2025-2026湘教版九上期末模拟数学试卷1（含答案）

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2025-2026湘教版九上期末模拟数学试卷1
范围：九上-九下第一章二次函数
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
题号 一 二 三 总分
得分
1 、选择题（本大题共12小题）
如图，在△ABC中，若∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，则tanA＝（　　）
A． B． C． D．
（2025 山西）氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量y（g）与分解的水的质量x（g）满足我们学过的某种函数关系．如表是一组实验数据，根据表中数据，y与x之间的函数关系式为（　　）
水的质量x/g 4.5 9 18 36 45
氢气的质量y/g 0.5 1 2 4 5
A．y B．y＝9x C．yx D．y
在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（结果精确到0.01m．参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）（　　）
A．0.73m B．1.24m C．1.37m D．1.42m
某校数学兴趣小组在一次数学课外活动中，随机抽查该校10名同学参加今年初中学业水平考试的体育成绩，得到结果如下表所示：
成绩/分 36 37 38 39 40
人数/人 1 2 1 4 2
下列说法正确的是（　　）
A．这10名同学体育成绩的中位数为38分
B．这10名同学体育成绩的平均数为38分
C．这10名同学体育成绩的众数为39分
D．这10名同学体育成绩的方差为2
一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变．甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力，将相同重量的水桶吊起同样的高度，若，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是（ ）
A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学
淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则a＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．+1 D．1或+1
在△ABC中，∠B＝60°，AB＝4，若△ABC是锐角三角形，则满足条件的BC长可以是（　　）
A．1 B．2 C．6 D．8
一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是（　　）
A． 12 B． 9 C． 13 D． 12或9
如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（　　）
A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤
如图，AB是⊙O的直径，AC，BC分别与⊙O相交于点D，E，连接DE，现给出两个命题：
①若AC=AB，则DE=CE；
②若∠C=45°，记△CDE的面积为S1，四边形DABE的面积为S2，则S1=S2，
那么（　　）
A．①是真命题 ②是假命题 B．①是假命题 ②是真命题
C．①是假命题 ②是假命题 D．①是真命题 ②是真命题
抛物线的函数表达式为y＝（x﹣2）2﹣9，则下列结论中，正确的序号为（　　）
①当x＝2时，y取得最小值﹣9，②若点（3，y1），（4，y2）在其图象上，则y2＞y1，③将其函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y＝（x﹣5）2﹣5，④函数图象与x轴有两个交点，且两交点的距离为6．
A．②③④ B．①②④ C．①③ D．①②③④
如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD=5，CD=3，sinA=sinB=，动点P自A点出发，沿着边AB向点B匀速运动，同时动点Q自点A出发，沿着边AD﹣DC﹣CB匀速运动，速度均为每秒1个单位，当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动，设点P运动t（秒）时，△APQ的面积为s，则s关于t的函数图象是（　　）
A． B．
C． D．
1 、填空题（本大题共6小题）
已知一元二次方程x2﹣4x+m＝0的一个根为x1＝1．则另一个根x2＝　 　．
某中学随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：
时间（小时） 5 6 7 8
人数 10 15 20 5
则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是　　　　　　小时．
如图，已知直线l：y=﹣x，双曲线y=，在l上取一点A（a，﹣a）（a＞0），过A作x轴的垂线交双曲线于点B，过B作y轴的垂线交l于点C，过C作x轴的垂线交双曲线于点D，过D作y轴的垂线交l于点E，此时E与A重合，并得到一个正方形ABCD，若原点O在正方形ABCD的对角线上且分这条对角线为1：2的两条线段，则a的值为　　　　　　．
