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第三十章 二次函数
30．4 二次函数的应用
第1课时
建立二次函数模型解决实际问题
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A
1.
如图①是一只酒杯，酒杯的上半部分是以抛物线的一部分为模型设计而成，且该部分成轴对称图形．从正面看酒杯的上半部分是一条抛物线的一部分，若AB＝4，CD＝3，以顶点C为原点建立如图②所示的平面直角坐标系，则抛物线的表达式为( )
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2.
1
[教材P42习题A组T1变式]如图，小明的父亲在相距2 m的两棵树上拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方都高出地面2.5 m，绳子自然下垂近似呈抛物线形，最低点离地面0.5 m，小明距较近的那棵树0.5 m时，头部刚好接触到绳子，则小明的身高为________m.
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3.
能
如图①为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看成是抛物线的一部分，如图②是棚顶的竖直高度y(单位：m)与距离停车棚支柱AO的水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y＝－0.02x2＋0.3x＋1.6的图像，点B(6，2.68)在图像上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看成长CD＝4 m，宽DE＝1.8 m的矩形，则可判定货车________完全停到车棚内(填“能”或“不能”).
4.
(8分)一座拱桥的示意图如图①所示，当水面宽为16 m时，桥洞顶部离水面4 m．已知桥洞的形状可看成抛物线形，请尝试解决以下问题：
(1)建立合适的平面直角坐标系，并直接写出该抛物线的表达式；
(2)已知一艘货船的高度为2.6 m，宽度为3.2 m，其截面示意图如图②所示．为保证这艘货船可以安全通过拱桥，水面最多能上升多少米(结果精确到0.1)？
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5.
D
[教材P41例1变式]如图，一位运动员在距篮圈中心(点C)水平距离5 m处竖直跳起投篮(A为出手点)，球运行的路线可看成抛物线的一部分，当球运行的水平距离为3 m时，达到最高点(点B)，此时高度为3.85 m，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心(点C)到地面的距离为3.05 m，该运动员身高1.75 m，在这次跳投中，球在头顶上方0.15 m处出手，球出手时，他跳离地面的高度是( )
A．0.75 m
B．0.2 m
C．0.5 m
D．0.15 m
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6.
1.5
如图，这是一款抛物线形落地灯示意图，灯柱AB为1.4 m，抛物线的最高点C到地面的距离是2.3 m，点C距灯柱的水平距离为0.9 m，灯罩D距离地面1.9 m，则灯罩D到灯柱的水平距离为________m.
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7.
2.25
如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1 m处达到最高点C，高度为
3 m，水柱落地点D离池中心A处3 m，则水管AB的长为________m.
8.
(12分)如图①，以点A，B为端点的实线是一条开口向下的抛物线的一段，点C是抛物线的顶点，直线l是抛物线的对称轴，AB⊥l于点D，AB＝CD，则称实线表示的部分为该抛物线上的“正抛线”，点A，B分别为“正抛线”的左、右端点，点C为“正抛线”的顶点，CD的长为“正抛线”的高．
解：根据题意得左端点A的坐标为(0，0)，AB＝CD＝4，
右端点B的坐标为(4，0)，垂足点D的坐标为(2，0)，
顶点C的坐标为(2，4)或(2，－4)，设抛物线的表达式为
y＝a1(x－2)2＋4或y＝a2(x－2)2－4，
把点A(0，0)的坐标分别代入表达式，则0＝4a1＋4，0＝4a2－4，
解得a1＝－1，a2＝1，故抛物线的表达式
为y＝－(x－2)2＋4＝－x2＋4x或y＝(x－2)2－4＝x2－4x.
(1)已知高为4的“正抛线”的左端点在坐标原点处，求该“正抛线”所在抛物线的表达式；
(2)已知抛物线y＝ax2＋bx(a＜0)上的“正抛线”以原点为左端点，求b的值；
(3)如图②，一种图案由大小两种不同的“正抛线”组成，在平面直角坐标系中，所有大“正抛线”的端点都在x轴上，小“正抛线”的端点都在与其相邻的大“正抛线”上，所有“正抛线”的顶点都在同一条直线上．直接写出大“正抛线”与小“正抛线”的高之比.
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第三十章 二次函数
30．2 二次函数的图像和性质
第2课时
二次函数y＝ax2＋k的图像和性质
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A
1.
将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式是( )
A．y＝x2＋3
B．y＝x2－3
C．y＝(x＋3)2
D．y＝(x－3)2
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2.
B
抛物线y＝－6x2可以看作由抛物线y＝－6x2＋5按下列何种变换得到( )
A．向上平移5个单位长度
B．向下平移5个单位长度
C．向左平移5个单位长度
D．向右平移5个单位长度
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3.
0
将抛物线y＝x2向上平移4个单位长度，所得抛物线的顶点坐标为(a，b)，则ab＝________.
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4.
B
二次函数y＝x2＋1的图像大致是( )
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5.
C
抛物线y＝－3x2－2的开口( )
A．向上
B．向右
C．向下
D．向左
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6.
B
[2025保定月考]抛物线y＝x2－2与y轴的交点坐标是( )
A．(0，2)
B．(0，－2)
C．(2，0)
D．(－2，0)
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7.
C
函数y＝2x2－9的图像的顶点坐标和对称轴分别是( )
A．(－9，0)，直线x＝－9
B．(9，0)，直线x＝9
C．(0，－9)，y轴
D．(0，9)，y轴
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8.
B
二次函数y＝－5x2－1的最值情况是( )
A．有最小值－1
B．有最大值－1
C．有最小值5
D．有最大值－5
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9.
B
[2025石家庄期中]若二次函数y＝－x2＋1的图像过点(1，y1)和(2，y2)，则y1，y2的大小关系为( )
A．y1＜y2
B．y1＞y2
C．y1＝y2
D．不能确定
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10.
A
在抛物线y＝ax2＋2 的对称轴左侧，y随x的增大而减小，则a的取值范围是( )
A．a＞0
B．a≥0
C．a＜0
D．a≤0
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11.
