(共19张PPT)
第27章 圆
专项突破11 求阴影面积的方法
方法1 公式法
方法指导
所求阴影部分为扇形、三角形或特殊四边形时，直接用面积公式进行求解．
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1．如图，点A，B，C是⊙O上的点，∠ACB＝40°，若⊙O的半径为3，则阴影部分的面积为( )
A．π
B．2π
C．3π
D．4π
B
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方法2 和差法一、直接和差法
方法指导
所求阴影部分的面积可以看成扇形、三角形、特殊四边形面积相加减．
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D
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二、构造和差法
方法指导
第一步：连半径、构扇形 第二步： 找和差 第三步：求解
S阴影＝S△OBD＋S扇形DOC 用公式法表示扇形、三角形的面积，再进行加减运算
S阴影＝S△ODC－S扇形DOE S阴影＝S扇形BOE＋S△COE－S扇形COD 5. 如图，等边三角形ABC的边长为4，以BC为直径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，则图中阴影部分的面积为___________.
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6．如图，在矩形ABCD中，BC＝4，CD＝2，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，连结BD，则阴影部分的面积为________.
π
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方法3等积转化法 方法指导
一、直接等面积转化(CD∥AB)：S阴影＝S扇形COD.
二、平移转化法(E，F分别为AB，CD的中点)：S阴影＝S正方形BEFC.
三、对称转化法(点D为AB的中点)：S阴影＝S扇形ACB－S△ADC.
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8．[2025成都中考]如图，⊙O的半径为1，A，B，C是⊙O上的三个点．若四边形OABC为平行四边形，连结AC，则图中阴影部分的面积为________.
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9．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E，F分别是AD，BC的中点，分别以点A，B为圆心，AE长为半径作弧，两弧交AB于点G，以EF为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为________.
8
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10．如图，已知正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交对角线AC于点E.以点A为圆心，AC长为半径作弧交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积为________.
2π
方法4容斥原理 方法指导
有的阴影部分面积是由两个基本图形互相重叠得到的．常用的方法是：两个基本图形的面积－被重叠图形的面积＝ 组合图形的面积．
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π－2(共34张PPT)
第27章 圆
章末整合练
圆心
半径
直径
圆内
d＝r
d＞r
垂直平分线
d＜r
d＝r
d＞r
垂直
半径
垂直
角平分线
弧长
半径
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一、基础考点演练
考点1圆的有关概念
1. 下列命题中正确的是( )
A．弦是圆上任意两点之间的部分
B．半径是弦
C．直径是圆中最长的弦
D．弧是半圆，半圆是弧
C
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40°
2．如图，点C，D在⊙O上，AB为直径，∠BOC＝70°，AD∥OC，则∠AOD＝______.
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D
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考点3圆心角、圆周角定理
5. [2025成都二模]如图，AB是⊙O的直径，点C，D在圆上，∠ADC＝52°，则∠BOC等于( )
A．52° B．76°
C．70° D．48°
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B
6．[2025临汾期末]如图，△ACD内接于⊙O，点B在⊙O上，BC⊥AC，若AC＝6，∠ADC＝30°，则⊙O的直径为________.
12
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∠1(答案不唯一)
8．(12分)如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，连结CO并延长交AB于点D，交⊙O于点E，连结EA，EB.
(1)写出图中一个度数为30°的角：_______________，
图中与△ACD全等的三角形是________；
△BCD
(2)求证：△AED∽△CEB；
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(3)连结OA，OB，判断四边形OAEB的形状，并说明理由．
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考点4 点、直线与圆的位置关系
9. 在平面直角坐标系中，⊙A的半径为5，点A，P的坐标分别为(4，0)，(0，3)，则点P在⊙A ________．(填“内”“外”或“上”)
上
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10．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，以点C为圆心，r为半径作圆，若圆与AB相离，则r的取值范围为__________.
0＜r＜4.8
考点5 切线的性质与判定
11. 如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D.∠C＝28°，则∠CDA的度数为________.
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121°
12．(12分)2025驻马店二模如图，在等腰三角形ABC中，AC＝BC，以AC为直径作⊙O，⊙O与边AB交于点P.
