
21.　(1)∵(2b－c)cosA＝acosC，∴(2sinB－sinC)cosA＝sinAcosC，2sinBcosA－sinCcosA＝cosCsinA，即2sinBcosA＝sin(A＋C)．∴2sinBcosA＝sinB.∵B∈(0，π)，∴sinB≠0.∴cosA＝.∴A＝.
(2)由S＝bcsinA＝10，A＝，得bc＝40.①由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，即a2＝(b＋c)2－2bc，∴72＝(b＋c)2－2×40×.∴b＋c＝13.②由①②得b＝8，c＝5或b＝5，c＝8.
22.[解]　如图，在△ABC中，由题意知BC＝20(海里)，
∠ABC＝90°－75°＝15°，
∠BAC＝60°－∠ABC＝45°.
根据正弦定理，得＝，所以AC＝＝10(－)(海里)．
故A到航线的距离为AD=ACsin60°=10（）=（15）海里。15-5>8，货轮无触礁危险。【来源：21·世纪·教育·网】