－1
(答案不唯一)
已知二次函数y＝－x2＋c的图像不经过第一、二象限，请写出一个合适的常数c的值：________.
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12.
y＝3x2＋2
抛物线y＝ax2＋c与y＝－3x2的形状相同，开口方向相反，且其顶点坐标是(0，2)，则该抛物线的函数表达式是__________.
13.
(8分)在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数y＝－x2，y＝－x2＋1的图像，并回答下列问题．
(1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；
解：画出图像如图．
(1)y＝－x2的图像开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标是(0，0)．y＝－x2＋1的图像开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标是(0，1)．
上
(2)抛物线y＝－x2＋1可由抛物线y＝－x2向________平移________个单位长度得到.
1
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14.
D
[2025沧州月考]若正比例函数y＝mx(m≠0)的y随x的增大而减小，则二次函数y＝mx2＋m的图像大致是( )
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15.
C
抛物线y＝－x2＋1与y＝－x2－2的不同之处是( )
A．开口方向
B．对称轴
C．顶点坐标
D．形状
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16.
A
已知二次函数y＝x2－2的图像如图所示，则坐标原点可能是( )
A．点M
B．点N
C．点P
D．点Q
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17.
B
已知y＝ax2－k的图像上有三点A(－2，y1)，B(1，y2)，C(3，y3)，且y3＜y1＜y2，则a的取值范围是( )
A．a＞0
B．a＜0
C．a≥0
D．a≤0
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18.
－2
如图，抛物线y＝ax2＋c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为________.
19.
解：在y＝－x2＋4中，令x＝0，
则y＝4；令y＝0，则－x2＋4＝0，
解得x1＝2，x2＝－2.
∴A(－2，0)，B(2，0)，C(0，4)．
(8分)如图，抛物线y＝－x2＋4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，四边形ABCD为平行四边形．
(1)求A，B，C三点的坐标；
解：易得AB＝4. ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝4，CD∥AB，
∵C(0，4)，∴D(－4，4)．
设平移后抛物线的表达式为y＝－x2＋4＋m，
则4＝－(－4)2＋4＋m，解得m＝16，
∴平移后抛物线的表达式为y＝－x2＋20.
(2)若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的表达式.
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20.
(－4，5)或(4，5)
(1)当△POF的面积为4时，点P的坐标为________________；
(2)求△PMF周长的最小值.
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第三十章 二次函数
30．2 二次函数的图像和性质
第4课时
二次函数y＝a(x－h)2＋k的图像和性质
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A
1.
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2.
C
[教材P35习题A组T1变式]要得到函数y＝2(x－6)2＋6的图像，可将y＝2x2的图像进行平移，下列操作正确的是( )
A．向左、向上均平移6个单位长度
B．向左、向下均平移6个单位长度
C．向右、向上均平移6个单位长度
D．向右、向下均平移6个单位长度
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3.
y＝(x＋2)2＋2
在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝x2不动，而把x轴、y轴分别向下、向右平移2个单位长度，那么在新坐标系下抛物线的表达式为______________.
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4.
B
二次函数y＝－(x＋1)2＋2的图像大致是( )
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5.
B
[2025石家庄月考]二次函数y＝2(x－2)2－1的图像的对称轴是( )
A．直线x＝－1
B．直线x＝2
C．直线x＝－2
D．直线x＝1
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6.
D
[2025廊坊月考]抛物线y＝2(x＋7)2－3的顶点坐标是( )
A．(7，3)
B．(7，－3)
C．(－7，3)
D．(－7，－3)
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7.
C
关于二次函数y＝－2(x＋1)2＋6的最值情况，下列说法正确的是( )
A．有最大值－1
B．有最小值－1
C．有最大值6
D．有最小值6
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8.
C
已知二次函数y＝－3(x－2)2－3，下列说法正确的是( )
A．图像的对称轴为直线x＝－2
B．图像的顶点坐标为(2，3)
C．当x>2时，y随x的增大而减小
D．函数的最小值是－3
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9.
＞
若点A(－1，y1)，B(1，y2)在抛物线y＝－(x＋2)2＋3上，则y1______y2(填“＞”“＜”或“＝”).
10.
解：函数图像的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，4)．
(20分)已知二次函数y＝－(x－1)2＋4.
(1)指出函数图像的对称轴和顶点坐标；
填表如下. 描点，连线如图所示．
(2)完成下表，并利用描点法在如图所示的平面直角坐标系中画出所给函数的图像；
x … －1 0 1 2 3 …
y … …
x … －1 0 1 2 3 …
y … 0 3 4 3 0 …
x>1
(3)若y随着x的增大而减小，则x的取值范围为________；
(4)当－1＜x＜2时，观察图像，函数值y的取值范围为________；
(5)设点M(x1，y1)，N(3，y2)在该函数图像上，若y1＞y2，则x1的取值范围为___________.
0＜y≤4
－1＜x1＜3
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11.
A
若二次函数y＝(x＋p)2－q的图像如图所示，则点(p，q)位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
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12.
C
[2025石家庄模拟]已知二次函数y＝－(x－h)2＋1(h为常数)，在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最大值为－5，则h的值为( )
13.
[2025唐山期末]如图，将抛物线C1：y＝－(x＋1)2＋2平移到抛物线C2：y＝－(x－2)2－1的位置，点P(m，n1)，Q(m，n2)分别在抛物线C1，C2上．
A
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14.
(8分)如图，点P(a，3)在抛物线C：y＝4－(6－x)2上，且在C的对称轴右侧．
(1)写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；
解：∵抛物线C：y＝4－(6－x)2＝－(x－6)2＋4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝6，y的最大值为4.
当y＝3时，3＝－(x－6)2＋4，
∴x＝5或x＝7.
∵点P在对称轴的右侧，∴P(7，3)，即a＝7.
(2)在坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P′，C′.平移该胶片，使C′所在抛物线对应的函数恰为y＝－(x－3)2，求点P′移动的最短路程.
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15.
(8分)已知点P(2，－3)在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a，k均为常数，且a≠0)上，抛物线交y轴于点C，连接CP.
