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第27章 圆
27. 2与圆有关的位置关系
2. 直线与圆的位置关系
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1. “海上生明月，天涯共此时．”如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是( )
A．相切 B．相交
C．相离 D．平行
B
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C
2．已知⊙O的半径是4 cm，圆心O到同一平面内直线l的距离为5 cm，则直线l与⊙O的位置关系是( )
A．相交
B．相切
C．相离
D．无法判断
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3. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以点A为圆心作一个半径为3的圆，则⊙A与BC所在直线的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
B
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4. 已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O半径为2，线段OA＝3，OB＝2，则直线AB与⊙O的位置关系为( )
A．相离 B．相交
C．相切 D．相交或相切
D
5. 在平面直角坐标系中，以点(－3，4) 为圆心，3为半径的圆与x轴________，与y轴__________．(均填“相交”“相切”或“相离”)
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相离
相切
6. (6分)教材P50例1变式如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以点C为圆心，r为半径的圆与直线AB有怎样的位置关系？请写出判断过程．
(1)r＝2; (2)r＝2.4; (3)r＝4.
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7. [教材P50练习T1变式]已知⊙O的半径为3，圆心O到直线l的距离为d，若直线l与⊙O没有公共点，则d的取值范围是( )
A．d＞3 B．d＜3 C．d≤3 D．d＝3
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A
返回
D
8．已知直线l与⊙O相交，圆心O到直线l的距离为6 cm，则⊙O的半径可能为( )
A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．7 cm
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9. 如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(－3，0)，将⊙P沿x轴的正方向平移，使得⊙P与y轴相切，则平移的距离为________.
1或5
10．(4分)如图，∠AOB＝30°，P是OA上一点，OP＝12 cm，以点P为圆心，r为半径作⊙P，若⊙P与OB有公共点，则r应满足什么条件？
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11．在 ABCD中，BC＝5，S ABCD＝20.以顶点C为圆心，BC长为半径作⊙C，则⊙C与边AD所在直线的公共点的个数是( )
A．3
B．2
C．1
D．0
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B
返回
4
12．⊙O半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是关于x的方程x2－4x＋m＝0的两个根，当直线l和⊙O相切时，m＝____.
13．[2025鹤壁模拟]如图，以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y＝－x＋b与⊙O相交，则b的取值范围是_________________.
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14．如图，⊙O的半径为2，圆心O到水平直线l的距离为d，即OM＝d.若把圆上到直线l的 距离等于1的点的个数记为m，由此可知：
(1)当d＝3时，m＝________；
(2)当m＝2时，d的取值范围是__________.
1
1＜d＜3
15．(4分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，以点C为圆心，r为半径作圆．若该圆与线段AB只有1个交点，求r的取值范围.
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16．(12分)设边长为2a的正方形的中心A在直线l上，它的一组对边垂直于直线l，半径为r的⊙O的圆心O在直线l上运动，点A、O间的距离为d.
(1)如图①，当r＜a时，
根据d、a、r之间关
系，将⊙O与正方形
公共点个数填入下表：
所以，当r＜a时，⊙O
与正方形公共点可能
有_______个；
d、a、r之间关系 公共点个数
d＞a＋r
d＝a＋r
a－r＜d＜a＋r
d＝a－r
d＜a－r
0
1
2
1
0
0、1或2
(2)如图②，当r＝a时，根据d、a、r之间关系，将⊙O与正方形公共点个数填入下表：
所以，当r＝a时，⊙O与正方形公共点可能有__________个；
d、a、r之间关系 公共点个数
d＞a＋r
d＝a＋r
a≤d＜a＋r
d＜a
0
1
2
4
0、1、2或4
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第27章 圆
27．1圆的认识
1.圆的基本元素
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1. 下列条件中，能确定一个圆的是( )
A．以点O为圆心
B．以3 cm为半径
C．以点O为圆心，3 cm为半径
D．经过已知点A
C
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B
2．下列图形中，∠1是圆心角的是( )
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3. 下列说法中，正确的是( )
A．半圆是弧，弧也是半圆
B．长度相等的弧是等弧
C．弦是直径
D．半径相等的两个圆是等圆
D
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4．如图，在⊙O中，________是弦，________是直径，__________是优弧，________是劣弧．
AC，AB
AB
5．已知⊙O的半径为3，则⊙O中最长的弦的长为________.
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6
6. 如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC＝40°，则∠AOC的度数为________.