(1)用尺规过点P作PQ⊥BC，垂足为Q(不写作法，保留作图痕迹)；
解：如图所示．
(2)在(1)的基础上，说明PQ为⊙O的切线；
证明：如图，连结OP，由(1)知PQ⊥BC，∴∠BQP＝90°，
∵AC＝BC，∴∠A＝∠B，
∵OA＝OP，∴∠A＝∠OPA，
∴∠B＝∠OPA，∴OP∥BC，
∴∠OPQ＝∠BQP＝90°，∴OP⊥PQ，
又∵OP为⊙O的半径，∴PQ为⊙O的切线．
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(3)在(1)的基础上，若AB＝14，BC＝25，求∠BPQ的正切值．
考点6 切线长定理及三角形的内切圆
13．如图，等边三角形ABC的内切圆图形来自我国的太极图，其中黑、白两部分关于△ABC的内心成中心对称．若△ABC的边长为6，则圆中黑色部分的面积是________.
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14. [2025乐山一模]如图，过圆外一点P向⊙O作切线PA和PB，已知⊙O的半径为3，PA＝4，则弦AB＝________.
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11π
16．如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以OB为直径作半圆交AB于点D，连结OD，则阴影部分的面积是________.
π－2
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17．[2025长春期末]如图，扇形纸片的圆心角为100°，半径为8 cm.圆锥的母线长为8 cm，底面半径为3 cm.将扇形纸片贴合在圆锥侧面上，还有一部分空缺，则还需剪出一张半径为8 cm，圆心角为________的扇形纸片.
35°
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考点8 正多边形与圆
18.(8分)如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，AC、BD相交于点P.若⊙O的半径为1.
(1)求AC的长；
(2)求∠APD的度数.
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【点拨】如图，过点O作OH⊥AC于点G，交⊙O于点H.
结合题图②可知，AG＝2，HG＝1，
设OG＝a，则OA＝OH＝a＋1.
在Rt△AOG中，OG2＋AG2＝AO2，
【答案】C
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思想2 转化思想
20.如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，AC⊥BC于点C，AD⊥BD于点D，若∠DBC＝30°，AB＝10，则AC的长为______.
【点拨】∵半圆O的圆心O在AB上，且直径FG＝6，∴OF＝3.①当半圆O与AD相切于点T时，如图①，则OT⊥AD，OT＝3，过点O作OH⊥AB于点H，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∴四边形AHOT为矩形，∴AH＝OT＝3，∴FH＝AH－AF＝2，
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第27章 圆
综合与实践
1．(12分)
如何确定拱桥形状？ 问题 背景 河面上有一座拱桥，对它的形状，同学们各抒己见．有同学说拱桥是抛物线，也有同学说是圆弧．为了确定拱桥的形状，九年级
综合实践小组开展了一次探究活动.
素材一 在正常水位时，小组成员对水面宽度和拱顶离水面的距离进行了测量并绘制了如图所示的示意图，水面宽AB为16 m，拱顶离水面的距离CD为4 m.
素材二 大雨过后，水位上涨．小组成员对水面宽度和拱顶离水面的距离进行了两次测量，发现当水面宽12 m时，水位(相对正常水位)上涨1.9 m；当水面宽8 m时，水位(相对正常水位)上涨3.1 m.
素材三 如何检验探究过程中提出的假设是否符合实际情况呢？
定义：残差平方和是实际观测值与预测值之间差的平方和，反映了基于假设算得的预测值与实际观测值之间的差异．残差平方和越小，说明预测值与实际观测值之间的误差越小，提出的假设与实际情况更为接近.
假设一 小组成员首先假设拱桥形状是
抛物线．根据素材一建立如图
所示的平面直角坐标系，求该
抛物线的表达式.
假设二 小组成员又提出拱桥可能是圆弧，请根据素材一求出该圆弧的半径.
