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第二十九章 直线与圆的位置关系
河北特色题型专练一
1.
在一次数学实践活动课上，嘉淇同学在图①上，按下列步骤进行画图：
第一步：将三角板的直角顶点放在圆上任意一点C(与点A不重合)处，使三角板一直角边经过点A，另一直角边与圆交于点B，连接AB，如图②；
第二步：如图③，移动该三角板使其直角顶点与A重合，一直角边经过点B，画出另一直角边所在的直线AD.
嘉淇得到下面两个结论：
①线段AB是圆的直径；
②直线AD与圆相切．
下列说法正确的是( )
A．①正确②不正确
B．①不正确②正确
C．①②都正确
D．①②都不正确
C
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2.
3.
如图①，将一个正方形纸片沿虚线对折两次，得到图②，按照图②所示剪去一个腰长为2的等腰直角三角形，展开后得到一个如图③所示的正八边形，将剪下的四个等腰直角三角形拼成一个正方形，放在正八边形内部，MN与BA重合，L为EF的中点，连接LK.
(1)图①中的正方形纸片的边长为________；
(2)将正方形JKMN绕点A顺时针旋转________度，JN与HA重合，此时LK的长为________.
45
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4.
如图，A，B，C，D均为圆周上的十二等分点，若用直尺测量弦CD的长时，发现点C，D分别与刻度1和4对齐，则A，B两点之间的距离是( )
C
5.
[2025河北中考]2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”．如图，这是一幅眼肌运动训练图，其中数字1～12对应的点均匀分布在一个圆上，数字0对应圆心．图中以数字0～12对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．若该圆的半径为1，则这条线段的长为____________.
眼肌运动训练图
使用方法：以0，1，2，3，…的顺序沿着箭头方向移动眼球，移动一圈后再回到原点，反复进行.
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第二十九章 直线与圆的位置关系
培优拔高练 圆的综合问题
1.
(8分)如图①，AB是半圆形量角器的直径，点O是半圆的圆心，DA与半圆O相切于点A，连接DO，与半圆O相交于点E，点E在量角器上对应的读数为60°(射线OA为0刻度线)．
(1)连接AE，BE，求证：△AOD≌△EAB.
(2)如图②，线段AM(AM＝AD)从AD的位置开始，绕点A顺时针旋转，射线AM与半圆O的交点为P，当点P与点B第一次重合时停止旋转．已知半圆O的直径为2.
①当射线AM经过△ADO的内心时，求点P在量角器上对应的读数；
解：当射线AM经过△AOD的内心时，连接OP，如图，
∵AM经过△AOD的内心，
∴AM平分∠DAB，∴∠MAB＝45°.
∵OA＝OP，∴∠APO＝45°，
∴∠AOP＝90°，即点P在量角器上对应的读数为90°.
②当点P在量角器上对应的读数为150°时，直接写出线段AM扫过的面积.
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2.
3或9
②当t＝2时，求阴影部分的面积.
解：如图②，连接ON，过点O作OF⊥MN于点F，
设l与AC交于点K. ∵t＝2，∴∠MOC＝60°.
由(1)知OC⊥AB.
∵直线l∥OC，∴直线l⊥AB.
∵OF⊥MN，∴四边形OFKC为矩形，
∴∠FOC＝90°，KF＝OC＝10，
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第二十九章 直线与圆的位置关系
专项突破1 与切线有关的证明
1.
(8分)如图，AC是⊙O的直径，P为半圆AC的中点，连接AP并延长至点B，使PB＝AP，连接CP，CB.
(1)求证：BC为⊙O的切线；
证明：∵AC是⊙O的直径，
∴∠APC＝90°，∴∠BPC＝90°.
∵P为半圆AC的中点，∴AP＝CP，
∴∠PAC＝∠PCA＝45°.
∵PB＝AP，∴PB＝PC，
∴∠PCB＝∠PBC＝45°，
∴∠ACB＝90°，∴OC⊥BC.
∵OC是⊙O的半径，∴BC为⊙O的切线．
(2)若AC＝4，则图中阴影部分的面积为________．
6－π
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2.
(8分)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD是⊙O的直径，AD，BC的延长线交于点E，延长CB交PA于点P，∠BAP＋∠DCE＝90°.
(1)求证：PA是⊙O的切线；
证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD＋∠BCD＝180°.
∵∠BCD＋∠DCE＝180°，
∴∠BAD＝∠DCE，
∵∠BAP＋∠DCE＝90°，
∴∠BAP＋∠BAD＝90°，
即∠OAP＝90°，∴AP⊥OA.
∵OA是⊙O的半径，∴PA是⊙O的切线．
6
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3.
(4分)如图，AB为⊙O的直径，AC，DC为弦，
∠ACD＝60°，P为AB延长线上的点，∠APD＝30°.
求证：DP是⊙O的切线.
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证明：连接OD.
∵∠ACD＝60°，
∴∠AOD＝2∠ACD＝120°，
∴∠ODP＝∠AOD－∠APD＝120°－30°＝90°，即OD⊥DP.