100°
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7．如图，若BC是⊙O的弦，∠BOC＝90°，BC＝10，则⊙O的半径长为________.
返回
返回
84°
8．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠E＝28°，则∠AOC＝________.
返回
9. 如图，点B，E在半圆O上，四边形OABC和四边形ODEF均为矩形．若AB＝3，BC＝4，则DF的长为________.
5
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10．如图，⊙O的半径为6，AB是⊙O的弦，C是⊙O上一点，连结AC、BC，D、E分别是AB、BC的中点，则DE的最大值为______.
6
11．(8分)如图，AB、AC为⊙O的弦，连结CO、BO并延长，分别交AB、AC于点E、F，CE＝BF.
(1)求证：∠B＝∠C；
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(2)若∠B＝20°，则∠A＝________.
40°
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第27章 圆
27. 2与圆有关的位置关系
1. 点与圆的位置关系
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1. ⊙O半径为4 cm，若PO＝2 cm，则点P在⊙O________；若PO＝4 cm，则点P在⊙O______；若PO＝6 cm，则点P在⊙O______.
内
上
外
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C
2．若点A在⊙O内，点B在⊙O外，OA＝3，OB＝5, 则⊙O的半径r的取值范围是( )
A．0＜r＜3 B．2＜r＜8
C．3＜r＜5 D．r＞5
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3．若⊙P半径为5，圆心P的坐标为(－3，4)，则原点O与⊙P的位置关系是( )
A．原点O在⊙P内 B．原点O在⊙P上
C．原点O在⊙P外 D．无法确定
B
4．(8分)如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝3，∠C＝90°，以点C为圆心作⊙C，半径为r.
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(1)当r在什么范围时，点A，B在⊙C外？
(2)当r在什么范围时，点B在⊙C内，点A在⊙C外？
解：当0＜r＜3时，点A，B在⊙C外．
当3＜r＜4时，点B在⊙C内，点A在⊙C外．
5. [2025临汾期中]下列说法错误的是( )
A．过一点有无数个圆
B．过两点有无数个圆
C．过三点只能确定一个圆
D．过直线上两点和此直线外一点能确定一个圆
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C
6. 如图，一条圆弧过正方形网格A、B、C三点，则这条圆弧所在圆的圆心是点________．
Q
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7．如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为________.
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3
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C
8. 下列说法中，正确的是( )
A．一个三角形有无数个外接圆
B．三角形的外心在三角形外
C．三角形的外心到三个顶点的距离相等
D．三角形的外心是三角形三条角平分线的交点
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9．如图，AC，BE是⊙O直径，弦AD与BE交于点F，外心不是点O的三角形是( )
A．△ABE
B．△ACF
C．△ADE
D．△ABD
B
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10. 如图，点O是△ABC的外心，∠A＝50°，连结BO，CO，则∠BOC＝________.
100°
11．(8分)如图，小明家房前有一块矩形空地，空地上有三棵树A，B，C，连结AB，AC，BC，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛边上．
(1)请帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)．
解：如图，⊙O即为所求作的花坛的位置．
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(2)若在△ABC中，AB＝8米，AC＝6米，∠BAC＝90°，试求小明家圆形花坛的面积.
解：∵∠BAC＝90°，∴BC是⊙O的直径．
又∵AB＝8米，AC＝6米，∴BC＝10米．
∴△ABC外接圆的半径为5米．
∴小明家圆形花坛的面积为25π平方米．
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A
12．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是( )
A．①
B．②
C．③
D．④
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D
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14.若⊙O所在平面内有一点P，点P到⊙O上点的最大距离为8，最小距离为2，则⊙O的直径为__________.
6或10
15. [2025开封期末]如图，△ABC中，∠A＝60°，BC＝5 cm.能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是__________cm.
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16．如图，正方形纸片ABCD的中心O是△ABM的外心，则∠AMB＝________°.
135
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17．(8分)如图，矩形ABCD的边AB＝3，AD＝4.
(1)以点A为圆心，4为半径作⊙A，则点B，C，D与⊙A 的位置关系如何？
解：如图，连结AC，
∵AB＝3，AD＝4，∴易得AC＝5，
∵AB＜4，AD＝4，AC＞4，
∴点B在⊙A内，点D在⊙A上，
点C在⊙A外．
(2)若以点A为圆心作⊙A，使B，C，D 三点中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么？
解：∵ 以点A为圆心作⊙A，
使B，C，D 三点中至少有一个点在圆内，
且至少有一个点在圆外，
∴⊙A的半径r的取值范围是3返回
18．(8分)如图，在△ABD中，AE、BE分别平分∠BAD和∠ABD.延长AE交△ABD的外接圆于点C，连结CB，CD，ED.