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①2a+b=0；②a+c>b；
③抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）；④abc>0。其中正确的结论是 （填写
序号）
如图，在矩形中，，．①以点为圆心，以不大于长为半径作弧，分别交边，于点，，再分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线分别交，于点，；②分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，，作直线交于点，则长为______．
在平行四边形ABCD中，∠ABC是锐角，将CD沿直线l翻折至AB所在直线，对应点分别为C′，D′，若AC′：AB：BC＝1：3：7，则cos∠ABC＝　 　．
1 、解答题（本大题共8小题）
（1）计算：
（2）解方程：
一个矩形周长为56厘米．
（1）当矩形面积为180平方厘米时，长宽分别为多少？
（2）能围成面积为200平方米的矩形吗？请说明理由．
某校为选拔一名选手参加“美丽邵阳，我为家乡做代言”主题演讲比赛，经研究，按图所示的项目和权数对选拔赛参赛选手进行考评（因排版原因统计图不完整）．下表是李明、张华在选拔赛中的得分情况：
项目选手 服装 普通话 主题 演讲技巧
李明 85 70 80 85
张华 90 75 75 80
结合以上信息，回答下列问题：
（1）求服装项目的权数及普通话项目对应扇形的圆心角大小；
（2）求李明在选拔赛中四个项目所得分数的众数和中位数；
（3）根据你所学的知识，帮助学校在李明、张华两人中选择一人参加“美丽邵阳，我为家乡做代言”主题演讲比赛，并说明理由．
如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．
（1）求证：△ADF∽△ACG；
（2）若，求的值．
“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围．
小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A．B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB．
（2025 南通）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象经过点A（1，5），点A，B关于原点对称．该函数图象上另有两点M1，M2，它们的横坐标分别为m，m+n，其中m＞1，n＞0．依次作直线AM1，BM1与y轴分别交于点C1，D1，直线AM2，BM2与y轴分别交于点C2，D2.记OC1﹣OD1＝d1，OC2﹣OD2＝d2．
（1）若m＝2，求OC1的长，
（2）求代数式（m+n） d2的值，
（3）当m（d1﹣d2）＝2d2，3（d1+d2）＝2n3时，求点D2关于直线AM2对称的点P的坐标．
如图，直线y＝﹣x+4交x轴于点B，交y轴于点C，对称轴为的抛物线经过B，C两点，交x轴负半轴于点A，P为抛物线上一动点，点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，作x轴的垂线PN，垂足为N，直线MN交y轴于点D．
（1）求抛物线的解析式，
（2）若，当m为何值时，四边形CDNP是平行四边形？
（3）若，设直线MN交直线BC于点E，是否存在这样的m值，使MN＝2ME？若存在，求出此时m的值，若不存在，请说明理由．

答案解析
1 、选择题
【分析】根据正切的定义即可求得答案．
解：∵在△ABC中，若∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴tanA＝＝，
故选：C．
【点评】本题考查正切的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数的应用
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可．
解：通过观察表格数据可知：，
故y与x之间的函数关系式为yx，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的应用，观察表格数据发现规律是关键．
【考点】黄金分割，近似数和有效数字．
【分析】设下部高为x m，根据雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比列方程可解得答案．
解：设下部的高度为xm，则上部高度是（2﹣x）m，
∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，
∴＝，
解得x＝﹣1或x＝﹣﹣1（舍去），
经检验，x＝﹣1是原方程的解，
∴x＝﹣1≈1.24，
故选：B．
【点评】本题考查黄金分割及分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出分式方程解决问题．
【考点】 方差； 加权平均数； 中位数； 众数．
【分析】结合表格根据众数、平均数、中位数的概念求解即可
解：10名学生的体育成绩中39分出现的次数最多，众数为39；
第5和第6名同学的成绩的平均值为中位数，中位数为： =39；
平均数==38.4
方差= [（36﹣38.4）2+2×（37﹣38.4）2+（38﹣38.4）2+4×（39﹣38.4）2+2×（40﹣38.4）2]=1.64；
∴选项A，B、D错误；
故选C．
