第二章
一元二次方程
第5节
一元二次方程的根与系数的关系
【学习目标】
1、掌握一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)及其简单的应用；
2、会在实数范围内把二次三项式分解因式；
3、会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理分析解决一些简单的综合性问题。
【学习重点】一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)及其简单的应用。
【学习过程】
模块一
预习反馈
一、知识回顾
1、一元二次方程的求根公式：
对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0
(a≠0)，当b2－4ac≥0时，它的根是：x＝
二、自主学习
阅读教材后，解答下列问题：
（2012，资阳）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，求k的
取值范围。
解:∵方程有两个不相等的实数根,∴△＝b2-4ac
＞0。
即：
＞0，解得：k
。
又∵k是一元二次方程二次项的系数，∴k
0。
故k的取值范围是k
。
2、一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1，x2
(b2－4ac≥0)，用求根公式可得x=
，那么
，
。
3、韦达定理涉及到的常见变形式：
（1）2
－2
=－2
。
（2）－4
。
（3）〔
〕。
（4）
。
实践练习:
1、二次三项式的因式分解(公式法)
( http: / / www.21cnjy.com )
在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，如果可用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根是x1,x2，那么ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)．
2、方程的特殊根与的系数的关系：
（1）当x=0时，c=
；（2）当x=1时，a+b+c=
；(3)
当x=-1时，a-b+c=
。【我的疑惑】
模块二
合作探究
1、（2015，南昌）已知一元二次方程的两根为m,n
,则=
.
2、设x1,x2是方程2x2+4x－3=0的两根，不解方程，利用根与系数关系求下列各式的值：
(1)
(x1+1)(x2+1)
(2)+
（3）x12+
x1x2+2
x1
（4）
x1-x2
模块三、小结反思
讲一下你本节课学习了哪些新知识？用到了什么方法或数学思想？
1.知识：
2.方法：
模块四、形成提升
已知方程x2－3x+1=0的两个根为α,β，则α+β=
,
αβ=
。
（2014 来宾）已知一元二次方程的两根分别是2和﹣3，则这个一元二次方程是（ ）
A．
x2﹣6x+8=0
B．
x2+2x﹣3=0
C．
x2﹣x﹣6=0
D．
x2+x﹣6=0
3、(2014 钦州)若x1，x2是一元二次方程x2+10x+16=0的两个根，则x1+x2的值是（ ）
A．﹣10
B．
10
C．﹣16
D．
16
3、（2013
日照）已知，关于x的方程的两个实数根、满足，求实数的值.
【拓展延伸】
1、（2014 湖北黄冈）若α、β是一元二次方程x2+2x﹣6=0的两根，则α2+β2=（ ）
A．
﹣8
B．
32
C．
16
D．
40
2、（2014 呼和浩特）已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n= 。
3、（2014 德州）方程x2+2kx+k2﹣2k+1=0的两根x1，x2满足x12+x22=4，则k的值为
。
4、（2012，莱芜）已知m、n是方程的两根，求代数式的值。
组长评价：
你认为该成员这一节课的表现
：（A）很棒
(
B)一般
(C)
没发挥出来
(D)还需努力.