∵OD为⊙O的半径，
∴DP是⊙O的切线．
4.
(8分)如图，在△ABC中，AB＝AC，O是边AC上的点，以O为圆心，OC长为半径的圆分别交边BC，AC于点D，E，过点D作DF⊥AB于点F.
(1)求证：直线DF是⊙O的切线；
证明：连接OD.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.
∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠ACB，
∴∠B＝∠ODC，∴OD∥AB.
∵DF⊥AB，∴DF⊥OD.
∵OD为⊙O的半径，∴直线DF是⊙O的切线．
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5.
(8分)如图，PA与⊙O相切于点A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于点E.过点A作AB⊥PO于点D，交⊙O于点B，连接BC，PB.
(1)求证：PB是⊙O的切线；
证明：连接OB.
∵AB⊥PO，∴AD＝BD. ∵OA＝OB，OD＝OD，
∴△OAD≌△OBD(SSS)，∴∠AOD＝∠BOD.
又∵OA＝OB，OP＝OP，
∴△OAP≌△OBP(SAS)，∴∠OBP＝∠OAP.
∵PA与⊙O相切于点A，∴∠OAP＝90°，
∴∠OBP＝90°，即OB⊥PB.
∵OB是⊙O的半径，∴PB是⊙O的切线．
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6.
(8分)[2024武汉中考]如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AC与半圆O相切于点D，底边BC与半圆O交于E，F两点，连接AO.
(1)求证：AB与半圆O相切；
证明：连接OD，作OH⊥AB于点H，如图．
∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO平分∠BAC.
∵AC与半圆O相切于点D，
∴OD⊥AC.
∵OH⊥AB，
∴OH＝OD，即OH是⊙O的半径，∴AB与半圆O相切．
(2)若CD＝4，CF＝2，求sin∠OAC的值.
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7.
(8分)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，以点D为圆心，BD长为半径作⊙D.
(1)求证：⊙D与AC相切；
证明：过点D作DF⊥AC于点F.
∵CD平分∠ACB，∠ABC＝90°，
∴DF＝DB，即DF是⊙D的半径，
∴⊙D与AC相切．
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第二十九章 直线与圆的位置关系
章末整合练
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A
1.
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2.
C
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3.
如图，已知∠ACB＝30°，CM＝2，AM＝5，以点M为圆心，r为半径作⊙M，⊙M与线段AC有公共点时，r的取值范围是____________.
1≤r≤5
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4.
[2025秦皇岛期末]如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C为⊙O上一点，若∠ACB＝70°，则∠P的度数为( )
A．70°
B．50°
C．40°
D．20°
C
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5.
D
6.
(8分)如图，AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，∠CAB＝2∠EAB，点F在线段AB的延长线上，且∠AFE＝∠ABC.
(1)求证：EF与⊙O相切；
证明：连接OE. ∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，
∴∠FOE＝∠OAE＋∠OEA＝2∠OAE.
∵∠CAB＝2∠EAB，∴∠CAB＝∠FOE.
又∵∠AFE＝∠ABC，∴△ABC∽△OFE，∴∠ACB＝∠OEF.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∴∠OEF＝90°，即OE⊥EF.
又∵OE是⊙O的半径，∴EF与⊙O相切．
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7.
如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，AC，AB分别相切于点D，E，F，且∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则阴影部分(四边形CEOD)的面积为( )
A．4
B．6.25
C．7.5
D．9
A
8.
(8分)[教材P22习题B组T1变式]如图，⊙O是△GDP的内切圆，切点分别为A，B，H，EF与⊙O相切于点C，分别交PA，PB于点E，F.
(1)若△PEF的周长为12，则PA＝________；
6
(2)若∠G＝90°，GD＝3，GP＝4，求⊙O的半径.
∴OH⊥DG，OB⊥PG，PA＝PB，DA＝DH，
∴∠OBG＝∠OHG＝∠G＝90°，
∴四边形OBGH是矩形．
又∵OB＝OH＝r，∴四边形OBGH是正方形，
∴GB＝GH＝r.
∵GP＋GD＝GB＋PB＋GH＋DH＝2r＋PA＋DA＝2r＋5，
∴2r＋5＝4＋3，解得r＝1，
∴⊙O的半径为1.
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9.
B
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10.
该图是有公共顶点O的两个边长为4的正五边形(不重叠)，以点O为圆心，4为半径作弧，构成一个“蘑菇”形图案(阴影部分)，则这个“蘑菇”形图案的面积为( )
C(共5张PPT)
第二十九章 直线与圆的位置关系
微专项1 等分圆问题
a＜b
1.
如图，点P1～P8是⊙O的八等分点．若△P1P3P7，四边形P3P4P6P7的周长分别为a，b，则a，b的大小关系为________．
2.
如图，将⊙O的圆周12等分，圆内接矩形ABCD的面积为20，则圆内接正六边形的面积为________．
30
3.
将⊙O的圆周12等分，点A，B，C是等分点，如图，∠ADB的度数可能为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．65°
D
4.