(1)当该抛物线经过点(4，－7)时，求此时该抛物线的表达式及顶点坐标；
(2)横、纵坐标都是整数的点叫整点．如图，当a＜0时，若该抛物线在点C，P之间的部分与线段CP所围成的区域内(含边界)恰有5个整点，求a的取值范围.
解：将(2，－3)代入y＝a(x－1)2＋k，得－3＝a＋k，∴k＝－a－3，
∴y＝a(x－1)2－a－3，∴抛物线的顶点坐标为(1，－a－3)．
将x＝0代入y＝a(x－1)2－a－3，得y＝a－a－3＝－3，
∴点C的坐标为(0，－3)．
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，且点C，P关于直线x＝1对称，
∴点(0，－3)，(1，－3)，(2，－3)在区域内．
当区域内恰有5个整点时，点(1，－2)，(1，－1) 在区域内，
(1，0)不在区域内，∴－1≤－a－3＜0，解得－3＜a≤－2.
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第三十章 二次函数
30．4 二次函数的应用
第2课时
二次函数中的最值问题
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B
1.
已知一个直角三角形两条直角边长的和为20 cm，则这个直角三角形的最大面积为( )
A．25 cm2
B．50 cm2
C．100 cm2
D．不确定
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2.
A
[教材P44例2变式]如图，用一根长60 cm的铁丝制作
一个“日”字形框架ABCD，铁丝恰好全部用完，则该“日”字形框架ABCD的最大面积为( )
A．150 cm2
B．148 cm2
C．135 cm2
D．120 cm2
3.
y＝－2x＋80
(8分)[2024湖北中考]改编学校要建一个矩形花圃，如图，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42 m，篱笆长80 m．设垂直于墙的边AB长为x m，平行于墙的边BC长为y m，围成的矩形面积为S m2.
(1)y与x的关系式是____________；S与x的关系式是________________________；
S＝－2x2＋80x(19≤x＜40)
解：存在．S＝－2x2＋80x＝－2(x－20)2＋800，
∵－2＜0，且19≤x＜40，
∴当x＝20时，S取最大值800.
∴围成的矩形花圃面积存在最大值，
最大值为800 m2，此时x的值为20.
(2)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值.
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4.
B
将进货单价为90元的某种商品按每个100元售出时，能卖出500个，单价每上涨1元，其销售量就减少10个，为了获得最大利润，售价应定为每个( )
A．110元
B．120元
C．130元
D．150元
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5.
10 240
[教材P57复习题B组T3变式]某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有1个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需要对每个居住的房间每天支出40元的各种费用，则宾馆每天获得的最大利润是________元.
6.
y＝－4x＋300
(8分) 某超市销售A品牌的纯牛奶，进价是40元/箱．根据前段时间的销售经验，每天的售价x(元/箱)与销售量y(箱)有如下关系：
已知y与x之间的函数关系是一次函数．
(1)y与x的函数表达式是____________；
每天的售价x/(元/箱) 65 64 … 40
每天的销售量y/箱 40 44 … 140
(2)售价不能低于40元/箱，不能高于65元/箱，请你求出当A品牌的纯牛奶的售价定为多少时，超市一天的总盈利最大.
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7.
A
某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么每天可以售出400件，根据销售经验可知，提高销售单价会导致销售量减少，即销售单价每提高1元，日销售量相应减少20件．若设每件商品涨x元，销售利润为y元，则可列关系式为y＝(30＋x－20)(400－20x)．对所列关系式中出现的代数式，下列说法错误的是( )
A．(30＋x－20)表示涨价后商品的单价
B．20x表示涨价后每天少售出商品的数量
C．(400－20x)表示涨价后每天售出商品的数量
D．(30＋x)表示涨价后商品的单价
8.
(8分)把边长为44 cm的正方形硬纸板(如图①)在四个顶点处分别剪掉一个相同的小正方形，折成一个长方体无盖盒子(如图②，纸板厚度忽略不计)．
(1)要使折成的盒子的底面积为576 cm2，剪掉的小正方形的边长应是多少厘米？
解：设剪掉的小正方形的边长为x cm，则(44－2x)2＝576，
即22－x＝±12，解得x1＝34(不合题意，舍去)，x2＝10，
∴剪掉的小正方形的边长应是10 cm.
(2)折成的长方体盒子的侧面积(四个侧面的面积之和)有没有最大值？如果没有，说明理由；如果有，求出这个最大值，并求出此时剪掉的小正方形的边长.
解：侧面积有最大值．
设剪掉的小正方形的边长为t cm，盒子的侧面积为y cm2，
则y与t的函数关系式为y＝4(44－2t)t，即y＝－8t2＋176t，
∴y＝－8(t－11)2＋968.
∵－8<0，自变量t的取值范围为0
∴当t＝11时，y有最大值，最大值为968，
∴当剪掉的小正方形的边长为11 cm时，
长方体盒子的侧面积最大，最大值为968 cm2.
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9.
(12分) 某校准备在校园里利用一面墙(墙可用最大长度为25.2 m)和48 m长的篱笆围成Ⅰ，Ⅱ两块矩形农场．某数学兴趣小组设计了三种方案(除围墙外，实线部分为篱笆墙)，请根据设计的方案回答下列问题：
(1)方案一：如图①，利用全部围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度(AE)为2 m的矩形水池，且需保证总种植面积为185.52 m2，试确定CG的长；
解：由题意得BC＝(48－25.2)÷3＝7.6(m)，
∴Ⅰ，Ⅱ两块矩形的面积和为7.6×25.2＝191.52(m2)．
设水池的长为a m，则水池的面积为2×a＝2a(m2)，
∴191.52－2a＝185.52，解得a＝3，
∴DG＝3 m，∴CG＝CD－DG＝25.2－3＝22.2(m)．
(2)方案二：如图②，使围成的两块矩形农场的总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？
解：设BC＝x m，总种植面积为S1 m2，则CD＝(48－3x)m，
∴S1＝x(48－3x)＝－3(x2－16x)＝－3(x－8)2＋192.
∵－3<0，且易知7.6≤x<16，
∴当x＝8时，S1有最大值，最大值为192，
即BC应设计为8 m，此时最大面积为192 m2.