解：设圆心为O，连结OB，OD，如图所示，
由题意得OD⊥AB，O，D，C共线，
CD＝4 m，AD＝BD＝8 m，
设圆的半径为r m，则OD＝(r－4) m，
∵OD2＋BD2＝OB2，
分析判断 基于假设一和假设二，请分别计算水面宽12 m和8 m时水位上涨的预测值，直接填入下表(数据保留两位小数)，并结合素材三分别求出两种假设下数据的残差平方和，判断拱桥更接近哪种形状．(参考数据： ≈4.583)
水面宽12 m 水面宽8 m
水位上涨的实际观测值(m) 1.90 3.10
假设一的预测值(m) ________ 3.00
假设二的预测值(m) 2.00 ________
1.75
3.17(共21张PPT)
第27章 圆
专项突破12 隐形圆问题
模型1定点定长作圆 模型分析
如图，在平面内，点A为定点，点B为动点，且AB 长度固定，则点B的轨迹是以点A为圆心，AB 的长为半径的圆.
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1．如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD .若∠BAC＝70°，则∠BDC＝________.
35°
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2．[2025南阳一模]如图，△ABC和△ADE为等边三角形，N、M分别为BC、DE中点，AB＝6，AD＝4，△ADE绕点A旋转过程中，MN的最大值为______，最小值为______.
3
(2)当线段CD绕点C在平面内旋转时，求线段BE长度的最大值．
解：∵BE⊥AE，∴∠BEA＝90°，∴点E是在以AB为直径的圆上运动，∵CD＝1，且CD在平面内绕点C旋转，∴点D是在以C为圆心，以1为半径的圆上运动．
如图，当AE与圆C相切于点D，
且D在△ABC的外部时，∠BAE最大，
即BE最大，连结CE，
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模型2四点共圆 模型分析
(1)如图①②，∠ADC＝∠ABC＝90° .则点A，B，C，D在同一个圆上，AC 为该圆的直径．
(2)如图③，AB为△ABC和△ABD的公共边，且点C，D在AB 的同侧，∠C＝∠D，则点A，B，C，D 在同一个圆上．
(3)如图④，在四边形ABCD中，∠ADC＋∠ABC＝180°，则点A，B，C，D在同一个圆上，四边形ABCD的外接圆的圆心O 为任意一组邻边的垂直平分线的交点．
4．[2025吉林模拟]如图，点A，B的坐标分别为(3，0)，(0，4)，点C是x轴正半轴上一点，连结AB，BC.过点A垂直于AB的直线与过点C垂直于BC的直线交于点D，连结BD，则sin∠BDC＝________.
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5．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝1，AE⊥AD，交BC于点E，EA平分∠BED，ED交AC于点F.当点F是AC中点时，四边形ABCD的周长是________.
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6. (6分)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝6，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，四边形ABCD 的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由.
解：四边形ABCD 的面积存在最大值．
如图①，连结BD，作△ABD的外接圆⊙O，
过点A作AE⊥BD于点E，
∵∠DAB＝60°，∠DCB＝120°，
∴∠DAB＋∠DCB＝180°，
∴A，B，C，D四点共圆，即点C在⊙O 上．
∵AD＝AB，∠DAB＝60°，∴△ADB是等边三角形，
∴BD＝AB＝AD＝6，△ADB的面积为定值．
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模型3定弦定角作圆 模型分析
若线段AB的长及其所对的∠ACB的大小不变，则点C在以AB 为弦的圆上运动．
7．在平面直角坐标系中，已知点A(0，4)，B(0，－6)，C是x轴正半轴上的一个动点，当∠BCA＝45°时，点C的坐标为__________.
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(12，0)
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8．[2025信阳二模]如图，已知两条平行线l1，l2，A是l1上的定点，AB⊥l2于点B，点C，D分别是l1，l2上的动点，且满足AC＝BD，连结CD交线段AB于点E，BH⊥CD于点H，连结AH，当∠BAH最大时，
sin∠BAH的值为____________.