家长签名：第二章
一元二次方程
第3节
用公式法求解一元二次方程（一）
【学习目标】
1、会用求根公式解一元二次方程。
2、求根公式的运用条件。
【学习重点】一元二次方程的求根公式。
【学习过程】
模块一
预习反馈
一、知识回顾
1、用配方法解二次项系数不为1的一元二
( http: / / www.21cnjy.com )次方程的五个步骤：一
；二
；三
；四
；五
。
2、配方时，要注意三个问题：
（1）
：二次项系数化为1时，方程每一项都要除到；
（2）
：配方时始终要保证等式成立；
（3）
：不要弄错完全平方式中的符号。
二、自主学习
阅读教材后，解答下列问题：
1、用配方法解含字母系数的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)。
解：方程两边都除以a，得x2＋
x＋
＝0
移项，得：x2＋+
x＝
配方，得：
x2＋
x＋
＝
＋
即：（x＋
）2＝
①
思考：（1）上面①式能直接开平方求解吗？为什么？
答：
。
∵a≠0，所以4a2
0，所以当b2－4ac
0时，①式可开平方求解；当b2－4ac
0时，①式不能开平方求解。
(2）若①式能够直接开平方求解的条件下，你能求出方程的根吗？
答：当b2－4ac
0时，①式可开平方得：x＋＝±
EQ
\R(,)
＝±
∴x＝
总结：一般地，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，它的根是
x＝；当b2－4ac<0时，这个一元二次方程无实数根。
实践练习:
1、用公式法解一元二次方程的一般步骤：
解方程：
解：整理，得：+
=0
①化为一元二次方程的一般式；
∵a=
，
b=
，c=
。
②确定a，b，c的值；
∴
=
0
③计算的值
∴
④若，代入求根公式
∴，
⑤得出方程的解
总结：用公式法解一元二次方程的四个步骤：（1）化：若方程不是一般式，先把方程化为一元二次方程的一般式：；（2）定：确定a，b，c的值；（3）算：计算的值；（4）求：若，则利用求根公式求出方程的根；若，则原方程没有实数根。
2、用公式法解方程：
总结：由以上几道题的计算，我们得出一元二次方程的根与的关系是：
（1）当时，方程有
的实数根。
（2）当时，方程有
的实数根。
（3）当时，方程
实数根。
【我的疑惑】
模块二
合作探究
1、（2015.眉山）下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的方程是（
）
A．（x-1)2=0
B.x2
+2x
-19
=0
C．x2
+4
=0
D．x2
+x+l='0
2、（2015.上海）如果关于x的一元二次方程x2＋4x－m＝0没有实数根，那么m的取值范围是________。
3、用公式法解下列方程：
(1)
3x2+2x+1=0
（2）9x2+6x+1=0
（3）x2-7x=18
模块三、小结反思
讲一下你本节课学习了哪些新知识？用到了什么方法或数学思想？
1.知识：
2.方法：
模块四、形成提升
1、一元二次方程的根的情况是
。
2、用公式法解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）。
3、（2010.成都）若关于x的一元二次方程有两个实数根，求k的取值范围及k的非负整数解。
【拓展延伸】
1、（2014.贺州）已知关于x的方程x2+（1﹣m）x+=0有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是
．
2、（2015.北京）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a=______，b=______．
3、（2015.河南）已知关于x的一元二次方程(x-3)(x-2)=|m|.
（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根.
组长评价：
你认为该成员这一节课的表现
：（A）很棒
(
B)一般
(C)
没发挥出来
(D)还需努力.第二章
一元二次方程
第3节
用公式法求解一元二次方程(二)
【学习目标】
1、能利用一元二次方程解决实际问题，并能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性；
2、经历用方程解决实际问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型，培养学生数学应用的意识和能力；
3、进一步掌握用配方法解题的技能；能熟练寻求实际问题中的等量关系。
【学习重点】列一元二次方程，解方程，并能检验结果的合理性。
【学习过程】
模块一
预习反馈
一、知识回顾
1、对于任意一个一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，若b2－4ac
0时，它的根是x＝；当b2－4ac
0时，则这个一元二次方程
实数根。
2、用公式法解一元二次方程的四个步骤：
一
；二
；三
；四
。
3、“矩形区域内修路”问题的常用处理方法：平移集中法。
二、自主学习
阅读教材后，解答下列问题：
1、在一块长为16m，宽为12m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半。花园的位置如图所示（图中阴影部分为花园），中间两条小路的宽度相等，求小路的宽度？
解：如果设小路的宽度为x米，由题意得：
整理，得：
，
解这个方程，得：
；
，（
）。
所以，小路的宽度是
米。
总结：1、列一元二次方程解应用题的一般步骤：（1）审清题意；（2）设出未知数；（3）找题中的等量关系；（4）列方程；（5）解方程；（6）检验答案是否正确，是否符合题意；（7）作答。
实践练习:
1、某商场销售一批名片衬衫，平均每天可售出
( http: / / www.21cnjy.com )20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天要盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？
关于利润问题的等量关系：
利润=售价－成本；
总利润=每件利润×销售产品件数
分析：现在每件的利润=原来的利润-降价，即（45－x）元；现在每天的销量=原来的销量+多售出的量，即（20+4x）。
解：设每件衬衫降价x元，由题意得：
整理，得：
，
解得：
，
，
因为要尽快减少库存，所以应降价
元。
答：每件衬衫应降价
元。
【我的疑惑】
模块二
合作探究
（2012.襄阳）为响应市委市政府提出的建设“绿色襄阳”的号召，我市某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形空地，建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草。如图所示，要使种植花草的面积为532
，那么小道进出口的宽度应为多少米？（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）
模块三、小结反思
讲一下你本节课学习了哪些新知识？用到了什么方法或数学思想？
1.知识：
2.方法：
模块四、形成提升
1、(2012.兰州)兰州市某广场准备修建一个面积为200平方米的矩形草坪，它的长比宽多10米，请分别求出草坪的长与宽？
2、有一面积为150m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18
m），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为35
m，求鸡场的长与宽各为多少？
拓展延伸】
（2014 新疆）如图，要利
( http: / / www.21cnjy.com )用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？
( http: / / www.21cnjy.com )
组长评价：
你认为该成员这一节课的表现
：（A）很棒
(
B)一般
(C)
没发挥出来
(D)还需努力.
