第一章 勾股定理小结与复习
【学习目标】
1、进一步提高运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题。
2、培养学生运用所学知识解决实际问题的意识，增强学生的数学应用能力。
【学习方法】自主探究与合作交流相结合．
【学习重难点】
重点：掌握勾股定理及其逆定理。
难点：理解勾股定理及其逆定理的应用。
【学习过程】
模块一
预习反馈
一、知识回顾
1、直角三角形的性质
已知如图，在Rt△ABC中
，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．
（1）直角三角形的周长
。
（2）直角三角形的面积
。
（3）直角三角形的角的关系
。
（4）直角三角形的边的关系
。
2、直角三角形的判定
已知如图，在△ABC中
，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．
（1）从角来判断：
。
（2）从边去判断：
。
3、勾股数：
。
4、勾股定理的应用：
（1）适用范围：勾股定理揭示的是直角三角形的三边关系，只适用于直角三角形，对于没有直角三角形条件时不能运用勾股定理。
（2）已知直角三角形的两边可以运用勾股定理求第三边。
（3）已知直角三角形的一边可以运用勾股定理求另两边的关系。
（4）利用勾股定理可以解决一些实际问题。
二、自主学习
2、主要数学思想
（1）、方程思想
例1
如图，已知长方形ABCD中AB=12
cm,BC=20
cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.
例2
已知：如图，在△ABC中，AB ＝15，BC ＝14，AC＝13．求△ABC的面积．
（2）、分类讨论思想
例3、
在Rt△ABC中，已知两边长为3、4，则第三边的长为
例4、已知在△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高等于8，则△ABC的周长为
．
模块二
合作探究
求线段的长度
例1：如图，在△ABC中，∠ACB=90 ，
CD⊥AB，D为垂足，AC=6cm,BC=8cm.
求①
△ABC的面积；
②斜边AB的长；③斜边AB上的高CD的长。
求最短距离
例2：如图，一只蚂蚁从点A沿圆柱表面爬到点B，如果圆柱的高为8cm，圆柱的底面半径为cm，那么最短的路线长是（
）
A.
6cm
B.
8
cm
C.
10
cm
D.
10πcm
模块三
小结反思
1、勾股定理：
。
2、勾股定理的逆定理：
。
3、勾股数：
。
4、主要数学思想方法：（1）、方程思想；（2）、分类讨论思想。
5、勾股定理的应用：（1）求线段的长度；（2）判断直角三角形；（3）求最短距离。
模块四
形成提升
1、△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（ ）
A．42
B．32
C．42
或
32
D．37
或
33
2、将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是（
）
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.不能
3、已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（
）cm2
A.
6
B.
8
C.
10
D.
12
4、甲、乙两位探险者，到沙漠进行探险.某日早晨8∶00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走.1时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进.上午10∶00，甲、乙两人相距多远？
5、如图，有一个高1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，问这根铁棒应有多长？
拓展延伸
1、如果Rt△的两直角边长分别为n2－1，2n（n>1），那么它的斜边长是（ ）
A、2n
B、n+1
C、n2－1
D、n2+1
2、(2015·长沙改编)为了向建国六十四周年献礼，某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动，八(3)班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学制作手工作品的第一、二个步骤如下：①先裁下了一张长BC＝20
cm，宽AB＝16
cm的长方形纸片ABCD，②将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，…，请你根据①②步骤解答下列问题：
(1)找出图中∠FEC的余角；
(2)计算EC的长．
组长评价：
你认为该成员这一节课的表现
：（A）很棒
(
B)一般
(C)
没发挥出来
(D)还需努力.
家长签名：
A
B第一章 勾股定理
第1节
探索勾股定理
第2课时
【学习目标】
1、会用勾股定理进行简单的计算。
2、树立数形结合的思想、分类讨论思想。
3、培养思维意识，发展数学理念，理会勾股定理的应用价值。
【学习方法】引导——探究——应用.