(1)若∠CBD＝40°，求∠BAD的度数；
解：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAD＝2∠CAD，
∵∠CAD＝∠CBD＝40°，
∴∠BAD＝80°.
(2)求证：点C是△BDE的外心．
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19.如图，在矩形ABCD中，AB＝4米，AD＝6米．点P以每秒5米的速度从点A出发，沿折线AB→BC运动，连结PD，总有AQ⊥PD，垂足为Q.连结CQ，当CQ取得最小值时，点P运动了________秒.
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第27章 圆
27．1圆的认识
2．圆的对称性
第1课时 圆心角、弧、弦之间的关系
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1. [2025郑州期末]下列说法正确的是( )
A．弧相等，它们所对的圆心角相等
B．弦相等，它们所对的弧相等
C．在同圆中，圆心角不相等，它们所对的弦不相等
D．弦相等，它们所对的圆心角相等
C
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C
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①②③④
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120°
5. 圆是中心对称图形，________是对称中心；圆又是轴对称图形，它的对称轴有________条，________________是它的对称轴.
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圆心
无数
直径所在的直线
6．如图是三个同心圆，圆心为O，AB＝4，CD⊥AB于点O，则图中阴影部分的面积为___________．
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π
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C
返回
返回
返回
C
A
B
D(共25张PPT)
第27章 圆
27．3圆中的计算问题
第2课时 圆锥的侧面展开图
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1. 下列图形中，是圆锥侧面展开图的是( )
B
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C
2．圆锥的底面半径是1，母线长是3，它的侧面展开图的圆心角是( )
A．90° B．100°
C．120° D．150°
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B
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4．若圆锥侧面展开图的面积是15π，母线长是5，则该圆锥的底面半径是______.
3
5．如图，用一个圆心角为120°，半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计)，那么这个圆锥的高为________.
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6. [2025周口期末]如图，冰激凌蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积(接缝忽略不计)是( )
A．80 cm2
B．40 cm2
C．80π cm2
D．40π cm2
D
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7．已知圆锥侧面展开图是一个半径为5 cm，弧长为6π cm的扇形，则圆锥全面积是( )
A．15π cm2 B．15 cm2
C．24π cm2 D．124 cm2
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C
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A
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9．如图，AB是圆锥的母线，BC 为底面直径．已知BC＝6 cm，圆锥的侧面积为15π cm2，则sin∠ABC 的值为________.
10．如图是一顶近似圆锥形的帐篷，其侧面展开后是一个半径为3 m、圆心角为120°的扇形，制作这顶帐篷(侧面与底面)需要多少平方米的材料？(结果保留π)
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11.如图，从矩形铁皮上剪下一个圆形和一个扇形，使之恰好围成一个圆锥模型．设扇形半径为R、圆形半径为r，则R与r之间的关系对应的图象大致为( )
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C
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12.如图，物体由两个圆锥组成，其主视图中，∠A＝90°，∠ABC＝105°，上面圆锥侧面积为1，则下面圆锥侧面积为________.
13．如图，从一块直径为8 m的圆形铁皮上剪下一个圆心角为90°的扇形并围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径是________m.
返回
返回
14．如图，圆锥底面圆直径BC长是6 cm，母线AC长是6 cm，一只蚂蚁在圆锥表面从B点爬到AC的中点D，最短路径长是________cm.
15．(8分)如图是一个纸杯，母线AC和EF延长后形成的立体图是圆锥，其侧面展开图是扇形AOB.纸杯上开口圆的直径AE＝6 cm，下底面直径CF＝4 cm，母线长EF＝8 cm.
(1)求扇形AOB的圆心角；
(2)求这个纸杯的表面积(计算结果用π表示).
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16．(8分)综合与实践
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如图①所示：①一张直径为10 cm的圆形滤纸；②一只漏斗口直径与母线长均为7 cm的圆锥形过滤漏斗．
【实践操作】
步骤1：取一张滤纸；
步骤2：按如图②所示步骤折叠好滤纸；
步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；
步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图①所示漏斗中．
【实践探索】
(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处)？用你所学的数学知识说明．
(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．(结果保留π)
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第27章 圆
27. 2与圆有关的位置关系
3. 切线
第1课时 切线的判定与性质
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1. 下列说法中，正确的是( )
A．AB垂直于⊙O半径，则AB是⊙O切线
B．经过半径外端的直线是圆的切线
C．经过切点的直线是圆的切线
D．圆心到直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线
D
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∠OAP＝90°(答案不唯一)
2．如图，点A在⊙O上，要使PA是⊙O的切线，需要添加的一个条件是_______________________.