(3)方案三：如图③，在图中所示三处位置各留1 m宽的门，且使围成的两块矩形农场的总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？
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第三十章 二次函数
30．4 二次函数的应用
第3课时
把二次函数问题转化为方程问题
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C
1.
[2025保定期末]“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“水火箭”的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足的关系为h＝－t2＋12t＋1.当“水火箭”的升空高度为37 m时，此时的飞行时间为( )
A．12 s B．9 s
C．6 s D．3 s或9 s
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2.
C
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3.
A
如图是一款抛物线形落地灯示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.5 m，最高点C距灯柱的水平距离为1.6 m，灯柱AB＝1.5 m，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离AE为( )
A．3.2 m B．0.32 m
C．2.5 m D．1.6 m
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4.
(8，2)
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5.
4 m
[2025石家庄模拟]如图，某公司的大门呈抛物线形，大门的地面宽度和大门最高点离地面的高度都是8 m，公司想在大门两侧距地面6 m处各安装一盏壁灯，
两盏壁灯之间的距离为________.
6.
6.3
下降高度d/m 200 500
下降时间t/s
10.0
(2)如果跳伞运动员从3 800 m的高空跳伞，为确保安全，必须在离地面600 m之前打开降落伞．求运动员在空中不打开降落伞的时间最多有几秒.
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7.
C
[2024天津中考]从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h＝30t－5t2(0≤t≤6)．有下列结论：①小球从抛出到落地需要6 s；②小球运动中的高度可以是30 m；③小球运动2 s时的高度小于运动5 s时的高度．其中，正确结论的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
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8.
C
如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26 m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边长的和为40 m，有下列结论：①AB的长可以为6 m；②AB的长有两个不同的值满足矩形ABCD的面积为192 m2；③矩形ABCD面积的最大值为200 m2.下列说法正确的是( )
A．只有②正确 B．只有②不正确
C．只有①不正确 D．①②③都正确
9.
小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7 m，水柱在距喷水头P的水平距离为4 m处达到最高点，最高点距地面2.3 m．建立如图所示的平面直角坐标系，其中x(m)是水柱距喷水头P的水平距离，y(m)是水柱距地面的高度．
1或5
(1)水柱能达到的最远水平距离是________m；
(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P的水平距离为 2 m．身高为1.4 m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为________m.
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10.
(12分) 小明和小强做弹球游戏，如图①，小明向斜坡抛一个乒乓球，乒乓球弹起的运行路线是一条抛物线，乒乓球落地后又弹起，第二次弹起的运行路线和第一次运行路线所在抛物线的形状相同，小强在地面立一块高度为0.4 m的木板．当乒乓球在第二次下落时能落在木板上，则小强获胜．小强以斜坡底端O为坐标原点，地面水平线为x轴，取单位长度为1 m，建立如图②所示的平面直角坐标系，乒乓球的大小忽略不计，经测量发现，抛球点A的坐标为(－1，3.36)，第一次弹起的运行路线最高点坐标为
(－0.5，3.61)，第二次弹起
的最大高度为1.21 m．
解：根据题意知，乒乓球第一次弹起的运行路线的顶点
坐标为(－0.5，3.61)，过点A(－1，3.36)．
设乒乓球第一次弹起的运行路线的表达式为y1＝a(x＋0.5)2＋3.61，
将点A(－1，3.36)的坐标代入表达式，得3.36＝a(－1＋0.5)2＋3.61，
解得a＝－1，
∴乒乓球第一次弹起的运行路线的表达式为
y1＝－(x＋0.5)2＋3.61＝－x2－x＋3.36.
(1)求乒乓球第一次弹起的运行路线的表达式；
令y1＝0，则－(x＋0.5)2＋3.61＝0，
解得x1＝1.4，x2＝－2.4(不合题意，舍去)，∴OB＝1.4 m，
∴乒乓球第一次落地点B距斜坡底端O的距离为1.4 m.
(2)求乒乓球第一次落地点B距斜坡底端O的距离；
小强将木板立在距斜坡底端O3.4 m～3.6 m
(包含3.4 m和3.6 m)时，才能确保自己获胜．
(3)直接写出小强将木板立在距斜坡底端O多远的范围内，才能确保自己获胜.
返回(共23张PPT)
第三十章 二次函数
30．2 二次函数的图像和性质
第1课时
二次函数y＝ax2的图像和性质
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A
1.
二次函数y＝x2的图像大致是( )
返回
2.
D
[2025邯郸月考]抛物线y＝－2x2的开口( )
A．向上
B．向左
C．向右
D．向下
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3.
C
抛物线y＝3x2的对称轴是( )
A．直线x＝3
B．直线x＝－3
C．直线x＝0
D．直线y＝0
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4.
C
抛物线y＝－2x2的顶点坐标是( )
A．(2，0)
B．(－2，0)
C．(0，0)
D．(0，－2)
返回
5.
A
若二次函数y＝ax2的图像经过点P(－2，4)，则该图像必经过的点的坐标为( )
A．(2，4)
B．(－2，－4)
C．(－4，2)
D．(4，－2)
6.
解：如图所示．
y＝－2x2
x轴
x轴
小
小
③在抛物线y＝ax2中，当|a|相同时，抛物线开口大小________；|a|越大，抛物线开口越________；|a|越小，抛物线开口越________．
④应用：抛物线y＝3x2与y＝x2中，开口较小的是抛物线________.
相同
小
大
y＝3x2
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返回
7.
B
二次函数y＝－5x2的图像，在y轴右侧，y随x的增大而( )
A．增大
B．减小
C．先减小后增大
D．先增大后减小
返回
8.
B
已知二次函数y＝(a－1)x2，当x＞0时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是( )
A．a＞0
B．a＞1
C．a≠1
D．a＜1
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9.
B
[2025唐山月考]若点(1，y1)，(2，y2)都在二次函数y＝x2的图像上，则( )
A．y1＞y2＞0
B．0＜y1＜y2
C．y1＞0＞y2
D．y1＜0＜y2
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10.