家长签名：第二章
一元二次方程
第6节
应用一元二次方程(一)
【学习目标】
1、经历分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决问题的过程，认识方程模型的重要性。
2、能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力；
【学习重点】列一元二次方程解应用题，总结运用方程解决实际问题的一般步骤。
【学习过程】
模块一
预习反馈
一、知识回顾
1、列一元二次方程解应用题的一般步骤：（1）
；（2）
；（3）
；（4）
；（5）
；（6）
；（7）
。（均简写为一个字）
二、自主学习
阅读教材后，解答下列问题：
1、三角形的每条边的长都是方程的根，则三角形的周长为
。
实践练习:
1、小明在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，求金色纸边的宽度。
【我的疑惑】
模块二
合作探究
1、一块面积是600m2的长方形土地，它的长比宽多10m，求长方形土地的长与宽。
(2011，潍坊)已知线段AB的长为a，以AB为边在AB的下方作正方形ACDB．取AB边上一点E，以AE为边在AB的上方作正方形AENM．过E作EF丄CD，垂足为F点．若正方形AENM与四边形EFDB的面积相等，请求出AE的长。
( http: / / www.21cnjy.com )
模块三、小结反思
讲一下你本节课学习了哪些新知识？用到了什么方法或数学思想？
1.知识：
2.方法：
模块四、形成提升
如图，现有长方形纸片一张，长19cm，宽15cm，需要剪去边长是多少的小正方形才能做成底面积为77cm2的无盖长方体纸盒？
2、一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共握了66次手。这次会议到会的人数是多少？
【拓展延伸】
（2013 淮安）小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装？
组长评价：
你认为该成员这一节课的表现
：（A）很棒(
B)一般
(C)
没发挥出来
(D)还需努力.
家长签名：第二章
一元二次方程
第6节
应用一元二次方程(二)
【学习目标】
1、分析具体问题中的数量关系，列出一元二次方程；
2、通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力
【学习重点】列一元一次方程解应用题，总结运用方程解决实际问题的一般步骤。
【学习过程】
模块一
预习反馈
一、知识回顾
1、利润问题中常用的等量关系：（见第2节第3课时）
（1）单件利润=
－单件成本；
（2）总利润=
×销售件数=
－总成本；
（3）利润=进价×利润率。
2、增长率问题：（见第1节第2课时）
（1）增长1次后的量=
；
（2）等增长率问题：增长n次后的量=
；
（3）不等增长率问题：增长n次后的量=
。
二、自主学习
阅读教材后，解答下列问题：
1、一元二次方程在利润问题中的应用
（2012，山西）山西特
( http: / / www.21cnjy.com )产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克。后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20千克。若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利2240元，请回答：
（1）每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
解题探究：（1）①本题中的等量关系是：每千克核桃的
×核桃每天的
=2240；
②设每千克核桃降价x元，如何用含x的代数式分别表示出每千克核桃的利润和降价后每天的销售量？
答：每千克核桃的利润为（
）元；
降价后每天的销售量为（
）千克。
③由平均每天可获利2240元，可得到方程：
。
④所得方程的解是
，即每千克核桃应降价
。
（2）①若要尽可能让利于顾客，那么每千克应降价
元。
②些时核桃的售价是
。
③此时售价是原价的几折？
实践练习:
1、一元二次方程在经济问题中的应用——增长率问题
（2012，广元）某中心城市有一楼盘
( http: / / www.21cnjy.com )，开发商准备以每平方米7000元的价格出售，由于国家出台了相关调控房地产的政策，开发商经过两次下调售价后，决定以每平方米5670元的价格销售。
（1）求平均每次下调的百分率。
（2）房产销售经理向开发商建议：公布下调5﹪，再次下调15﹪，这样更有吸引力。请问房产销售经理的方案对购房者是否优惠？为什么？