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3．如图，已知∠AOB＝30°，M为边OB上任意一点，以M为圆心，3 cm为半径作⊙M.当OM＝________cm时，⊙M与OA相切.
6
4．(4分)如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC，DE⊥AC.求证：直线DE为⊙O的切线.
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证明：连结OD，如图所示，
∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，∴AC∥OD，
∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，
又∵OD是⊙O的半径，∴直线DE为⊙O的切线．
5. 如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，若∠BAC＝35°，则∠ACB等于( )
A．35°
B．45°
C．55°
D．65°
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C
6．[2025安徽中考改编]如图，AB是⊙O的弦，PB与⊙O相切于点B，圆心O在线段PA上，连结OB.已知∠P＝50°，则∠PAB的大小为________.
20°
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7．[2025吕梁期末]以O为中心点的量角器与直角三角尺ABC如图所示摆放，直角顶点B在零刻度线所在直线DE上，且量角器与三角尺只有一个公共点P，若点P的读数为45°，则∠CBD的度数是________.
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45°
返回
3
8．如图，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于点D，AE是⊙O的切线，AE交OC的延长线于点E.若∠AOC＝60°，BC＝3，则线段AE的长为__________.
9．(8分)2025信阳二模如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB交⊙O于点C，D为OB上一点，连结CD并延长交⊙O于点E.
(1)尺规作图：作⊙O的切线EF，交AB的延长线于点F；(保留作图痕迹，不写作法)
解：如图所示，EF即为所求．
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(2)求证：△DEF是等腰三角形．
证明：∵EF是⊙O的切线，∴OE⊥EF，
∴∠OEF＝90°＝∠OEC＋∠FED，
∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠C，
∵OC⊥AB，∴∠ODC＋∠C＝90°＝∠FDE＋∠C，
∴∠FED＝∠FDE，∴FE＝FD，
∴△DEF是等腰三角形．
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10. 如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列坐标对应的格点的连线中，能够与该圆弧相切的是( )
A．(0，3) B．(1，3)
C．(6，0) D．(6，1)
B
11．如图，在△ABC中，∠BAC＝28°，以AB 为直径的⊙O交AC于点D，DE∥CB，连结BD.若添加一个条件，使BC是⊙O 的切线，则下列四个条件中不符合的是( )
A．DE⊥AB
B．∠EDB＝28°
C．∠ADE＝∠ABD
D．OB＝BC
D
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C
12．[2025福建中考]如图，PA与⊙O相切于点A，PO的延长线交⊙O于点C，AB∥PC，且交⊙O于点B.若∠P＝30°，则∠BCP的大小为( )
A．30° B．45°
C．60° D．75°
13．如图，PA与⊙O相切于点A，连结OA，OP，PO交⊙O于点B，点C在PA上，连结CB，且CB＝CA.若OA＝5，PA＝12，则CA的长为________.
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14．如图，正方形ABCD的边长为6，E是DC边的中点，F是BC边上的动点，连结EF，以点F为圆心，EF长为半径作⊙F.当⊙F与正方形ABCD的边相切时，BF＝______________.
15．(8分)传统农具扇车是最早利用离心原理分离糠谷的农具．东东画出了风扇部分的平面图(如图)，AE为⊙O的直径，弦BC⊥AE交AE于点D，
地面上的点F在AD的延长线上，
连结CF，AB，AC，AD＝BC
＝80 cm，∠BCF＝∠BAC.
(1)求证：CF是⊙O的切线；
证明：如图，连结CO并延长交⊙O于点G，连结BG，
∵∠BAC＝∠BCF，∠BGC＝∠BAC，∴∠BCF＝∠BGC，
∵CG是⊙O的直径，∴∠GBC＝90°，
∴∠BGC＋∠GCB＝90°，
∴∠BCF＋∠GCB＝90°，即∠GCF＝90°，
∴OC⊥CF，又∵OC为⊙O的半径，∴CF是⊙O的切线．
(2)求风扇中心O到地面F的距离．
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16. 如图，⊙M的圆心为M(4，0)，半径为2，P是直线y＝x＋4上的一个动点，过点P作⊙M的切线，切点为Q，则PQ的最小值为__________.