D
已知a＜0，二次函数y＝－ax2的图像上有三个点A(－2，y1)，B(1，y2)，C(3，y3)，则( )
A．y1＜y2＜y3
B．y3＜y1＜y2
C．y3＜y2＜y1
D．y2＜y1＜y3
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11.
C
A．开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点
B．开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点
C．对称轴是y轴，顶点是原点
D．y的最小值为0
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12.
A
返回
13.
D
一次函数y＝ax＋a与二次函数y＝ax2在同一平面直角坐标系中的大致图像是( )
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14.
B
如图，以点O为圆心的圆的半径为2，C1是函数y＝x2的图像，C2是函数y＝－x2的图像，则阴影部分的面积是( )
A．π
B．2π
C．4π
D．无法确定
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15.
0≤y≤4
如图，从二次函数y＝ax2的图像上可以看出，当
－1≤x≤2时，y的取值范围是________.
16.
解：∵函数y＝(m＋2)xm2＋m－4是关于x的二次函数，
∴m2＋m－4＝2，且m＋2≠0，
解得m1＝2，m2＝－3，
∴m的值为2或－3.
(12分)已知函数y＝(m＋2)xm ＋m－4是关于x的二次函数．
(1)求m的值；
当m＝2时，二次函数的图像有最低点，
此时y＝4x2，最低点的坐标为(0，0)，
当x＞0时，y随x的增大而增大．
(2)当m为何值时，二次函数的图像有最低点？求出这个最低点的坐标，此时当x为何值时，y随x的增大而增大？
当m＝－3时，二次函数有最大值，此时y＝－x2，
二次函数的最大值为0，当x＞0时，y随x的增大而减小．
(3)当m为何值时，二次函数有最大值，最大值是多少？此时当x为何值时，y随x的增大而减小？
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17.
(8分)如图，抛物线y＝ax2与四条直线x＝1，x＝2，y＝1，y＝2围成的正方形ABCD有公共点．
(1)求a的取值范围；
(2)若a为整数，求抛物线的表达式.
返回(共22张PPT)
第三十章 二次函数
30．1 二次函数
返回
B
1.
下列函数中，y是x的二次函数的是( )
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2.
D
若函数y＝(a＋1)x2＋x＋1是关于x的二次函数，则a的取值范围是( )
A．a≠0
B．a≥1
C．a≤－1
D．a≠－1
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3.
A
[2025邢台期末]二次函数y＝3x2－5x＋1的一次项系数是( )
A．－5
B．1
C．3
D．5
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4.
4
若关于x的函数y＝xm－2＋2x－7是二次函数，则m的值是________.
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5.
－1
已知二次函数y＝－x2＋2x－1.
(1)当x＝2时，y＝________；
(2)当y＝－1时，x＝________.
0或2
6.
解：y＝3x2－7的二次项系数为3，
一次项系数为0，常数项为－7.
(12分)[教材P27练习T1变式]指出下列二次函数中相应的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)y＝3x2－7；
y＝2x2＋5－4x的二次项系数为2，
一次项系数为－4，常数项为5.
(2)y＝2x2＋5－4x；
(3)y＝(x－2)(2x＋1)－(x2＋2).
∵y＝(x－2)(2x＋1)－(x2＋2)＝2x2＋x－4x－2－x2－2＝
x2－3x－4，∴y＝(x－2)(2x＋1)－(x2＋2)的二次项系数为1，一次项系数为－3，常数项为－4.
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7.
C
用40 cm的绳子围成一个矩形，则矩形的面积y(cm2)与一边长x(cm)之间的函数关系式为( )
A．y＝x2
B．y＝－x2＋40x
C．y＝－x2＋20x
D．y＝－x2＋20
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8.
D
某城市居民2025年第一季度人均收入10 000元，第三季度人均收入达到y元．设[2025年第一季度到第三季度该城市居民每季度人均收入平均增长率为x，那么y与x的函数关系式是( )
A．y＝10 000(1＋2x) B．y＝10 000＋2x
C．y＝10 000(1＋x2) D．y＝10 000(1＋x)2
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9.
0＜x＜24
已知一个菱形两条对角线的长的和为24 cm，设其中一条对角线的长为x cm，菱形的面积为S cm2，则S(cm2)与x(cm)之间的函数关系式为______________，自变量x的取值范围是__________.
10.
解：w与x之间的函数表达式为
w＝(x－30)(－2x＋80)＝－2x2＋140x－2 400.
(8分)已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y(千克)与售价x(元/千克)之间的函数关系式为y＝－2x＋80.设这种产品每天的销售利润为w元．
(1)写出w与x之间的函数表达式；
该函数的二次项系数是－2，一次项系数是140，
常数项是－2 400.
(2)指出该函数的二次项系数、一次项系数和常数项.
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11.
B
若函数y＝(m－1)xm ＋1－2x＋5是二次函数，则m的值是( )
A．±1
B．－1
C．2
D．1
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12.
C
关于函数y＝(500－10x)(40＋x)，下列说法不正确的是( )
A．y是x的二次函数
B．二次项系数是－10
C．一次项是100
D．常数项是20 000
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13.
B
下列变量间具有二次函数关系的是( )
A．速度一定时，路程s与时间t
B．正方形的面积y与边长x
C．总价一定时，数量y与单价x
D．三角形的高一定时，面积y与其底边长x
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14.
B
如图，正方形ABCD和圆的周长之和为20 cm，设圆的半径为x cm，正方形的边长为y cm，阴影部分的面积为S cm2.当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是( )
A．一次函数关系、一次函数关系
B．一次函数关系、二次函数关系
C．二次函数关系、二次函数关系
D．二次函数关系、一次函数关系
返回
15.
如图，在一块等腰直角三角形铁皮(△ABC)上截取一块矩形铁皮，要求截得的矩形的边EF在△ABC的边BC上，顶点D，G分别在边AB，AC上．已知BC＝30 cm，设DG的长为x cm，矩形DEFG的面积为y cm2，那么y关于x的函数表达式为____________.
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16.
解：乙的说法正确．理由：对a2＋2a＋3配方可得(a＋1)2＋2.