【我的疑惑】
模块二
合作探究
1、新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，市场调研表明，当销售价为2900元时，平均每天能售出8台，而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价为多少元？分析：
每天的销售量（台）
每台的利润（元）
总利润（元）
降价前
降价后
主要等量关系：
如果设每台冰箱降价为x 元，那么每台冰箱的售价就是
元，每台冰箱的销售利润为
元。这样就可以列出一个方程，进而解决问题了。
解：设每台冰箱降价x元，根据题意，得：
2、某厂改进工艺降低了某种产品的成本，两个月内从每件产品250元，降低到了每件160元，求平均每月降低率。
模块三、小结反思
讲一下你本节课学习了哪些新知识？用到了什么方法或数学思想？
1.知识：
2.方法：
模块四、形成提升
1、某商场一月份销售额为70万元，二月
( http: / / www.21cnjy.com )份下降10%，后改进管理，月销售额大幅度上升，四月份的销售额达112万元，求三月、四月平均每月增长的百分率。
2、如图：在△ABC中，∠B=90°，点
( http: / / www.21cnjy.com )P从点A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8平方厘米？
( http: / / www.21cnjy.com )
【拓展延伸】
1、（2015 兰州）股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停。已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为，则满足的方程是（
）
A.
B.
C.
D.
2、（
2014 玉林市）我市市区去年年底电动车拥有量是10万辆，为了缓解城区交通拥堵状况，今年年初，市交通部门要求我市到明年年底控制电动车拥有量不超过11.9万辆，估计每年报废的电动车数量是上一年年底电动车拥有量的10%，假定每年新增电动车数量相同，问：
（1）从今年年初起每年新增电动车数量最多是多少万辆？
（2）在（1）的结论下，今年年底到明年年底电动车拥有量的年增长率是多少？（结果精确到0.1%）
组长评价：
你认为该成员这一节课的表现
：（A）很棒
(
B)一般
(C)
没发挥出来
(D)还需努力.
家长签名：第二章
一元二次方程
第2节
用配方法求解一元二次方程(一)
【学习目标】
1、会用开平方法解形如(x＋m)2＝n
(n≥0)的方程；
2、理解配方法，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程；
3、体会转化的数学思想，用配方法解一元二次方程的过程。
【学习重点】利用配方法解一元二次方程。
【学习过程】
模块一
预习反馈
一、知识回顾
1、完全平方式：形如
的式子。
2、形如(x＋m)2＝n
(n≥0)的一元二次方程，可用“直接开平方法”解。（如：x2＝9，直接开方得。）
实践练习：
二、自主学习
阅读教材后，解答下列问题：
1、用“直接开平方法”解下列方程：
（1）
（2）(x＋2)2＝16
2、配方：（在下列式子中，填上适当的数，使等式成立。）
；
；
。
思考：（1）、以上各式的左边有什么共同的特点？
（2）、以上各式的左右两边填写的数与一次项系数有什么关系？
总结：二次项系数为1的完全平方式，其常数项与一次项系数的关系：常数项是一次项系数
。
实践练习:
1、（2012，安徽）解方程：。
解：∵
∴
∴，
总结：1、通过配成
得到了一元二次方程的根的方法，这种解一元二次方程的
方法称为配方法。
2、用配方法解方程的三个步骤：（1）化：把原方程化为的形式；（2）配：在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，配成的形式；（3）求：若，两边开平方，求出方程的根，若，则此方程无解。
【我的疑惑】
模块二
合作探究
1、用配方法解一元二次方程时，方程变形正确的是（
）
A、
B、
C、
D、
2、解方程：
（1）4
x2―1=0
（2）x2＋12x＋36＝51
模块三、小结反思
讲一下你本节课学习了哪些新知识？用到了什么方法或数学思想？
1.知识：
2.方法：
模块四、形成提升
1、解下列方程：
（1）；
（2）
（3）
2、用配方法解下列方程：
（1）x2＋12x－15＝0
（2）x2－2x―11＝0
【拓展延伸】
1、解下列方程：
（1）
（2）x2﹣3x+1=0
组长评价：
你认为该成员这一节课的表现
：（A）很棒
(
B)一般
(C)
没发挥出来
(D)还需努力.