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第27章 圆
27. 2与圆有关的位置关系
3. 切线
第2课时 切线长定理与三角形的内切圆
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1. 如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，OP交⊙O于点C，连结AB，下列结论错误的是( )
A．∠1＝∠2
B．PA＝PB
C．AB⊥OP
D．PC＝OC
D
返回
60°
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3. 如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，P，C，D为切点．AB＝5，AC＝3，则BD＝______.
2
4．(4分)[教材P56习题T7变式]如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB，AC分别与小圆相切于点D、E.求证：AB＝AC.
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5. 如图，⊙O是△ABC的内切圆，D为切点，则点O是△ABC三条________的交点，连结OB，OD，若∠ABC＝40°，则∠BOD＝________.
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角平分线
70°
6．如图，点P是△ABC的内心，△PAB，△PBC，△PAC的面积分别为S1、S2、S3，则S1________S2＋S3.(填“<”或“＝”或“>”)
＜
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7. [教材P55练习T2变式]如图，⊙O为△ABC的内切圆，D、E、F为切点，AB＝18，BC＝28，CA＝26，则AF＝________.
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8
8．(4分)2025许昌期末如图，点I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D，连结BD.求证：BD＝ID.
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证明：如图，连结BI.
∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI.
又∵∠CBD＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠CBD.∴∠BID＝∠ABI＋∠BAD＝∠CBI＋∠CBD＝∠IBD.∴BD＝ID.
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9. 如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连结OI，OB，IA.若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为( )
A．15° B．17.5°
C．20° D．25°
C
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10．如图，EA，ED是⊙O的切线，切点为A，D，点B，C在⊙O上，若∠BAE＋∠BCD＝236°，则∠E＝______.
68°
11．小明测量一个圆形铁环半径，他将铁环、含30°角的三角尺和直尺按如图所示方式摆放，铁环与三角尺和直尺分别相切，此时PA＝5 cm，则铁环半径为________ cm.
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7
12.如图，⊙O是△ABC的内切圆，DE与⊙O相切，分别交AB，AC于点D，E，连结OD，OE，若△ABC的周长为25，BC＝9，∠A＝52°，则△ADE的周长为________，∠DOE＝________.
64°
13．(8分)如图，AB、BC、CD分别与⊙O切于点E、F、G，AB∥CD.连结OB、OC，延长CO交⊙O于点M，作MN∥OB交CD于点N，OB＝6，OC＝8.
(1)求证：MN是⊙O的切线；
(2)求⊙O的半径及MN的长.
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14．(8分)如图，△ABC的内切圆⊙I与AB，BC，CA分别切于点F，D，E.
(1)若∠A＝60°，则∠BIC＝______，
∠FDE＝______；
120°
60°
(2)若∠BIC＝α，∠FDE＝β，试猜想α与β的关系，并说明理由.
解：α＝180°－β.理由如下：
连结FI，IE，则∠FIE＝2∠FDE，
∵⊙I是△ABC的内切圆，
∴∠IFA＝∠IEA＝90°，∴∠A＝180°－∠EIF＝180°－2∠FDE＝180°－2β，
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方法指导：如图，△ABC中，AB，BC，CA的长分别为c，a，b，△ABC的内切圆⊙O的半径为r，△ABC的面积为S.
1．如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∠A＝90°，BC＝5，CA＝4，则⊙O的半径是________．
1
2．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，I为△ABC的内心，则AI＝________．
5
3．如图，点D为△ABC的内心，过点D作一条平分△ABC面积的直线，则被分成的两个图形的周长比是________．
1∶1(共25张PPT)
第27章 圆
27．3圆中的计算问题
第1课时 弧长与扇形的面积
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C
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150°
2．一个扇形的半径为6，弧长等于5π，则扇形的圆心角度数为________.
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3．若扇形AOB的弧长为3π，∠AOB＝90°，则扇形AOB的半径为________.
6
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4. 如图，一个半径为5 cm的定滑轮带动重物上升了2π cm，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则滑轮上某一点P旋转了________°.
72
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7. 一个半径为6的扇形的圆心角为60°，则该扇形的面积为( )
A．6π B．3π C．2π D．π
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A
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C
8．已知一个扇形的面积是12π，弧长是2π，则这个扇形的半径为( )
A．24 B．36 C．12 D．6
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9．[教材P63练习T1变式]时钟的分针长6厘米，从上午8：10到上午8：30，分针扫过的面积是________平方厘米.