【点评】本题考查了众数、平均数、中位数的知识,掌握各知识点的概念是解答本题的关键。　
【考点】反比例函数的应用
【分析】根据物理知识中的杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂，力臂越大，用力越小，即可求解．
解：由物理知识得，力臂越大，用力越小，
根据题意，∵，且将相同重量的水桶吊起同样的高度，
∴乙同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远，
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数的应用，属于数学与物理学科的结合题型，立意新颖，掌握物理中的杠杆原理是解答的关键．
【分析】根据题意得关于a的一元二次方程a2﹣2a＝1，解方程即可得出答案．
解：根据题意得，a2﹣2a＝1，
解得a＝1±，
∵a＞0，
∴a＝+1．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是关键．
【考点】解直角三角形，三角形的高，三角形三边关系．
【分析】作△ABC的高AD、CE．根据锐角三角形的三条高均在三角形的内部得出BC＞BD，AB＞BE．解直角三角形求出2＜BC＜8，即可求解．
解：如图，作△ABC的高AD、CE．
∵△ABC是锐角三角形，
∴AD、CE在△ABC的内部，即BC＞BD，AB＞BE．
∵在直角△ABD中，∠B＝60°，AB＝4，
∴BD＝AB cosB＝4×＝2，
∴BC＞2，
又∵BC＝＜＝＝8，
∴2＜BC＜8，
∴综观各选项，BC可以为6．
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形，三角形的高，三角形的三边关系，得出BC的范围是解题的关键．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．
【分析】求出方程的解，即可得出三角形的边长，再求出即可
解：x2﹣7x+10=0，
（x﹣2）（x﹣5）=0，
x﹣2=0，x﹣5=0，
x1=2，x2=5，
①等腰三角形的三边是2，2，5
∵2+2＜5，
∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；
②等腰三角形的三边是2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是2+5+5=12；
即等腰三角形的周长是12．
故选：A．
【点评】此题主要考查了因式分解法解方程以及三角形三边关系，正确得出方程的根是解题关键．
【考点】二次函数图象与系数的关系
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判定b与0的关系以及2a+b=0；当x=﹣1时，y=a﹣b+c；然后由图象确定当x取何值时，y＞0．
解：①∵对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∴ab＜0，故正确；
②∵对称轴x=﹣=1，
∴2a+b=0；故正确；
③∵2a+b=0，
∴b=﹣2a，
∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，
∴a﹣（﹣2a）+c=3a+c＜0，故错误；
④根据图示知，当m=1时，有最大值；
当m≠1时，有am2+bm+c≤a+b+c，
所以a+b≥m（am+b）（m为实数）．
故正确．
⑤如图，当﹣1＜x＜3时，y不只是大于0．
故错误．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．
【考点】命题与定理．
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠C=∠B，根据圆内接四边形的性质得到∠B=∠CDE，根据等腰三角形的判定判断①；根据相似三角形的面积比等于相似比的平方判断②．
解：∵AC=AB，
∴∠C=∠B，
∵四边形ABED内接于⊙O，
∴∠B=∠CDE，
∴∠C=∠CDE，
∴DE=CE；①正确；
连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEC=90°，又∠C=45°，
∴AC=CE，
∵四边形ABED内接于⊙O，
∴∠B=∠CDE，∠CAB=∠CED，
∴△CDE∽△CBA，
∴=（）2=，
∴S1=S2，②正确，
故选：D．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，掌握圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．　
【考点】抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换．
【分析】由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标，从而可判断①②，由二次函数图象平移的规律可判断③，令y＝0可得抛物线与x轴交点横坐标，从而判断④．
解：∵y＝（x﹣2）2﹣9，
∴抛物线对称轴为直线x＝2，抛物线开口向上，顶点坐标为（2，﹣9），
∴x＝2时，y取最小值﹣9，①正确．
∵x＞2时，y随x增大而增大，
∴y2＞y1，②正确．
将函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y＝（x+1）2﹣5，③错误．
令（x﹣2）2﹣9＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝5，