【学习重难点】
重点：勾股定理的简单计算。
难点：勾股定理的灵活运用。
【学习过程】
模块一
预习反馈
一、知识回顾
1、勾股定理：直角三角形两直角边的
等于斜边的
．即：
2、勾股定理有以下应用：（1）已知直角三角形的两边，求
；
（2）已知直角三角形的一边，求另两边的
。
3、应用勾股定理时该注意些什么
。
二、自主学习
1、观察下面图形：
（1）如图1你能表示大正方形的面积吗？能用两种方法吗？
解：正方形的面积的第一种表示方法：
正方形的面积的第二种表示方法：
（2）你能由此得到勾股定理吗？为什么？
解：
（3）你还能利用图2验证勾股定理吗？
解：正方形的面积的第一种表示方法：
正方形的面积的第二种表示方法：
实践练习：
利用右图验证勾股定理：
解：正方形的面积的第一种表示方法：
正方形的面积的第二种表示方法：
因为：
2、
一个25m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时的AO距离为24m，如果梯子的顶端A沿墙下滑4m，那么梯子底端B也外移4m吗？
解：
模块二
合作探究
1、如图，在海上观察所A,我边防海警发现
( http: / / www.21cnjy.com )正北6km的B处有一可疑船只正在向东方向8km的C处行驶.我边防海警即刻派船前往C处拦截.若可疑船只的行驶速度为40km/h，则我边防海警船的速度为多少时，才能恰好在C处将可疑船只截住？
模块三
小结评价
一、本课知识：
1、勾股定理的验证方法：利用图形面积相等（用不同方法表示同一图形面积）。
2、将实际问题转化为直角三角形问题，利用勾股定理解决．
模块四
形成提升
1、锐角△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为
。
2、如图，一棵大树在离地面9米处断裂，树顶部落在离树底12米处，则树断裂之前的高度为(
)
A．9米
B．15米
C．24米
D．无法确定
3、小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度.
【拓展延伸】
一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8千米，接着它又掉头向正东方向航行15千米
．
（1）此时轮船离出点多少千米？
（2）若轮船每航行1千米需耗油0.4升，那么在此过程中轮船共耗油多少升？
组长评价：
你认为该成员这一节课的表现
：（A）很棒
(
B)一般
(C)
没发挥出来
(D)还需努力.
家长签名：第一章 勾股定理
第2节
一定是直角三角形吗
【学习目标】
掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单的应用。
掌握勾股数的概念，探索常用勾股数的规律。
【学习方法】自主探究与合作交流相结合．
【学习重难点】
重点：掌握勾股定理的逆定理及简单应用。
难点：勾股定理的逆定理的证明。
【学习过程】
模块一
预习反馈
一、知识回顾
1、勾股定理：直角三角形两直角边的
等于斜边的
．
2、如果a、b和c分别表示直角三角形两直角边和斜边，则有
。
二、自主学习
1、已知：三角形ABC的三边长分别为a、b、c，且满足a2+b2=c2；求证：三角形ABC是直角三角形。
证明：画一个直角三角形A1B1C1,使B1C1=a，
A1C1=b，∠C1=90°，
在Rt△A1B1C1中，A1B12=
B1C12+
A1C12=
，
又a2+b2=c2
∴A1B1=
，
在△ABC和△A1B1C1中，
AB=c=A1B1，
BC=a=B1C1，AC=b=A1C1
∴△ABC
△A1B1C
∴∠C=
=
。
归纳：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是
。
实践练习：下列哪几组数据能作为直角三角形的三边长？请说明理由。
①9，12，15；
②15，36，39；
③12，35，36；
④12，18，22。
解：
2、满足的三个正整数，称为
。
常见的勾股数有：①3，4，5；②9，40，41；③8，15，17；④7，24，25；⑤5，12，13；⑥9，12，15。勾股数有无数组。一组勾股数中，各数的相同整数倍得到一组新的勾股数。
注意：（1）勾股数必须都是正整数；（2）判断一组数是不是勾股数，看较小两个数的平方和是否等于最大数的平方。
实践练习：.判断下列各组数，哪些是勾股数？
①15、36、39；
②3、－4、5；
③8、15、17；
④10、20、26；⑤0.3、0.4、0.5。
是勾股数有：
。
3、一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中都应是直角。工人师傅量得这个零件各边尺寸如图2所示，这个零件符合要求吗？
模块二
合作探究
例：如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，
图中有几个直角三角形，你是如何判断的？
模块三
小结反思
1、在△ABC中，a、b、c分别为其三边，若∠C=90°，则有
。
2、在△ABC中，a、b、c分别为其三边，若a2+b2=c2，则有
。
3、勾股数是指满足
关系的三个正整数。
模块四
形成提升
1、已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？
⑴a=9，b=41，c=40；
⑵a=15，b=16，c=6；⑶
a=5k，b=13k，c=12k（k＞0）。
2、如图在△ABC中，D是BC边上一点，己知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，求CD的长。
3、如图，己知AB⊥BC，AB=7，BC=24，CD=60，AD=65，求△ACD的面积。
拓展延伸
1已知∣x-12∣+(y-13)2+z2-10z+25=0，试判断以x、y、z为三边的三角形的形状。
组长评价：
你认为该成员这一节课的表现
：（A）很棒
(
B)一般
(C)
没发挥出来
(D)还需努力.