12π
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10.如图是小明绘制的本校铅球场地示意图，该场地由⊙O和扇形OBC组成，OB，OC分别与⊙O交于点A，D.OA＝
1 m，OB＝10 m，∠AOD＝40°，
则阴影部分的面积为________m2.
11π
11．(1)[教材P63习题T4变式]两个扇形的圆心角相等，大扇形面积是小扇形的9倍，则大扇形半径是小扇形的________倍．
(2)[教材P62练习T2变式]圆的两条半径把圆分成两个扇形，面积比为7∶2，若大扇形面积为π，则圆的半径为________.
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3
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A
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16．如图①，在扇形OAB中，∠O＝60°，点P从点O出发，沿O→A→B以1 cm/s的速度匀速运动到点B.图②是点P运动过程中，△OBP的面积y(cm2)随时间x(s)变化的图象，则扇形OAB的周长是________cm.
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17.如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形边长为2，则这个“莱洛三角形”的面积是________.
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18．(8分)如图，将两块量角器完全重合在一起(量角器的直径为AB，圆心为O)，保持下面一块不动，上面一块沿AB所在的直线向左平移，当圆心与点A重合时，停止平移，此时半圆O与半圆A交于点P，连结BP.
(1)判断BP与半圆A的位置关系，并说明理由；
解：BP与半圆A相切．理由如下：
如图，连结PA.
∵AB为半圆O的直径，
∴∠APB＝90°，即AP⊥BP.
又∵PA为半圆A的半径，
∴BP与半圆A相切．
(2)若AB＝4，求图中阴影部分的面积.
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19.如图，直线y＝2x＋3与坐标轴交于A，B两点，点P是线段AB(不包括点B)上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线y＝x＋4于点Q，△OPQ绕点O按逆时
针方向旋转30°得到△ODC，边PQ扫过
区域(阴影部分)面积的最大值是_______.
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第27章 圆
27．4正多边形和圆
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1. 如图，正五边形ABCDE的内切圆是小⊙O，点F是切点，外接圆是大⊙O，则正五边形ABCDE的中心是点______，半径是________，中心角是________，边心距是______.
O
OB(或OC)
∠BOC
OF
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D
2．下列说法不正确的是( )
A．正多边形的内切圆和外接圆是同心圆
B．各边相等的圆内接多边形是正多边形
C．各角相等的圆外切多边形是正多边形
D．圆内接正多边形一定是中心对称图形
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3. 正多边形的中心角是30°，那么这个正多边形的边数是( )
A．12 B．10 C．8 D．6
A
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4．[2024南阳模拟]如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连结OC，OD，则∠BAE－∠COD等于( )
A．60°
B．54°
C．48°
D．36°
D
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A
6．如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，对角线AE为⊙O直径，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB＝________.
22.5°
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7．若正方形的边长为8，则其外接圆半径与内切圆半径分别为____________.
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8．如图，⊙O的内接正方形和外切正方形的边长之比为________.
9．(4分)如图，正六边形ABCDEF的顶点都在以原点为圆心，半径为2的圆上．求正六边形ABCDEF各顶点的坐标.
解：由题意可知OB＝OE＝2，∴B(0，2)，E(0，－2)，
如图，连结AO，过A作AH⊥OB于点H，
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10.在半径为R的圆上依次截取长为R的弦，顺次连结各分点得到的多边形是( )
A．正三角形 B．正四边形
C．正五边形 D．正六边形
D
11．(4分)[教材P67习题T1变式]用圆规、直尺、量角器画出半径为2 cm的圆的内接正五边形.
解：如图，先作半径为2 cm的圆，再依次作72°的圆心角，与圆交于A，B，C，D，E，依次连结圆上各点，从而作出正五边形ABCDE.
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12．(4分)如图，已知⊙O，点A在圆上，用尺规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH.(保留作图痕迹，不写作法)
解：如图，正八边形ABCDEFGH即为所求．
13．蜂巢是严格的六角柱形体，如图，可从中抽象出正六边形．按图中所示方法，用若干个全等的正六边形排成圆环状，则需要正六边形的个数是( )
A．4
B．5
C．6
D．7
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C
14. 如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC .甲、乙两人的作法分别是：
甲：①作OD的垂直平分线，交⊙O于B，C两点；②连结AB，AC，△ABC即为所求的三角形.
乙：①以点D为圆心，OD的长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点； ②连结AB，BC，CA，△ABC即为所求的三角形.