∴5﹣（﹣1）＝6，④正确．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
【考点】动点问题的函数图象．
【分析】过点Q做QM⊥AB于点M，分点Q在线段AD、DC、CB上三种情况考虑，根据三角形的面积公式找出s关于t的函数关系式，再结合四个选项即可得出结论．
解：过点Q做QM⊥AB于点M．
当点Q在线段AD上时，如图1所示，
∵AP=AQ=t（0≤t≤5），sinA=，
∴QM=t，
∴s=AP QM=t2；
当点Q在线段CD上时，如图2所示，
∵AP=t（5≤t≤8），QM=AD sinA=，
∴s=AP QM=t；
当点Q在线段CB上时，如图3所示，
∵AP=t（8≤t≤+3（利用解直角三角形求出AB=+3），BQ=5+3+5﹣t=13﹣t，sinB=，
∴QM=（13﹣t），
∴s=AP QM=﹣（t2﹣13t），
∴s=﹣（t2﹣13t）的对称轴为直线x=．
综上观察函数图象可知B选项中的图象符合题意．
故选B．
1 、填空题
【考点】根与系数的关系，一元二次方程的解．
【分析】根据根与系数的关系得：x2+1＝4，求出即可．
解：则根据根与系数的关系得：，
解得：x2＝3，
即方程的另一个根为3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键，注意：当x1和x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的两个根时，那么，．
【考点】加权平均数．
【分析】根据平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数进行计算．
解： =6.4．
故答案为：6.4．
【点评】此题考查了加权平均数，用到的知识点是加权平均数的计算公式，根据加权平均数的计算公式列出算式是解题的关键．　
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；正方形的性质．
【分析】根据点的选取方法找出点B、C、D的坐标，由两点间的距离公式表示出线段OA．OC的长，再根据两线段的关系可得出关于a的一元二次方程，解方程即可得出结论．
解：依照题意画出图形，如图所示．
∵点A的坐标为（a，﹣a）（a＞0），
∴点B（a，）、点C（﹣，）、点D（﹣，﹣a），
∴OA==a，OC==．
又∵原点O分对角线AC为1：2的两条线段，
∴OA=2OC或OC=2OA，
即a=2×或=2a，
解得：a1=，a2=﹣（舍去），a3=，a4=﹣（舍去）．
故答案为：或．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、两点间的距离公式以及解一元二次方程，解题的关键是找出线段OA．OC的长．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标，再由两点间的距离公式求出线段的长度是关键．
【考点】二次函数图象与系数的关系
【分析】根据函数的对称轴，图象可得各系数的关系：a＜0，b＜0，c=0，再结合图象分别进行判断各结论即可．
解：由象可知当x=-1时，y小于0，所以a-b+c<0，即a+c称图象，所以抛物线与x轴的另一个交点应与点（-2，0）关于直线x=1对称，即另一交点
为（4，0）
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，关键是根据二次函数的图象获得有关信息，对要求的式子进行判断．
【考点】作图-基本作图，相似三角形判定，勾股定理
【分析】由作图步骤可知AG是的角平分线，MN是CQ的垂直平分线，则BQ=AB=1，利用勾股定理可得AQ=QG=，因为AD∥BQ，所以，则，即，解得OQ=，所以OG=OQ+QG=．
解：由题意可知：AG是的角平分线，MN是CQ的垂直平分线，
=45°，
BQ=AB=1，
在中，，
AD∥BQ，
，即，解得OQ=，
OG=OQ+QG=．
【点评】本题主要考查了角平分线、垂直平分线的作图方法，相似三角形判定，勾股定理，解题的关键是掌握角平分线、垂直平分线的作图方法以及找准相似三角形进行线段计算．
【分析】分别考虑C'在AB之间时和C′在BA的延长线上时两种情况，根据题意假设出每条线段的长度，根据翻折的性质可知各个角之间的关系，即可求解．
解：当C′在AB之间时，如图，
根据AC'：AB：BC＝1：3：7，不妨设AC'＝1，AB＝3，BC＝7，
由翻折的性质知：∠FCD＝∠FC'D'，
∵CD沿直线l翻折至AB所在直线，
∴∠BC′F+∠FC′D′＝∠FCD+∠FBA，
∴∠BC′F＝∠FBA，
∴，
过F作AB的垂线交于E，
∴，
∴，
当C′在BA的延长线上时，如图，
根据AC′：AB：BC＝1：3：7，不妨设AC'＝1，AB＝3，BC＝7，
同理知：，
过点F作AB的垂线交于E，
∴，
∴，
故答案为：或．
【点评】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，求余弦值，等腰三角形的判定及性质，解题的关键是利用分类讨论的思想进行求解．
1 、解答题
【考点】实数的混合运算，解一元二次方程，特殊角的三角函数值
【分析】（1）先逐项化简，再合并同类项或同类二次根式即可；
（2）用公式法求解即可.
（1）原式
；
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
∴，.
【点评】本题考查了实数的混合运算，一元二次方程的解法，熟练掌握特殊角的三角函数值以及求根公式是解答本题的关键.