家长签名：第一章 勾股定理
第1节
探索勾股定理
第3课时
【学习目标】
1、通过对几种常见的勾股定理验证方法，理解数学知识之间的内在联系；
2、经历综合运用知识解决问题的过程，加深对勾股定理、面积等的认识。
3、通过验证过程中数与形的结合，体会数形结合的思想及数学知识间的内在联系。
【学习方法】自主探究与合作交流相结合．
【学习重难点】
重点：运用已有知识解决问题，加深对勾股定理、整式运算、面积等的认识。
难点：1、利用“五巧板”拼出不同图形进行验证勾股定理。
2、利用数形结合的方法验证勾股定理。
【学习过程】
模块一
预习反馈
一、知识回顾
1、若a、b、c为直角三角形的三边，且c为斜边，则有a2+b2
c2。
2、①在解决问题时，每个直角三角形需知道几个条件？
.
②直角三角形中哪条边最长？
。
二、自主学习
1、请各个学习小组从网络或书籍上，尽可能多地寻找和了解验证勾股定理的方法，并填写探究报告：
《勾股定理证明方法汇总》
方法种类及历史背景
验证定理的具体过程
知识运用及思想方法
2、五巧板的制作
步骤：做一个Rt△ABC，以斜边AB为边向内做正方形ABDE，并在正方形内画图，使DF⊥BI，CG=BC，HG⊥AC，这样就把正方形ABDE分成五部分①②③④⑤。沿这些线剪开，就得了一幅五巧板。
自己画一幅五巧板：
3、议一议:观察下图,用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2。
左图：a2+b2
c2
右图：a2+b2
c2
模块二
合作探究
例：已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。（提示：延长AD、BC交于点E。6.92≈48，3.52≈12）
小结：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。
模块三
小结反思
验证勾股定理的方法：
。
2、不规则图形的面积计算方法：
。
模块四
形成提升
1、已知直角三角形的两条直角边分别是6和8,
则斜边长为_________．
2、一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm，高为12cm，吸管放进杯里（如图所示），杯口外面至少要露出4.6cm，问吸管要做多长？
3、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2.1cm，BC=2.8cm，CD⊥AB，垂足为D．
求：（1）△ABC的面积；（2）斜边AB的长；（3）斜边AB上的高CD．
附：课外拓展思维训练
在△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上的高AD=12，试求BC的长。（提示：两种情况讨论）
组长评价：
你认为该成员这一节课的表现
：（A）很棒
(
B)一般
(C)
没发挥出来
(D)还需努力.第一章 勾股定理
第3节
勾股定理的应用
【学习目标】
1、运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题，进一步发展学生的应用意识。
2、通过解决实际问题，使学生体会数学来源于生活，又应用于生活。
【学习方法】自主探究与合作交流相结合．
【学习重难点】
重点：探索、发现事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用其解决生活实际问题．
难点：利用建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题．
【学习过程】
模块一
预习反馈
一、知识回顾
1、公理：两点之间，
。
2、立体图形
图形直角三角形问题解决。
3、如果三角形的三边长a、b、c满足
，那么这个三角形是
。
4、判断一组数是勾股数的条件是：①都是
数；②满足条件
。
5、阅读教材：第3节
勾股定理的应用
二、自主学习
1、一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行多少cm？
归纳小结：立体图形转化为
图形，再转化为
问题，是解决此类问题的一般思路
实践练习：如图所示，有一边长为8cm
( http: / / www.21cnjy.com )的正方体，在它的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？你能求出来吗？（17.92≈320）
2、如图，一个无盖的长方体盒子的长、宽、高分别为8cm，8cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？
模块二
合作探究
1、有一只蚂蚁要从一个圆柱形玻璃杯的点A爬到点B处，如图，已知杯子高8cm，点B距杯口3cm（杯口朝上），杯子底面半径为4cm，蚂蚁从点A爬到点B的最短距离是多少？（π取3）
模块三
小结反思
1、蚂蚁在圆柱形表面爬行时，所走路线必定为
线。
2、立体图形转化为
图形，再转化为
问题。
3、在展开长方体时应注意多种情况，选择最短路径。
模块四
形成提升
1、有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个
( http: / / www.21cnjy.com )长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，则竹竿高
，门高
.
2、小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地。小强在操场上向东走了80m后，又走60m的方向是
。
3、如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿（CD），早晨测得它的影长为4米（AD），中午测得它的影长为1米（BD），则A、B、C三点能否构成直角三角形？为什么？
拓展延伸
某工厂的大门是一个长方形ABC
( http: / / www.21cnjy.com )D，上部是以AB为直径的半圆，其中AD=2.3m，AB=2m。现在有一辆装满货物的卡车，高2.5m，宽1.6，问这辆卡车能否通过厂门？并说明你的理由。
组长评价：
你认为该成员这一节课的表现
：（A）很棒
(
B)一般
(C)
没发挥出来
(D)还需努力.
家长签名：