化为的形式
方程两边都加上一次项系数一半的平方
化为的形式
若n>0，直接开平方
得出方程的解第二章
一元二次方程
第1节
认识一元二次方程（二）
【学习目标】
1、探索一元二次方程的解或近似解．
2、培养同学们的估算意识和能力．
3、经历方程解的探索过程，增进对方解的认识，发展估算意识和能力．
【学习重点】探索一元二次方程的解或近似解。
【学习过程】
模块一
预习反馈
一、知识回顾
1、一元二次方程三个条件是：①它是
方程；②它只含有
个未知数；③未知数的最高次数是
。
2、一元二次方程的一般形式是
（
）；其中二次项系数是
，一次项系数是
，常数项是
。
3、在确定一元二次方程的二次项系数，一次项系数及常数项时，一定要先将方程化为
。
二、自主学习
阅读教材后，解答下列问题：
1、有一个斜靠在墙上的梯子，其底端滑动距离x（m）满足方程。
思考：（1）x的值能为负数吗？为什么？
（2）完成下面表格，你能确定x的大致范围吗？
X
…
1
2
3
…
…
…
(3)继续完成下面表格，你能确定x的十分位是多少吗？
X
…
1.1
1.2
1.3
…
…
…
总结：求一元二次方程近似解的一般步骤：（1）根据实际问题确定解的大致范围，并据此合理列表，算出对应的
的值；（2）根据表格确定解的范围，当相邻两个数，一个使
0，一个使
0，那么=0的解就在这两个数之间。（3）在上面的取值范围内进一步列表、计算、估计范围，直到符合题目的精确度为止。
实践练习:
1、思维诊断（打“√”或打“×”）
（1）一元二次方程的解就是能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值。（
）
（2）一元二次方程只有一个解。（
）
（3）一元二次方程的解一定是无理数。（
）
（4）方程的解是x=1。（
）
【我的疑惑】
模块二
合作探究
1、在前一节课的问题中，我们若设地毯花边的宽为x(m)，得到方程：，即：；
（1）x可能小于0吗 说说你的理由．
（2）x可能大于4吗 可能大于2．5吗 说说你的理由，并与同伴进行交流．
（3）完成下表：
x
0
0.5
1
1.5
2
2.5
2x2-13x+11
（4）你知道花边的宽x(m)是多少吗
还有其他求解方法吗 与同伴进行交流．
2、五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，您能求出这五个整数分别是多少吗？
解：设五个连续整数中的第一个数为x，则根据题意，可得方程
x2+(x+1)2+(x+2)2
＝(x+3)2+(x+4)2．
把它化为一般形式：x2-8x-20＝0．
可列表如下：
x
-1
-2
-3
…
9
10
11
x2-8x-20
所以x＝_____或x＝____．
因此，这五个连续整数依次为
或_______
模块三、小结反思
讲一下你本节课学习了哪些新知识？用到了什么方法或数学思想？
1.知识：
2.方法：
模块四、形成提升
1、某商品成本价为300元，两次降价后现价为160元，若每次降价的百分率相同，设为x，则方程为_____________。
2．确定方程的解的范围。（精确到0.1）
【拓展延伸】
1、（2014年山东泰安）某种花卉每盆的盈利
( http: / / www.21cnjy.com )与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（ ）
A．（3+x）（4﹣0.5x）=15
B．（x+3）（4+0.5x）=15
C．（x+4）（3﹣0.5x）=15
D．（x+1）（4﹣0.5x）=15
一名跳水运动员进行10m跳
( http: / / www.21cnjy.com )台跳水训练，在正常情况下，运动员必须在距水面5m以前完成规定的动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误。假设运动员起跳后的运动时间t(s)和运动员距水面的高度h(m)满足关系：h=10+2.5t-5t2,那么他最多有多长时间完成规定的动作？
组长评价：
你认为该成员这一节课的表现
：（A）很棒
(
B)一般
(C)
没发挥出来
(D)还需努力.