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】（1）设出矩形的一边长为未知数，用周长公式表示出另一边长，根据面积列出相应方程求解即可．
（2）同样列出方程，若方程有解则可，否则就不可以．
解：（1）设矩形的长为x厘米，则另一边长为（28﹣x）厘米，依题意有
x（28﹣x）=180，
解得x1=10（舍去），x2=18，
28﹣x=28﹣18=10．
故长为18厘米，宽为10厘米；
（2）设矩形的长为x厘米，则宽为（28﹣x）厘米，依题意有
x（28﹣x）=200，
即x2﹣28x+200=0，
则△=282﹣4×200=784﹣800＜0，原方程无解，
故不能围成一个面积为200平方厘米的矩形．
【点评】考查一元二次方程的应用；用到的知识点为：长方形的长=周长的一半-宽．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．　
【考点】扇形统计图；加权平均数；中位数；众数
【分析】（1）根据统计图的数据可以求得服装项目的权数及普通话项目对应扇形的圆心角大小；
（2）根据统计表中的数据可以求得李明在选拔赛中四个项目所得分数的众数和中位数；
（3）根据统计图和统计表中的数据可以分别计算出李明和张华的成绩，然后比较大小，即可解答本题．
解：（1）服装项目的权数是：1﹣20%﹣30%﹣40%=10%，
普通话项目对应扇形的圆心角是：360°×20%=72°；
（2）李明在选拔赛中四个项目所得分数的众数是85，中位数是：（80+85）÷2=82.5；
（3）李明得分为：85×10%+70×20%+80×30%+85×40%=80.5，
张华得分为：90×10%+75×20%+75×30%+80×40%=78.5，
∵80.5＞78.5，
∴李明的演讲成绩好，
故选择李明参加“美丽邵阳，我为家乡做代言”主题演讲比赛．
【点评】本题考查扇形统计图、中位数、众数、加权平均数，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）欲证明△ADF∽△ACG，由可知，只要证明∠ADF=∠C即可．
（2）利用相似三角形的性质得到=，由此即可证明．
（1）证明：∵∠AED=∠B，∠DAE=∠DAE，
∴∠ADF=∠C，
∵=，
∴△ADF∽△ACG．
（2）解：∵△ADF∽△ACG，
∴=，
又∵=，
∴=，
∴=1．
【点评】本题考查相似三角形的性质和判定、三角形内角和定理等知识，记住相似三角形的判定方法是解决问题的关键，属于基础题中考常考题型．　
【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用
【分析】（1）可用待定系数法来确定y与x之间的函数关系式；
（2）根据利润=销售量×单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润；
（3）首先得出w与x的函数关系式，进而利用所获利润等于3600元时，对应x的值，根据增减性，求出x的取值范围．
解：（1）由题意得：，
解得：．
故y与x之间的函数关系式为：y=﹣10x+700，
（2）由题意，得
﹣10x+700≥240，
解得x≤46，
设利润为w=（x﹣30） y=（x﹣30）（﹣10x+700），
w=﹣10x2+1000x﹣21000=﹣10（x﹣50）2+4000，
∵﹣10＜0，
∴x＜50时，w随x的增大而增大，
∴x=46时，w大=﹣10（46﹣50）2+4000=3840，
答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元；
（3）w﹣150=﹣10x2+1000x﹣21000﹣150=3600，
﹣10（x﹣50）2=﹣250，
x﹣50=±5，
x1=55，x2=45，
如图所示，由图象得：
当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用和一元二次方程的应用，利用函数增减性得出最值是解题关键，能从实际问题中抽象出二次函数模型是解答本题的重点和难点．
【考点】相似三角形的应用．
【分析】先证明△AOD∽△EFG，列比例式可得AO的长，再证明△BOC∽△AOD，可得OB的长，最后由线段的差可得结论．
解：∵AD∥EG，
∴∠ADO＝∠EGF，
∵∠AOD＝∠EFG＝90°，
∴△AOD∽△EFG，
∴＝，即＝，
∴AO＝15，
同理得△BOC∽△AOD，
∴＝，即＝，