∵无论a取何值，(a＋1)2≥0，
∴(a＋1)2＋2≥2，∴无论a取何值，a2＋2a＋3≠0，
∴该函数一定是二次函数．
(8分)关于x的函数y＝(a2＋2a＋3)x2＋3ax＋1，甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”丙说：“此函数是不是二次函数与a的取值有关．”你认为谁的说法正确？为什么？
17.
(8分)如图，△ABC为等腰直角三角形，斜边AB＝4 cm.点D从点A出发，沿线段AB向点B运动，过点D作AB的垂线，与△ABC的直角边相交于点E.设AD的长为a cm，ED的长为h cm，记线段DE与△ABC的一直角边、斜边所围成的三角形的面积为S cm2.
(1)分别求出当0＜a≤2和2返回(共24张PPT)
第三十章 二次函数
30．3
由不共线三点的坐标确定二次函数*
返回
C
1.
[教材P40练习变式]已知二次函数的图像经过(0，0)，(3，0)，(1，－4)三点，则该函数的表达式为( )
A．y＝x2－3x
B．y＝2x2－3x
C．y＝2x2－6x
D．y＝x2－6x
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2.
A
某二次函数的图像如图所示，则其表达式是( )
A．y＝－x2＋2x＋3
B．y＝x2－2x－3
C．y＝－x2－2x＋3
D．y＝－x2－2x－3
返回
3.
如图，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标为(－3，0)，点B的坐标为(9，0)，且3AB＝4OC，则此抛物线的表达式为______________．
返回
4.
y＝x2－4x＋5
已知二次函数y＝x2－bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表所示：
(1)该二次函数的表达式为______________；
(2)A(n－1，y1)，B(n，y2)两点都在该函数的图像上，当n＜2时，y1________y2(填“＞”“＜”或“＝”).
x … －2 0 2 4 …
y … 17 5 1 5 …
＞
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5.
y＝x2－x＋1
若二次函数y＝ax2＋bx＋1的图像经过A(－1，3)，
B(0，－5)，C(1，1)三个点中的其中两个点，则该二次函数的表达式为____________.
返回
6.
7.
(8分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋3，x与y的几组对应值如下表：
(1)求此二次函数的表达式；
x … －1 1 2 …
y … 0 m 3 …
解：将x＝1，y＝m代入y＝－x2＋2x＋3，
得m＝－12＋2×1＋3＝4.
(2)求m的值.
返回
返回
8.
D
如图，在水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向的坐标系中标记了4个格点，已知小方格的边长为1，若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像经过其中的3个格点，则a的最大值为( )
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9.
D
[2024陕西中考]已知一个二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的几组对应值如下表：
则下列关于这个二次函数的结论正确的是( )
A．图像的开口向上
B．当x＞0时，y的值随x值的增大而减小
C．图像经过第二、三、四象限
D．图像的对称轴是直线x＝1
x … －4 －2 0 3 5 …
y … －24 －8 0 －3 －15 …
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10.
C
如图，在2×2的网格(每个小正方形的边长都为1)中有A，B，C，D，E，F，G，H，O九个格点，抛物线l的表达式为y＝(－1)nx2＋bx＋c(n为整数)，若l经过这九个格点中的三个，则所有满足这样条件的抛物线的条数为( )
A．5 B．7
C．8 D．9
返回
11.
设抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过A(0，2)，B(4，3)，C三点，其中点C在直线x＝2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的表达式为________________________________.
12.
(12分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数且a≠0)的图像经过点(1，m)，(3，n)和(0，0)三点．
(1)若m＝n＝－6，求该二次函数的表达式；
当a＝－1时，y＝－x2＋bx，
∵y＝－x2＋bx的图像过点(1，m)和(3，n)，m＜n，
∴－1＋b＜－9＋3b，解得b＞4.
(2)若a＝－1，m＜n，求b的取值范围；
y3＜y1＜y2.
(3)已知点(－1，y1)，(2，y2)，(4，y3)也都在该二次函数的图像上，若二次函数的图像开口向下且mn＜0，直接写出y1，y2，y3的大小.
返回
13.
(12分) 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线
y＝x2＋bx＋c与直线AB相交于A，B两点，点A的坐标为(0，－1)，点B的坐标为(－3，－4)．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求△PAB面积的最大值；
(3)点C(－4，m)在直线AB上，将线段AC沿着y轴向上或向下平移，点A和点C的对应点分别为点A′和点C′，设点A′的纵坐标为n，为使平移后的线段A′C′与抛物线只有一个公共点，求n的取值范围.
解：将点C(－4，m)的坐标代入y＝x－1，得m＝－5，
∴C(－4，－5)．
对于y＝x2＋4x－1，当x＝－4时，
y＝(－4)2＋4×(－4)－1＝－1.
①当线段AC向上平移－1－(－5)＝4(个)单位长度时，与抛物线有一个公共点，此时C′(－4，－1)，A′(0，3)，继续向上平移，线段A′C′与抛物线没有公共点，∴易得当－1＜n≤3时，平移后的线段A′C′与抛物线只有一个公共点；
返回(共25张PPT)
第三十章 二次函数
30．2 二次函数的图像和性质
第3课时
二次函数y＝a(x－h)2的图像和性质
返回
C
1.
把抛物线y＝－2x2向左平移3个单位长度后，得到的抛物线为( )
A．y＝－2x2＋3
B．y＝－2x2－3
C．y＝－2(x＋3)2
D．y＝－2(x－3)2
返回
2.
D
在平面直角坐标系中，若抛物线y＝(x＋2)2平移后经过原点O，则平移的方式可能是( )
A．向上平移2个单位长度
B．向下平移2个单位长度
C．向左平移2个单位长度
D．向右平移2个单位长度
返回
3.
右
将抛物线y＝2x2向______平移______个单位长度，得到抛物线y＝2(x－1)2.
1
返回
4.
B
[2025保定月考]已知二次函数y＝(x－1)2，则它的图像大致为( )
返回
5.
B
下列二次函数的图像中，开口向下的是( )
A．y＝3(x－1)2
B．y＝－2(x＋2)2
返回
6.