家长签名：第二章
一元二次方程
第2节
用配方法求解一元二次方程(二)
【学习目标】
1、利用配方法解简单的数字系数的一元二次方程。
2、了解用配方法解一元二次方程的基本
3、进一步体会转化的数学思想，提高计算能力和有条理的表达能力。
【学习重点】用配方法解一元二次方程的思路；给方程配方。
【学习过程】
模块一
预习反馈
一、知识回顾
1、通过配成
得到了一元二次方程的根的方法，这种解一元二次方程的方法称为配方法。
2、当二次项系数为1时，用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为
；
（2）方程两边同时加上
。
（3）用
法求出方程的根。
二、自主学习
阅读教材后，解答下列问题：
1、解方程：3x2+8x―3=0
分析：前一节我们已学会了用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，现在遇到了二次项系数不为1的方程，想一想我们该怎么办呢？
想到了吧！只要我们将二次项系数化为
后，就可以用配方法解此方程。
解：两边都除以
，得：
x2+x―1=0
移项，得：x2+x
=
1
配方，得：x2+x+()2=
1+()2（方程两边都加上
项系数的一半的平方）
(x+)2=
即：x+=±
所以x1=，x2=―3
总结：1、用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤：
（1）化：化
项系数为1；
（2）移项：使方程左边为
，右边为
；
（3）配方：方程左右两边同时加上
，配成的形式；
（4）开方：若方程右边为负数，则方程没有实数根；若方程右边为
，就可左右两边开平方得x+m
=
;
(5)求解：方程的解x=
。
（为方便记忆，我们一般只记头一个字：一化
二移
三配四开方
五求解。）
配方时，要注意三个问题：
（1）不漏除：二次项系数化为1时，方程每一项都要除到；
（2）式恒等：配方时始终要保证等式成立；
（3）不错号：不要弄错完全平方式中的符号。
实践练习:
解方程：。
【我的疑惑】
模块二
合作探究
用配方法解下列方程：
（1）2x2+4x+1=0
（2）3x2―9x+2=0
（3）
模块三、小结反思
讲一下你本节课学习了哪些新知识？用到了什么方法或数学思想？
1.知识：
2.方法：
模块四、形成提升
1、用配方法解下列方程：
（1）
（2）
（3）4x2―8x+1=0
2、（2014 泰州）解方程：2x2﹣4x﹣1=0．
【拓展延伸】
用配方法解下列方程：（1）2x2﹣3x+1=0
（2）3x2+5(2x+1)=12
（3）
组长评价：
你认为该成员这一节课的表现
：（A）很棒
(
B)一般
(C)
没发挥出来
(D)还需努力.
家长签名：第二章
一元二次方程
回顾与思考
【学习目标】
1、了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程，并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想；
2、通过经历将多种实际问题抽象成数学问题的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型；
3、通过小组合作学习，经历一题多解等过程，发展多角度思考问题的方法.
【学习重点】一元二次方程的解法和应用.
【学习过程】
模块一
预习反馈
一、知识回顾
本章的知识体系包括三大部分：
（一）一元二次方程的有关概念：
(1)只含有
个未知数，未知数的最高次数是
的整式方程叫做一元二次方程。
(2)一元二次方程的一般形式：
(a，b，c为常数，且a
)，其中二次项系数为
，一次项系数为
，常数项为
。
（二）一元二次方程的解法：
（1）
法，适合(x十m)2＝n(n≥0)的形式，注意：当n
＞0时方程有不相等的两个实数根；
（2）配方法：步骤：一__
( http: / / www.21cnjy.com )_____，即把方程化为一般式，且把二次项系数化为1；二_______，即常数项移到方程的的右边；三_______，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方，化方程为(x十m)2＝n的形式；四_______，即当n＜0，则方程没有实数根；当
n≥0时，把方程左右两边开平方得x+m
=
；五_______，即求出方程的解。
注意：①配方法的目的是将方程左边化成含未知数的完全平方，右边是一个常数项的形式，②配方法常证明一个式子恒大于0或恒小于0，或求二次函数最值。
（3）公式法：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当△≥0（△=
）时，它的根是x＝
；
（4）分解因式法：通过分解因式，把方
( http: / / www.21cnjy.com )程变形为a(x－x1)
(x－x2)＝0，则必有x＝x1或x＝x2
（注意：用十字相乘法解一元二次方程很方便，应掌握）
（5）一元二次方程的解法选择：若没有特别
( http: / / www.21cnjy.com )的说明，解法选择的基本顺序是：直接开方法→分解因式法→公式法。配方法应尽量少使用，除非题目有明确要求才用。
（6）用“夹逼”法求一元二次方程根的近似值。
（三）根与系数的关系
1、要判断一元二次方程ax2+bx
( http: / / www.21cnjy.com )+c=0(a≠0)根的情况，则需用到根的
。
当△＞0时，方程有
的实数根；
当△=0时，方程有
的实数根；当△＜0时，方程
实数根。特别注意a≠0的情况！
2、如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1，x2，那么
，
。
模块二
合作探究
1、当m
时，关于x的方程(m－1)+5+mx=0是一元二次方程.