2
12
P
D
11
1
B
10
>之
b
3
8
C
6
5(共22张PPT)
第二十九章 直线与圆的位置关系
阶段练习(29.1~29.4)
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A
1.
[2025保定期末]已知⊙O与直线l无公共点，若⊙O的直径为10 cm，则圆心O到直线l的距离可以是( )
A．6 cm
B．5 cm
C．4 cm
D．3 cm
一、选择题(每小题5分，共40分)
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2.
已知⊙O的半径为2，点A到圆心O的距离为1，则点A在( )
A．⊙O内
B．⊙O上
C．⊙O外
D．无法确定
A
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3.
若直线l与半径为6的⊙O相交，则圆心O到直线l的距离d满足( )
A．0≤d<6
B．d＝6
C．d＞6
D．0≤d≤6
A
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4.
如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线．以点A为圆心，AD长为半径作⊙A，则⊙A与BC的位置关系是( )
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定
B
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5.
如图，在平面直角坐标系中，⊙P经过A(8，0)，O(0，0)，B(0，6)三点，D是⊙P上的一动点．当点D到弦OB的距离最大时，点D的坐标是( )
A．(9，3)
B．(9，6)
C．(10，3)
D．(10，6)
A
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6.
如图，AB是⊙O的直径，DB，DE分别切⊙O于点B，C，若∠ACE＝18°，则∠D的度数是( )
A．18°
B．36°
C．48°
D．72°
B
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7.
[2025邯郸期末]如图，在一张Rt△ABC纸片中，
∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，⊙O是它的内切圆．小明用剪刀沿着⊙O的切线DE剪下一张三角形纸片ADE，则△ADE的周长为( )
A．4
B．5
C．6
D．8
C
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8.
△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF，已知∠B＝∠EAC，根据弦AB的变化，甲、乙两人分别探究直线EF与⊙O的位置关系．
甲：如图①，当弦AB过点O时，EF与⊙O相切；
乙：如图②，当弦AB不过点O时，EF也与⊙O相切．
下列判断正确的是( )
A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对
C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对
C
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9.
[2025安徽中考]如图，AB是⊙O的弦，PB与⊙O相切于点B，圆心O在线段PA上．已知∠P＝50°，则∠PAB的大小为________.
20°
二、填空题(每小题5分，共20分)
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10.
当A(1，2)，B(3，－3)，C(m，n)三点可以确定一个圆时，m，n需要满足的条件为__________.
5m＋2n≠9
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11.
如图，点O，I分别是锐角三角形ABC的外心、内心，若∠BAC＝8∠OAC＝48°，则∠BCI的度数为________.
24°
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12.
13.
三、解答题(共40分)
∵AB为⊙O的直径，CE⊥DA，
∴∠ACB＝90°＝∠AEC，
∴易得∠ABC＝∠ACE.
∵OB＝OC，∴∠BCO＝∠CBO，
∴∠BCO＝∠ACE，
∴∠ECO＝∠ACE＋∠ACO＝∠BCO＋∠ACO＝∠ACB＝90°，
∴EC⊥OC.
又∵OC是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线．
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14.
(12分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，以CD为直径的⊙O与直线AB相切于点E，连接OA，OA＝OB.
(1)求证：∠B＝30°；
证明：∵∠ACB＝90°，∴OC⊥AC.
又∵OC为⊙O的半径，∴AC为⊙O的切线．
∵AB为⊙O的切线，∴AO平分∠CAB，∴∠CAB＝2∠OAB.
∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB，
∴∠CAB＝2∠B.
∵∠ACB＝90°，∴∠CAB＋∠B＝90°，
∴2∠B＋∠B＝90°，∴∠B＝30°.
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15.
(16分) 如何仅用圆规和无刻度的直尺过圆外一点作已知圆的切线呢？请同学们阅读下面的分析：如图①，如果PA与⊙O相切于点A，那么PA⊥OA，即∠PAO＝90°，根据“圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径”可以得出：点A既在⊙O上，也在以OP为直径的圆上，是两圆的公共点．
(1)请根据上面的分析在图②中完成尺规作图：用圆规和无刻度的直尺先找出线段OP的中点Q，然后画以点Q为圆心，PQ的长为半径的圆就可以确定切点的位置，切点分别记为A，B，画出直线PA和PB，PA和PB即为经过圆外一点P的⊙O的两条切线；
解：如图，直线PA，PB即为所求．
(2)在(1)的条件下，若⊙Q的直径PO与⊙O交于点M，连接MA，MB，AB.求证：点M是△PAB的内心.
证明：如图，设OP交AB于点T，连接OA，OB.
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，PA＝PB，
∠OPA＝∠OPB，∴PT⊥AB，
∴∠MAT＋∠AMT＝90°. ∵OA⊥AP，
∴∠PAM＋∠MAO＝90°.
∵OA＝OM，∴∠MAO＝∠AMT，∴易得∠PAM＝∠MAB，
即AM为∠PAB的平分线．
同理可得BM为∠PBA的平分线，∴点M是△PAB的内心．
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