C
下列二次函数中，其图像的对称轴为直线x＝2的是( )
A．y＝x2－2
B．y＝－x2＋2
C．y＝－(x－2)2
D．y＝(x＋2)2
返回
7.
D
对于二次函数y＝3(x＋4)2，其图像的顶点坐标为( )
A．(0，4)
B．(0，－4)
C．(4，0)
D．(－4，0)
返回
8.
A
二次函数y＝－5(x＋3)2的最大值是( )
A．0
B．－5
C．3
D．－3
返回
9.
D
对于二次函数y＝9(x－1)2，下列结论正确的是( )
A．y随x的增大而增大
B．当x＞0时，y随x的增大而增大
C．当x＞－1时，y随x的增大而增大
D．当x＞1时，y随x的增大而增大
返回
10.
C
[2025秦皇岛期末]若点A(－1，y1)，B(2，y2)在抛物线
y＝(x＋2)2上，则y1，y2的大小关系是( )
A．y1＞y2
B．y1≥y2
C．y1＜y2
D．y1≤y2
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11.
(－3，0)
抛物线y＝－4(x＋3)2与x轴的交点坐标是________，与y轴的交点坐标是__________.
(0，－36)
返回
12.
＜
如果二次函数y＝a(x＋3)2有最大值，那么a________0，当x＝________时，函数值最大，最大值是________.
－3
0
返回
13.
解：这条抛物线的表达式为y＝3(x＋2)2.
(8分)已知一条抛物线的开口方向和形状与抛物线
y＝3x2的都相同，顶点与抛物线y＝(x＋2)2的相同．
(1)写出这条抛物线的表达式；
平移后的抛物线的表达式为y＝3(x－2)2.
(2)将(1)中的抛物线向右平移4个单位长度，写出平移后的抛物线的表达式.
返回
14.
A
已知抛物线y＝(x－1)2经过点A(－2，t)，B(m，n)．关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是( )
结论Ⅰ：t的值为9；
结论Ⅱ：若n＜9，则m的取值范围是－2＜m＜4.
A．结论Ⅰ，Ⅱ都对 B．结论Ⅰ，Ⅱ都不对
C．只有结论Ⅰ对 D．只有结论Ⅱ对
返回
15.
B
[2025邯郸一模]如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点P，Q都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛物线相交于A，B，C，D四点，若AB＝10，
BC＝5，CD＝6，则PQ的长度为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
返回
16.
1或6
已知二次函数y＝－(x－h)2(h为常数)，当自变量x满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为－1，则h的值为________.
17.
(2)点B(2，－2)在这个函数图像上吗？若不在，你能通过左、右平移函数图像，使它过点B吗？若能，请写出平移方案.
返回
18.
(12分)如图，二次函数y＝(x＋2)2的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B.
(1)求点A，B的坐标，并计算△AOB的面积；
解：抛物线y＝(x＋2)2的对称轴是直线x＝－2.
(2)写出抛物线的对称轴；
解：存在．∵以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形，
且点P在直线x＝－2上，∴易得AP∥OB，AP＝OB＝4.
当点P在点A的上方时，点P的坐标为(－2，4)，
当点P在点A的下方时，点P的坐标为(－2，－4)．
综上所述，点P的坐标为(－2，4)或(－2，－4)．
(3)在对称轴上是否存在一点P，使以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
返回(共24张PPT)
第三十章 二次函数
30．5
二次函数与一元二次方程的关系
返回
x1＝2，x2＝－4
1.
一元二次方程x2＋2x－8＝0的根是________________，所以抛物线y＝x2＋2x－8与x轴的公共点坐标是__________________.
(2，0)，(－4，0)
返回
2.
B
[2025保定月考]已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的图像如图所示，对称轴为直线x＝1，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的解为( )
A．x1＝－2，x2＝3
B．x1＝－1，x2＝3
C．x1＝－3，x2＝3
D．x1＝1，x2＝3
返回
3.
C
若方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别是－3和1，那么二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像的对称轴是直线( )
A．x＝－3
B．x＝－2
C．x＝－1
D．x＝1
4.
(16分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，利用图像解答下列各题：
(1)方程ax2＋bx＋c＝0的根是_______________；
(2)方程ax2＋bx＋c＝5的根是________________；
(3)方程ax2＋bx＋c＝－4的根是__________；
x1＝－1，x2＝3
x1＝4，x2＝－2
x1＝x2＝1
方程无实数根．
(4)写出方程ax2＋bx＋c＝－6的根的情况.
返回
返回
5.
B
二次函数y＝x2－2x＋1的图像与x轴的交点有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．不能确定
返回
6.
C
[2025张家口期末]二次函数y＝x2－□x＋1的图像与x轴只有一个交点，则“□”中的数可以为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
返回
7.
A
若函数y＝x2－2x＋b的图像与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是( )
A．b＜1且b≠0
B．b＞1
C．0＜b＜1
D．b＜1
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8.
2
抛物线y＝2x2＋2(k－1)x－k(k为常数)与x轴交点的个数为________.
返回
9.
C
如图，以(1，－4)为顶点的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的正数解的范围是( )
A．2＜x＜3
B．3＜x＜4
C．4＜x＜5
D．5＜x＜6
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10.
B
根据表格中二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程ax2＋bx＋c＝0的一个解x的范围是( )
A.0＜x＜0.5
B．0.5＜x＜1
C．1＜x＜1.5
D．1.5＜x＜2
x 0 0.5 1 1.5 2
y＝ax2＋bx＋c －1 －0.5 1 3.5 7
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11.
C
若二次函数y＝ax2＋bx＋1的最大值为3，则关于x的方程ax2＋bx＋1＝2的实数根的情况是( )
A．有两个相等实根
B．没有实根
C．有两个不等实根
D．无法确定
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12.
C
把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．抛物线
y＝－x2＋1与x轴的交点为A，B(A在B的右边)，抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内(包括边界)共有整点( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．4个以上
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13.