9．(6分)2025太原期末如图，点D在半圆O上，半径OB＝5，AD＝4，点C在弧BD上移动，连结AC，作DH⊥AC，垂足为H，连结BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是多少？
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第27章 圆
专项突破9 与圆的切线有关的计算与证明
方法展示
当已知圆的切线和切点时，通常需要连结圆心和切点，得到切线与半径垂直．
(1)求证：BE∥CD；
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(1)∠B的度数为________；
(2)求CE的长．
30°
解：连结OD，如图，
∵BC与⊙O相切于点D，
∴OD⊥BC，
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3. (8分)乐乐用绘图软件设计了一个“双连杆机构”，如图①，两个固定长度的“连杆”AP，BP的交点P在⊙O上，当点P在⊙O上转动时，带动点A，B分别在射线OM，ON上滑动，OM⊥ON.当AP与⊙O相切时，点B落在⊙O上，如图②.请就图②解
答下列问题.
(1)求证：∠PAO＝2∠PBO；
证明：连结OP，设射线ON的反向延长线与⊙O交于点Q，如图，∵OP＝OB，∴∠OPB＝∠PBO.
∵∠POQ为△POB的外角，
∴∠POQ＝∠OPB＋∠PBO＝2∠PBO.
∵AP与⊙O相切，∴∠APO＝90°.
∵OM⊥ON，∴∠POQ＋∠POA＝∠POA＋∠PAO＝90°，
∴∠PAO＝∠POQ，∴∠PAO＝2∠PBO.
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方法展示
涉及证明圆的切线时，一般有以下两种情况：(1)连半径，证垂直，得切线；(2)作垂直，证半径，得切线．
4．(8分)[2025东营中考]如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上异于A，B的点，连结AC，BC，点D在BA的延长线上，且∠DCA＝∠ABC，点E在DC的延长线上，且BE⊥DC.
(1)求证：DC是⊙O的切线；
证明：连结OC，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠ABC.
∵∠DCA＝∠ABC，∴∠DCA＝∠OCB.
∵AB是⊙O的直径，∴∠OCB＋∠ACO＝∠ACB＝90°，
∴∠DCA＋∠ACO＝90°，即∠OCD＝90°，∴DC⊥OC.
又∵OC是⊙O的半径，∴DC是⊙O的切线．
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5．(8分)2024武汉中考改编如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AC与半圆O相切于点D，底边BC与半圆O交于E，F两点，连结OA.
(1)求证：AB与半圆O相切；
证明：连结OD，作ON⊥AB交AB于点N，如图，
∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO⊥BC，AO平分∠BAC.
∵AC与半圆O相切于点D，
∴OD⊥AC，∴ON＝OD，
∴ON是半圆O的半径，∴AB与半圆O相切．
(2)若CD＝4，CF＝2，求sin∠OAC的值.
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(1)判断PM与⊙O的位置关系，并说明理由；
解：PM与⊙O相切．理由如下：
连结DO并延长交PM于点E，如图，
根据题意，可得OC＝DC，BO＝BD，
∵OC＝BO，∴OC＝DC＝BO＝BD，
∴四边形OBDC为菱形，∴OD⊥BC，∵OD＝OC＝OB，∴△OCD和△OBD都是等边三角形，
∴∠COD＝∠BOD＝60°，∴∠COP＝60°，∴∠EOP＝60°.
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第27章 圆
阶段练习(三)(27.1)
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一、选择题(每题5分，共35分)
1．已知⊙O中最长的弦的长是10 cm，则⊙O的半径是( )
A．5 cm B．4 cm C．3 cm D．2 cm
A
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C
2．下列说法：①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④圆心相同、半径相同的两个圆是同心圆．其中错误的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
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C
返回
B
返回
C
C
返回
返回
B
返回
67.5°
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9. [2025运城一模]如图，四边形ABCD内接于⊙O，点M在CB的延长线上，∠AOC＝110°，则∠ABM＝______.
55°
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10. 如图，CO，CB是⊙D的弦，⊙D分别与x轴、y轴交于点B，A，∠OCB＝60°，点A的坐标为(0，1)，则OB ＝________.
11．如图，小量角器的中心在大量角器的外缘边上，且零刻度线重叠．若外缘边上的公共点P对应大量角器的度数为40°，则对应小量角器的度数为________.
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70°
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12.⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，若OM∶OC＝3∶5，则AC的长为____________.