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对于两人的作法，判断正确的是( )
A．甲、乙均正确
B．甲、乙均错误
C．甲正确，乙错误
D．甲错误，乙正确
A
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15
3.12
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18．(12分)如图①②③，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连结OM，ON.
(1)求图①中∠MON的度数；
(2)图②中∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________；
90°
72°
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(3)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系(直接写出答案)．(共27张PPT)
第27章 圆
27．1圆的认识
2．圆的对称性
第2课时 垂径定理及其推论
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BE
∠BOC
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6
2．如图，⊙O的半径为10，弦AB＝16，ON⊥AB于点N，则ON＝________.
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3．[教材P40练习T2变式]如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE＝4，则⊙O的半径为________.
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C
5. 如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝42°，D是弦AC的中点，则∠DOC＝________.
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48°
3 cm
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7. 如图，从半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片，则弦AB＝______ cm.
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24
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6
9．(4分) “圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5 m，地面入口宽为1 m，求该门洞的半径.
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B
11.⊙O的半径为13 cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝24 cm，CD＝10 cm，则AB和CD之间的距离为____________.
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7 cm或17 cm
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25
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(1)求∠BAO的大小；
(2)若点E在⊙O上，BE∥AO，求BE的长．
解：如图，连结OB，OE，
∵BE∥OA，∴∠ABE＝∠OAD＝30°，
易知∠OBA＝30°，∴∠OBE＝60°，
又∵OB＝OE，∴△BOE是等边三角形，
∴BE＝OB＝OA＝2.
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15．(8分)如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，AB＝20 m，∠BAD＝15°.
(1)CD的长为________m；
(2)矩形MNPQ是一艘船水面以上部分的截面图，宽NP＝10 m，高PQ＝2 m．若该船随水面上升1 m，请说明该船能否通过该桥洞.
解：如图①，连结OD，过点O作OH⊥MQ，
分别交CD，MQ于点E，F，交半圆O于点H，
则OD＝OH＝10 m，EF＝PQ＝2 m，
∵CD∥AB，∴∠CDA＝∠DAB＝15°，
又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO＝15°，
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90°
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1．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点E，若CD＝8，OE＝3，则AC＝________．
2．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，点E是BO的中点，⊙O的半径是4，若∠AED＝45°，则CD＝________．
8(共28张PPT)
第27章 圆
27．1圆的认识
3. 圆周角
第1课时 圆周角定理
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1. 下列图形中的角是圆周角的是( )
B
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4
∠D，∠C
∠A，∠B
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3. 如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O上的一点，∠C＝31°，则∠B的度数是( )
A．59°
B．60°
C．62°
D．69°
A
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4．[教材P41思考变式]如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC＝32°，则∠B的度数是( )
A．58°
B．60°
C．64°
D．68°
A
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A
6. [2025重庆中考]如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝100°，∠C的度数是( )
A．40°
B．50°
C．80°
D．100°
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B
7．[教材P46习题T9变式]如图，⊙O的弦AB，CD相交于点E.若∠A＝46°，∠AED＝87°，则∠B的度数是( )
A．23°
B．31°
C．41°
D．46°
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C
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8．[2025成都二模]如图，AC是⊙O的直径，点B，D在⊙O上，若∠ABD＝60°，CD＝2，则AD＝________.
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9．如图，点D在⊙O上，半径OA平分弦BC，若∠D＝35°，则∠C＝________.
20°
10．(8分)2025重庆期末如图，A，B，C，D是⊙O 上的四个点，AC平分∠DAB.
(1)求证：CD＝BC；
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(2)若∠DAC＝35°，∠ACD＝45°，求∠ADB的度数．
解：∵∠DAC＝35°，∴∠DBC＝35°.
∵BC＝CD，∴∠CDB＝∠DBC＝35°.
∵∠ACD＝45°，∠DAC＝35°，
∴∠ADC＝180°－45°－35°＝100°，
∴∠ADB＝∠ADC－∠CDB＝65°.
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C
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B
13. 如图，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数为________.
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55°
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14.如图，AB是圆的直径，∠1，∠2，∠3，∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1，∠4的一边分别经过点A，B，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝________°.
90
15．如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是55°，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装________台这样的监视器.
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4
(1)若∠EAB＝∠EBA，求∠ACD的度数；
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17．(8分)如图①，在⊙O中，弦CD⊥直径AB于点E，连结AC，DB，AC＝6，DB＝4.