C
[2025石家庄期末]若一元二次方程x2＋bx＝0的解为x1＝0，x2＝－2，在函数y＝x2＋bx的图像上有两点A(1，y1)，B(－5，y2)，则( )
A．y1＝y2
B．y1＞y2
C．y1＜y2
D．无法确定
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14.
C
[2024湖北中考]已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的顶点坐标为(－1，－2)，与y轴的交点在x轴上方．下列结论正确的是( )
A．a＜0
B．c＜0
C．a－b＋c＝－2
D．b2－4ac＝0
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15.
A
已知二次函数y＝－x2＋m2x和y＝x2－m2(m是常数)的图像与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图像对称轴之间的距离为( )
A．2
B．m2
C．1
D．2m2
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16.
－1或2或1
若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图像与x轴只有一个交点，则a的值为______________.
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17.
4
如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于点A(1，0)，点B(3，0)，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当CD∥x轴时，CD＝________.
18.
(12分)[2025连云港中考]已知二次函数
y＝x2＋2(a＋1)x＋3a2－2a＋3，a为常数．
(1)若该二次函数的图像与直线y＝2a2有两个交点，求a的取值范围；
解：因为该二次函数的图像与x轴有交点，
所以4(a＋1)2－4×1×(3a2－2a＋3)＝
－8a2＋16a－8＝－8(a－1)2≥0，所以8(a－1)2≤0，
又因为8(a－1)2≥0，
所以8(a－1)2＝0，所以a＝1.
(2)若该二次函数的图像与x轴有交点，求a的值；
(3)求证：该二次函数的图像不经过原点.
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19.
已知二次函数y＝x2－4x－5及一次函数y＝－x＋b，将该二次函数图像在x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图像的其余部分不变，得到一个新图像，当直线
y＝－x＋b与新图像有4个交点时，b的取值范围是____________.(共23张PPT)
第三十章 二次函数
30．2 二次函数的图像和性质
第5课时
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质
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D
1.
用配方法将二次函数y＝x2－8x－3化成y＝a(x－h)2＋k的形式为( )
A．y＝(x＋4)2－3
B．y＝(x＋4)2－7
C．y＝(x－4)2－13
D．y＝(x－4)2－19
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2.
－2
若y＝ax2＋bx可配方为y＝－2(x－2)2＋8，则a＝______，b＝______.
8
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3.
求二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像的对称轴和顶点坐标．
解：将y＝ax2＋bx＋c的二次项系数化为1，
得y＝a(x2＋________x)＋c.
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4.
x＝5
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5.
D
二次函数y＝2x2＋6x＋1的图像大致是( )
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6.
B
若二次函数y＝－x2＋2mx＋1取最大值时x＝1，则m的值为( )
A．－1
B．1
C．2
D．－2
返回
7.
D
[2025邯郸月考]若抛物线y＝ax2＋4x＋5的开口向下，则a的值可以是( )
A．0
B．1
C．2
D．－2
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8.
B
已知二次函数y＝2x2－4x＋5，当函数值y随x的增大而增大时，x的取值范围是( )
A．x＜1
B．x＞1
C．x＜2
D．x＞2
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9.
D
若点(2，5)，(6，5)是抛物线y＝ax2＋bx＋c上的两个点，则它的对称轴是( )
A．直线x＝1
B．直线x＝2
C．直线x＝3
D．直线x＝4
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10.
＜
[2024内江中考]已知二次函数y＝x2－2x＋1的图像向左平移两个单位长度后得到抛物线C，点P(2，y1)，Q(3，y2)在抛物线C上，则y1______y2(填“＞”或“＜”).
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11.
y＝－2(x＋1)2＋6
[教材P37例3(1)变式]已知抛物线y＝－2x2＋mx＋n的顶点坐标为(－1，6)，则这条抛物线的表达式为__________________.
12.
解：将点(2，6)的坐标代入y＝x2－2ax＋2a，
得6＝22－2a×2＋2a，
解得a＝－1，
∴抛物线的表达式为y＝x2＋2x－2.
(8分)在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2－2ax＋2a(a为常数)．
(1)当抛物线经过点(2，6)时，求抛物线的表达式；
10
(2)当a＝1时，若0≤x≤4，则函数的最大值为________，最小值为________.
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1
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13.
A
[2025福建中考]已知点A(－2，y1)，B(1，y2)在抛物线
y＝3x2＋bx＋1上，若3A．1B．y1<1C．1D．y2<1返回
14.
D
[2025邯郸二模]在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，3)，点B的坐标为(－2，2)．将二次函数y＝mx2－2mx＋m－2(m≠0)的图像先向左平移a(a＞0)个单位长度，再向上平移b(b＞0)个单位长度得到图像M，使得图像M的顶点落在线段AB上．关于a，b的取值，三人的说法如下：
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15.
A
[2024泸州中考]已知二次函数y＝ax2＋(2a－3)x＋a－1(x是自变量)的图像经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为( )
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16.
2
将抛物线y＝ax2＋bx＋3向下平移5个单位长度后，经过点(－2，4)，则6a－3b－7＝________.
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17.
3
如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2－2x＋4上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为________.
18.
解：把点P(－2，3)的坐标代入
y＝x2＋ax＋3，得3＝(－2)2－2a＋3，解得a＝2.
(8分)如图，已知二次函数y＝x2＋ax＋3的图像经过点P(－2，3)．
(1)求a的值．
∵a＝2，∴y＝x2＋2x＋3.
把x＝2代入y＝x2＋2x＋3，得y＝11，∴当m＝2时，n＝11.
(2)已知点Q(m，n)在该二次函数图像上．
①当m＝2时，求n的值；
2≤n＜11.
②若点Q到y轴的距离小于2，直接写出n的取值范围.
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19.
解：把a＝1代入y＝ax2－2a2x，
得y＝x2－2x＝(x－1)2－1，
∴抛物线的顶点坐标为(1，－1)．
(8分) [2024北京中考]在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2－2a2x(a≠0)．
(1)当a＝1时，求抛物线的顶点坐标；
(2)已知M(x1，y1)和N(x2，y2)是抛物线上的两点．若对于 x1＝3a，3≤x2≤4，都有y1返回