三、解答题(共40分)
13．(8分)如图，线段AB是半圆O的直径．
(1)利用尺规作线段AO的垂直平分线，分别与半圆O，线段AO交于C，E两点(不写作法，保留作图痕迹)；
解：如图所示，
直线CE即为所求．
(2)连结BC，求∠ABC的度数.
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14．(9分)如图，将一张矩形纸条拉直紧贴在一次性纸杯杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于C，D，A，B四点，利用刻度尺测得该纸条的宽度为3.5 cm，AB＝3 cm，CD＝4 cm，请你计算纸杯杯口的直径.
解：如图，取圆心O，过圆心O作MN⊥AB，
交AB于点N，交CD于点M，连结OD，OB，
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15．(11分)如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB＝AC，AD交BC于点E，连结BD.
(2) 若AE＝2，ED＝4，求AB的长.
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16．(12分)2025西安模拟如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，BC＝CD，过点C作CE，使得CD＝CE，交AD的延长线于点E.
(1)求证：AB＝AE；
(2)若AD＝DE＝2，求CD的长.
解：如图，连结BD.
∵∠BAD＝90°，
∴BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°.
由(1)可知AB＝AE.
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第27章 圆
阶段练习(四)(27.2)
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一、选择题(每题5分，共35分)
1．直线l与⊙O相交，点P在直线l上，若PO的长度等于⊙O半径，则点P的数量为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上
B
返回
B
2．如图，CE是⊙O切线，C为切点，连结CO并延长交弦AB于点D.若∠A＝40°，∠ACE＝70°，则∠CDB的度数为( )
A．50° B．60°
C．70° D．80°
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3. 如图，⊙O的半径为5，直线EF过⊙O上一点P，下列能判定直线EF与⊙O相切的是( )
A．OP＝5
B．OE＝OF
C．O到EF的距离是4
D．OP⊥EF
D
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4. 如图，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，连结AB，OP，OP与⊙O交于点D，连结BD，若∠APB＝56°，则∠ABD为( )
A．28° B．30°
C．31° D．34°
C
返回
B
6．如图，正方形ABCD的边长为4 cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过点A作半圆的切线，与半圆交于点F，与DC交于点E，则△ADE的周长为( )
A．6 cm
B．15 cm
C．9 cm
D．12 cm
D
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返回
D
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圆上
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9．如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是__________.
8≤AB≤10
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8
(－2，1)或(2，1)或(0，－1)
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2
12．[2025南阳二模]如图，△ABC中，AC＝5，AB＝4，BC＝3，D是平面内一点，CD＝1，连结AD，E为AD的中点，连结BE，则BE长的最小值为________，
最大值为________.
3
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三、解答题(共40分)
13．(7分)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，D，E分别是AB，AC的中点，以B为圆心，BC长为半径作⊙B，判断点D，E与⊙B的位置关系，并说明理由.
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14．(9分)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°.
(1)请作出△ABC的内切圆⊙O(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)．
解：如图，⊙O即为所求．
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(2)设(1)中作出的⊙O与边AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，BC＝8，AC＝6.
①∠AOB＝________；②BD＝________.
135°
6
(1)求证：AD是⊙O的切线；
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(1)连结OA，求证：∠EAO＝2∠ADC；
证明：如图，连结DO并延长，交⊙O于点G，连结AG，
∵CD为⊙O的切线，∴OD⊥CD，
∴∠ADC＋∠ADG＝90°，
∵DG为⊙O的直径，∴∠GAD＝90°，
∴∠G＋∠ADO＝90°，∴∠ADC＝∠G，
又∵∠AOD＝2∠G，∴∠AOD＝2∠ADC.
∵CD⊥CE，OD⊥CD，∴CE∥OD，
∴∠EAO＝∠AOD，∴∠EAO＝2∠ADC.
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第27章 圆
专项突破8 与圆的弧、弦、
圆周角有关的辅助线作法
类型1 构造同弧或等弧所对的圆周角、圆心角 方法展示
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1．[2024苏州中考]如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠OBC＝28°，则∠A＝________°.
62
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C
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C
4．(8分)[2025信阳期末]如图，四边形ABDC内接于⊙O，∠BOC＝120°，AD平分∠BAC交⊙O于点D.