(1)求直径AB的长；
(2)小慧说：“若将条件中的‘直径AB’改为‘弦AB’，其余条件不变(如图②)，⊙O的直径仍不变．”小慧的说法正确吗？请说明理由．
解：小慧的说法正确．理由如下：
如图②，连结AO，延长AO交⊙O于点F，连结CF，
则AF为⊙O的直径，∴∠ACF＝90°，
∴∠ACD＋∠FCD＝90°，
又∵AB⊥CD，∴∠DBE＋∠BDE＝90°，
∵∠DBE＝∠ACD，∴∠FCD＝∠BDE，
返回(共25张PPT)
第27章 圆
27．1圆的认识
3. 圆周角
第2课时 圆周角定理的推论
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1. [教材P44练习T3变式]用曲尺检查某弧形工件，则下列能判断该工件为半圆的是( )
B
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A
2．[教材P43思考变式]如图所示，每一张方格纸上都画有一个圆，只用不带刻度的直尺就能确定圆心位置的是( )
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3. 丽丽的圆形镜子摔碎了，为了配一面同样大的镜子，她测量镜面半径如下：将三角尺的直角顶点C放在镜子圆框上，两直角边分别与圆框交于点A，B(如图)，测得CA＝8 cm，CB＝6 cm.由此可知该镜面的半径是________cm.
5
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4. 如图，四边形ABCD内接于⊙O.
(1)若∠A＝50°，则∠C的度数是________；
(2)若四边形ABCD的一个外角∠CBE＝70°，
则∠D的度数是________.
130°
70°
5. [2025南阳期末]如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠A＝∠B，则AB与CD的位置关系是__________.
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AB∥CD
6．[教材P46习题T10变式]四边形ABCD内接于⊙O，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶5，则∠D的度数为( )
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°
C
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7. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，∠ABD＝20°，则∠BCD的大小是( )
A．90°
B．100°
C．110°
D．120°
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C
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B
9．(4分)如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上的一点，连结AC，BD，若DA＝DB，求证：CD平分∠ACE.
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证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠DAB＋∠DCB＝180°.
∵∠DCE ＋∠DCB＝180°，∴∠DAB＝∠DCE.
∵DA＝DB，∴∠DAB＝∠DBA，∴∠DBA＝∠DCE.
∵∠DBA与∠DCA是同弧所对的圆周角，∴∠DBA＝∠DCA，
∴∠DCA＝∠DCE，即CD平分∠ACE.
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C
11．如图，五边形ABCDE内接于⊙O，若∠CAD＝35°，则∠B＋∠E＝________.
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215°
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60°或120°
13．如图，点A，B，C，D，E都在⊙O上，BE是直径，BE∥CD，∠E＝28°，则∠A＝______.
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62°
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14. 如图，点A，B，C均在破损量角器的圆周上，对应的刻度分别是55°，100°，135°，则∠ABC＝________.
140°
15．[2025洛阳模拟]如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝90°，∠BCD＝120°，AB＝4，AD＝5，则⊙O的半径为__________.
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16．(8分)如图，四边形ABDC是⊙O的内接四边形，AD是对角线，过点A作EA⊥AD交DB的延长线于点E，AB＝AC.
(1)求证：∠ABE＝∠ACD；
证明：∵四边形ABDC是⊙O的内接四边形，
∴∠ABD＋∠ACD＝180°.
∵∠ABE＋∠ABD＝180°，∴∠ABE＝∠ACD.
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(2)连结BC，若BC为⊙O的直径，求证：BE＝CD.
解：∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.
∴∠CAD＋∠BAD＝90°.∵AE⊥AD，∴∠EAD＝90°，
∴∠EAB＋∠BAD＝90°，∴∠EAB＝∠CAD.
17．(12分)如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F.
(1)若∠E＝∠F，求证：∠ADC＝∠ABC；
证明：∵∠E＝∠F，∠ECD＝∠FCB，
∠ADC＝∠E＋∠ECD，∠ABC＝∠F＋∠FCB，
∴∠ADC＝∠ABC.
(2)若∠E＝∠F＝42°，求∠A的度数；
解：由(1)知∠ADC＝∠ABC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC＋∠ABC＝180°，
∴∠ADC＝∠ABC＝90°.
∴∠A＝90°－∠F＝48°.
(3)若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β，请你用含有α，β的代数式表示∠A的大小.
解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠A＋∠BCD＝180°，∠ABC＋∠ADC＝180°.
∵∠ECD＋∠BCD＝180°，∴∠ECD＝∠A.
∴∠BCF＝∠ECD＝∠A.
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