2、方程(m2－1)x2+(m－1)x+1=0，当m
时，是一元二次方程；当m
时，是一元一次方程。
3、将一元二次方程x2-2x-2=0化成(x+a)2=b的形式是
；此方程的根是
。
4、解下列一元二次方程（第1小题用配方法，第2小题用分解因式法，第3小题选择适当方法解答）
(1)
4x2－16x+15=0；
(2)
9－x2=2x2－6x；
(3)
(x＋1)(2－x)=1
。
模块三、小结反思
讲一下你本节课学习了哪些新知识？用到了什么方法或数学思想？
1.知识：
2.方法：
模块四、形成提升
1、（2014年，汕尾）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0
（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
2、新竹文具店以16元/支的价格购进一批钢笔，根据市场调查，如果以20元/支的价格销售，每月可以售出200支；而这种钢笔的售价每上涨1元就少卖10支.现在商店店主希望销售该种钢笔月利润为1350元，则该种钢笔该如何涨价？此时店主该进货多少？
【拓展延伸】
1、（2014 扬州）已知a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，则代数式2a3+b2+3a2﹣11a﹣b+5的值为
．
2、（2014 丽水）如图，某小区
( http: / / www.21cnjy.com )规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为xm，由题意列得方程
．
( http: / / www.21cnjy.com )
3、（2014 宜昌）在“文
( http: / / www.21cnjy.com )化宜昌 全民阅读”活动中，某中学社团“精一读书社”对全校学生的人数及纸质图书阅读量（单位：本）进行了调查，2012年全校有1000名学生，2013年全校学生人数比2012年增加10%，2014年全校学生人数比2013年增加100人．
（1）求2014年全校学生人数；
（2）2013年全校学生人均阅读量比2012年多1本，阅读总量比2012年增加1700本（注：阅读总量=人均阅读量×人数）
①求2012年全校学生人均阅读量；
②2012年读书社人均阅读量是全校学生人均阅读量的2.5倍，如果2012年、2014年这两年读书社人均阅读量都比前一年增长一个相同的百分数a，2014年全校学生人均阅读量比2012年增加的百分数也是a，那么2014年读书社全部80名成员的阅读总量将达到全校学生阅读总量的25%，求a的值．
4、（2014 株洲）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
组长评价：
你认为该成员这一节课的表现
：（A）很棒
(
B)一般
(C)
没发挥出来
(D)还需努力.
家长签名：第二章
一元二次方程
第4节
用因式分解法求解一元二次方程
【学习目标】
1、会用分解因式解某些简单的数字系数的一元二次方程。
2、能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。体会解决问题方法的多样性。
【学习重点】掌握分解因式法解一元二次方程。
【学习过程】
模块一
预习反馈
一、知识回顾
1、若
ab=0
,则a=
或
b=
2、常用的因式分解方法有：①
，②
，③
，④分组分解法。
二、自主学习
阅读教材后，解答下列问题：
1、用分解因式的方法解一元二次方程：
思考：（1）方程两边可以同时除以x吗？为什么？
答：
。因为等式的两边要同时除以同一个不为0的数，所得结果才是等式，而本题中没有说明x≠0。
（2）把上面方程化为一般式：
。
（3）能把（2）中方程的左边分解因式吗？分解因式后的方程是什么？
答：
（4）如果两个因式的乘积为0，那么这两个因式有什么要求？
答：
（5）结合（3）（4）的探究，可知方程的解为=
，=
。
总结：1、将一元二次方程分解因式化为两个
的乘积等于
的形式，再使这两个一次因式分别等于
，从而求出方程的解，这种解一元二次方程的方法叫作分解因式法。2、分解因式的理论依据：如果a·b=0，那么a=
或
b=
。
实践练习:
1、用分解因式的方法解一元二次方程：（2012，巴中）解方程：
思路点拨：将方程右边化为0→把方程的左边分解因式→得到两个一次方程→得到原方程的解。
总结：1、分解因式法解一元二次方程的步骤：一转化：把方程右边化为0的形式；二分解：将方程的左边分解成两个一次因式乘积的形式；三降次：令每一个因式都为0，得到两个一元一次方程；四求解：解这两个一元一次方程，得到原方程的解。2、用因式分解法解方程，先考虑有无公因式，如果没有再考虑公式法，然后再考虑“十字相乘法”法，最后再试分组分解法。
【我的疑惑】
模块二
合作探究
1、用“分解因式法”解下列方程：
（1）5x2＝4
（2）x－2＝x(x－2)
2、你能用几种方法解下列方程
（1）x2－4＝0
（2）(x＋1)2－25＝0
模块三、小结反思
讲一下你本节课学习了哪些新知识？用到了什么方法或数学思想？
1.知识：
2.方法：
模块四、形成提升
1、用分解因式法解下列方程：
（1）x2－14x+48=－1；
（2）x3－4x2＝0；
2、用适当的方法解下列方程：
（1）；
（2）
【拓展延伸】
1、用适当的方法解下列方程：
（1）(2x－5)2－2x+5=0
；
（2）
（3）（2014 无锡）x2﹣5x﹣6=0；
2、（2013 玉林）已知关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根﹣2，m．求m，n的值．
组长评价：
你认为该成员这一节课的表现
：（A）很棒
(
B)一般
(C)
没发挥出来
(D)还需努力.