(1)求证：四边形OBDC是菱形；
(2)若∠ABO＝15°，OB＝2，求弦AC的长．
解：连结OA.∵OB＝OA，∠ABO＝15°，
∴∠BAO＝∠ABO＝15°.∴∠AOB＝150°.
∴∠AOC＝360°－∠AOB－∠BOC＝
360°－150°－120°＝90°.
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类型2利用直径构造直角三角形(或利用直角三角形找到直径) 方法展示
5．[2025成都二模]如图，AB为⊙O的直径，若∠BAD＝74°，则∠C的度数为( )
A．14°
B．15°
C．16°
D．37°
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C
B
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(0，8)
8. (8分)如图，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC，AC分别交⊙O于点D，E，连结DE.
证明：连结AD.∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°.∴AD⊥BC.又∵AB＝AC，
∴BD＝CD，∠B＝∠C.
∵四边形ABDE为⊙O的内接四边形，
∴∠AED＋∠B＝180°.又∵∠AED＋∠CED＝180°，
∴∠B＝∠CED.∴∠CED＝∠C.∴CD＝DE.
∴BD＝DE＝CD.
(1)求证：BD＝DE＝CD；
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类型3构造圆内接四边形 方法展示
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9．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠BAC＝30°，则∠ADC的大小是( )
A．130°
B．120°
C．110°
D．100°
B
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10．[2025重庆模拟]如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝130°，则∠BOD的度数是( )
A．50°
B．60°
C．70°
D．100°
D
11．[2025太原期末]如图，点A，B，C，D均在⊙O上，∠AOD＝68°，AO∥DC，则∠B的度数为________.
56°
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返回
128°
返回
B
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25°
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第27章 圆
专项突破10 与内心有关的变式探究
1．(4分)教材母题如图，在△ABC中，AD、BD分别平分∠BAC和∠ABC，延长AD交△ABC的外接圆于点E，连结BE.求证：BE＝DE.
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证明：如图，
∵AD，BD分别平分∠BAC和∠ABC，
∴∠3＝∠4，∠1＝∠2.
又∵∠3＝∠5，∴∠4＝∠5.
∵∠EDB＝∠1＋∠4，∠DBE＝∠2＋∠5，
∴∠EDB＝∠DBE.∴BE＝DE.
母题剖析
1．基本框架：已知三角形角平分线的交点(内心)，解决与线段或角有关的问题．
2．核心知识点：
(1)内心的定义；
(2)圆周角定理及其推论：
(3)三角形的内、外角．
变式1 添加60 °角将等腰三角形特殊化为等边三角形
2.(4分)如图，E是△ABC内心，AE延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，连结BD.若⊙O的直径为10 cm，∠BAC＝60°，求DE的长.
解：如图，连结OB，OD.
∵点E是△ABC的内心，
∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD.
∵∠CAD＝∠CBD，
∴∠BAD＝∠CBD.
∵∠DBE＝∠CBD＋∠CBE，
∠BED＝∠BAD＋∠ABE，
∴∠DBE＝∠BED.∴DB＝DE.
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∵∠BAC＝60°，∠BAD＝∠CAD，
∴∠BAD＝30°.∴∠BOD＝2∠BAD＝60°.
又∵OB＝OD，∴△OBD是等边三角形．∴BD＝OD.
∵⊙O的直径为10 cm，
∴BD＝OD＝5 cm.∴DE＝BD＝5 cm.
变式2 添加等线段转化出两个等腰三角形
3. (4分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O直径，点E为△ABC内心，AE的延长线交⊙O于点D，延长AD至F，使DF＝DE，连结BF.求证：∠ACB＝2∠F.
证明：如图，连结BE、BD.
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAE＝∠CAE，∠EBA＝∠EBC.
∵∠DEB＝∠BAE＋∠EBA，
∠DBE＝∠DBC＋∠EBC，
∠DBC＝∠CAE，
∴∠DBE＝∠DEB.∴DB＝DE.
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又∵DF＝DE，∴DB＝DF.
∴∠DBF＝∠F.
又∵∠ACB＝∠BDA＝∠DBF＋∠F，
∴∠ACB＝2∠F.