∴BO＝12，
∴AB＝AO﹣BO＝15﹣12＝3（米），
答：旗杆的高AB是3米．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键掌握相似三角形的判定，属于中考常考题型．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化﹣对称，关于原点对称的点的坐标，一次函数图象上点的坐标特征
【分析】（1）依据题意，先用待定系数法求出和直线AM的解析式，进而可以计算得解，
（2）依据题意，设直线AM1的解析式为y＝k1x+b1（k1≠0），结合A（1，5），，可得AM1的解析式为，又设直线BM1的解析式为y＝k2x+b2（k2≠0），从而可得BM1的解析式为，故，OD1＝5，则d1.同理，d2，进而可以得解，
（3）依据题意，由m（d1﹣d2）＝2d2，则md1＝（m+2） d2，又由（2），得md1＝（m+n） d2＝10，故n＝2，结合3（d1+d2）＝2n3，则3（）＝16，可得m＝3，进而求出AM2的解析式为y＝﹣x+6，BM2的解析式为y＝x﹣4，从而C（0，6），D2（0，﹣4），又M2（5，1），可得△C2D2M2是等腰直角三角形．进而可以判断得解．
（1）解：设反比例函数的解析式为，
∵A（1，5）在函数图象上，
∴k＝5．
∴．
∴．
设直线AM的解析式为y＝k1x+b1（k1≠0），
∵A（1，5），，
∴，
∴点C1的坐标为．
∴．
（2）解：设直线AM1的解析式为y＝k1x+b1（k1≠0），
.∵A（1，5），，
∴AM1的解析式为．
设直线BM1的解析式为y＝k2x+b2（k2≠0），
∵B（﹣1，﹣5），，
∴BM1的解析式为．
∴，OD1＝5
∴d1.同理，d2．
∴（m+n） d2＝10．
（3）解：∵m（d1﹣d2）＝2d2，
∴md1＝（m+2） d2．
由（2），得md1＝（m+n） d2＝10．
∴n＝2．
∵3（d1+d2）＝2n3．
∴3（）＝16．
∴m＝3．
∴M2（5，1）．
∵A（1，5），B（﹣1，﹣5），
∴AM2的解析式为y＝﹣x+6，BM2的解析式为y＝x﹣4．
∴C（0，6），D2（0，﹣4）．
又∵M2（5，1），
∴△C2D2M2是等腰直角三角形．
∴点D2关于直线AM2对称的点P的坐标为（10，6）．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化﹣对称、关于原点对称的点的坐标，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式，
（2）结合平行四边形的性质，通过求直线MN的函数解析式，列方程求解，
（3）根据 MN＝2ME，确定E点坐标，从而利用一次函数图象上点的特征计算求解．
解：（1）在直线y＝﹣x+4中，当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝4，
∴点B（4，0），点C（0，4），
设抛物线的解析式为 ，
把点B（4，0），点C（0，4）代入可得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为 y＝＝﹣x2+3x+4，
（2）由题意，P（m，﹣m2+3m+4），
∴PN＝﹣m2+3m+4，
当四边形CDNP是平行四边形时，PN＝CD，
∴OD＝﹣m2+3m+4﹣4＝﹣m2+3m，
∴D（0，m2﹣3m） N（m，0），
设直线MN的解析式为 ，
把 N（m，0）代入可得 ，
解得：k1＝3﹣m，
∴直线MN的解析式为 y＝（3﹣m）x+m2﹣3m，
又∵过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，且抛物线对称轴为 ，
∴，
∴（3﹣m）2+m2﹣3m＝﹣m2+3m+4，
解得m1＝ （不合题意，舍去），m2＝，
∴当m为时，四边形CDNP是平行四边形，
（3）存在，理由如下：
∵MN＝2ME，
∴点E为线段MN的中点，
∴点E的横坐标为 ，
∵点E在直线y＝﹣x+4上，
∴，
把 代入 y＝（3﹣m）x+m2﹣3m 中，可得 ＝，
解得 m1＝4 （不合题意，舍去），．
∴存在这样的m值，使MN＝2ME，此时m的值为．
【点评】本题考查一次函数和二次函数的综合应用，掌握待定系数法求函数解析式，利用数形结合思想和 方程思想解题是关键．
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