家长签名：第二章
一元二次方程
第1节
认识一元二次方程（一）
【学习目标】
1、经历由具体问题抽象出一元二次方程概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型。
2、理解一元二次方程的概念。
3、会识别一元二次方程，并能指出二次项系数、一次项系数、常数项。
【学习重点】理解一元二次方程的概念。
【学习过程】
模块一
预习反馈
一、知识回顾
1、方程：含有
的
式，叫作方程。
2、整式方程：等号两边都是关于未知数的
的方程，称为整式方程。
二、自主学习
阅读教材后，解答下列问题：
1、理解一元二次方程的概念
如图，一个长为5m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为4m。如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？
由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙
米，如果设梯子底端滑动x米，那么滑动后梯子底端距墙为
米。
由题意可得方程为：
总结：1、若一个方程是只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以转化为（a,b,c为常数，且a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。
2、我们把（a,b,c为常数，且a≠0）叫做一元二次方程的一般式。其中、、分别称为一元二次方程的二次项、一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数。
实践练习:
1、下列方程哪些是一元二次方程？
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥。
思路点拨：先把①②③化为一般形式→利用一元二次方程的概念→判断
注意：（1）把方程化简变形后可根据定义判断是否为一元二次方程；（2）分母或被开方数中含有未知数的方程，一定不是一元二次方程；（3）若二次项系数中含有字母时，若字母的取值不明确，不一定是一元二次方程。
2、把方程化成一元二次方程的一般式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
解：将方程整理为一般式得：
+
+（
）=0；
∴它的二次项系数是
、一次项系数是
、常数项是
。
注意：（1）任何一个一元二次方程经过整理（去分母、去括号、移项、合并同类项），都可以化成一般式；（2）二次项系数、一次项系数和常数项都是方程在一般式的前提下定义的，所以要求一元二次方程方程各项系数时，必须先将方程化为一般式；（3）确定二次项系数、一次项系数和常数项时，要注意不要遗漏前面的符号；（4）a≠0是为一元二次方程的前提，不可遗漏。
【我的疑惑】
模块二
合作探究
某地开展植树造林活动，两年内植树面积由30万亩增加到42万亩，若设植树面积年平均增长率为x，根据题意列方程
。
2、将下列方程化成一元二次方程的一般式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
（1）；
（2）。
模块三、小结反思
讲一下你本节课学习了哪些新知识？用到了什么方法或数学思想？
1.知识：
2.方法：
模块四、形成提升
1、若方程是一元二次方程，则k的取值范围是
。
2、从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺。另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了。你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程。
【拓展延伸】
1、（2014，昆明）某果园2011年水果产量为100吨，2013年为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率.设该果园水果产量的年平均增长率为，则根据题意可列方程为（
）
A.
B.
C.
D.
2、
时，关于的方程是一元二次方程．
3、用一块长宽分别为8cm，6cm的矩形薄铁片，在四个角处裁去四个边长为x
cm的小正方形，再折叠成一个无盖且底面积为15cm的长方体盒子，请根据题意，列出方程．
组长评价：
你认为该成员这一节课的表现
：（A）很棒
(
B)一般
(C)
没发挥出来
(D)还需努力.