变式3 增加圆内接四边形的外角平分线证平行
4. (4分)如图，点I是△ABC内心，BI延长线与△ABC外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD，BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G.
求证：(1)DG∥AC；
证明：如图．
∵点I是△ABC的内心，∴∠2＝∠7.
∵DG平分∠ADF，∴∠1＝∠FDG.
∵∠ADF＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠ADC＝180°，
∴∠ADF＝∠ABC.∴易得∠1＝∠2.
∵∠3＝∠2，∴∠1＝∠3.∴DG∥AC.
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(2)AD＝ID.
证明：∵点I是△ABC的内心，∴∠5＝∠6.
由(1)易知∠1＝∠7＝∠3.
∴∠4＝∠7＋∠5＝∠3＋∠6，
即∠4＝∠DAI，∴AD＝ID.
解：如图，连结BD.
∵点E是△ABC的内心，
∴∠3＝∠4，∠1＝∠2.
∵∠DBE＝∠4＋∠5，
∠DEB＝∠2＋∠3，∠1＝∠5，
∴∠DBE＝∠DEB，∴DE＝DB.
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6．(4分)如图，点E是△ABC的内心，∠BAC＝90°，线段AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆于点D.若△ABC的外接圆的直径是6，求BD的长.
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变式5 内心与外心“联手”
7.(8分)如图，△ABC内接于以AB为直径的⊙O中，点E是△ABC内心，AE的延长线与BC交于点F，与⊙O交于点D，⊙O的切线PD交AB的延长线于点P.
(1)试判断△BDE的形状，并给予证明；
解：△BDE为等腰直角三角形．
证明如下：如图．∵点E是△ABC的内心，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠6.
∵∠5＝∠2＋∠3，∠DBE＝∠1＋∠4，∠4＝∠6，
∴∠5＝∠DBE，∴DB＝DE.
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，
∴△BDE为等腰直角三角形．
(2)若∠APD＝30°，BE＝2，求AE的长．
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第27章 圆
阶段练习(五)(27.3~27.4)
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一、选择题(每题5分，共35分)
1．扇形的半径为20 cm，扇形的面积为100πcm2，则该扇形的圆心角为( )
A．120° B．100° C．90° D．60°
C
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B
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3. 如图，A，B，C，D是外角为40°的正多边形的顶点，O为正多边形中心，则∠AOD等于( )
A．100°
B．110°
C．120°
D．130°
C
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4. 一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆，则该圆锥的全面积是( )
A．48π B．45π C．36π D．32π
A
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B
C
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D
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9
二、填空题(每题5分，共25分)
8. 若圆锥底面圆周长为8π，侧面积为36π，则该圆锥的母线长为________.
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9．已知一个正六边形的半径为6，则其边心距为________.
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11．如图，MF为⊙O直径，OA⊥MF，用尺规作圆内接正五边形ABCDE的步骤如下：①作出OF的中点H；②以点H为圆心，HA为半径画弧，交MF于点G；③AG长即为正五边形边长，依次作出各等分点B，
C，D，E.若⊙O的半径为2，则
AB2＝___________.
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15．(12分)图①是某学校存放学生自行车的车棚示意图(尺寸如图所示)，顶部是圆柱侧面一部分，其展开图是矩形．图②是车棚顶部截面示意图，AB所在圆的圆心为点O.
(1)求AB所在⊙O的半径OA的长；
(2)车棚顶部是用一种帆布覆盖的，求覆盖棚顶的帆布的面积(不考虑接缝等因素，计算结果保留π).
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16．(12分)[2025郑州模拟]如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，作OD⊥AB交BC于点E，且DE＝DC.
(1)求证：直线CD是⊙O的切线；
证明：连结CO，如图．
∵DC＝DE，∴∠DCE＝∠DEC.
∵OD⊥AB，∴∠DOB＝90°.∴∠B＋∠BEO＝90°.
∵CO＝BO，∴∠B＝∠BCO.∵∠BEO＝∠DEC，
∴∠BCO＋∠DCE＝90°，即∠DCO＝90°.
∵OC为⊙O的半径，∴DC为⊙O的切线．
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