(共25张PPT)
第26章 二次函数
阶段练习(二)(26.2.3~26.3)
返回
一、选择题(每题5分，共35分)
1．函数y＝x2＋ax＋b的图象如图，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是( )
A．无解
B．x＝1
C．x＝－4
D．x1＝－1，x2＝4
D
返回
D
返回
3．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的一个交点为(3，0)，对称轴为直线x＝1，则当y≤0时，x的取值范围是( )
A．0＜x≤3
B．－2≤x≤3
C．－1≤x≤3
D．x≤－1或x≥3
C
返回
C
5．如图，顶点为(－3，－6)的抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－1，－4)，下列结论：①b2＞4ac；②ax2＋bx＋c≥－6；③若点(－2，m)，(－5，n)在抛物线上，
则m＞n；④一元二次方程ax2＋bx＋c＝
－4的两根为－5和－1.其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
返回
C
A
返回
返回
C
返回
y＝－(x＋2)(x－4)
二、填空题(每题5分，共20分)
8．过点(－2，0)和(4，0)的抛物线与y＝－x2的图象形状、开口方向均相同，则其表达式为_________________.
返回
9．[2024长春中考]若抛物线y＝x2－x＋c(c是常数)与x轴没有交点，则c的取值范围是________.
返回
10．某水果商以2元/千克的价格购进一批西瓜，以3元/千克售出，每天可卖200千克，若售价每降0.1元，每天可多卖40千克，则当定价为________元时能获得最大利润.
2.75
11．如图，平行四边形ABCD的顶点A，B在x轴上，AB＝4，C，抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A，B，顶点为D，将抛物线向左平移m个单位，再向下平移n个
单位，得到的抛物线过点C，D，
则m＝______，n＝________.
2
8
返回
(1)当m＝0时，
①两个函数图象的交点坐标为______________；
②直接写出y1＞y2时，x的取值范围；
(2)如图，当m＝－1时，点P和点Q分别是一次函数和二次函数图象上的点．当PQ∥x轴时，求PQ的最小值.
返回
13．(15分)我国新能源汽车发展迅猛，公共充电桩建设也快速推进．如图是一充电站的停车棚，其棚顶横截面可看作抛物线y＝－0.02x2＋bx＋c的一部分．支柱AO＝1.6 m，端点B的坐标为(6，2.68)．一辆纯电货车需充电，货车截面可看作长CD＝4 m，
高DE＝2.2 m的矩形．
(1)该抛物线的函数表达式为______________________；
(2)此货车能否完全停到车棚内？请说明理由；
y＝－0.02x2＋0.3x＋1.6
解：不能．理由如下：
若点D，E，B在同一竖直线上，
则OC＝OD－CD＝6－4＝2(m)，
当x＝2时，y＝－0.02×22＋0.3×2＋1.6＝2.12，
因为CF＝DE＝2.2 m，2.12 m<2.2 m，
所以此纯电货车不能完全停到车棚内．
(3)为确保车棚能容纳长5 m、高2.5 m的车辆进入充电，现采用抬高支柱OA的方式进行改造，则抬高的高度至少需要大于多少？
返回
解：设支柱OA抬高的高度为m m，则改造后棚顶横截面的表达式为y＝－0.02x2＋0.3x＋1.6＋m，因为要求改造后车棚能容纳长5 m、高2.5 m的车辆进入充电，所以当x＝6－5＝1时，y＝－0.02×12＋0.3×1＋1.6＋m＝1.88＋m＞2.5，解得m＞0.62，即支柱OA抬高的高度至少需要大于0.62 m.
14．(15分)已知抛物线G：y＝mx2－2mx－8m(m≠0)．
(1)抛物线G与x轴的交点坐标为_______________；
(4，0)，(－2，0)
返回(共13张PPT)
第26章 二次函数
专项突破6 抛物线与线段的交点问题
2
1
(2)点M是直线AB上一个动点，将点M向上平移2个单位得到点N，若线段MN与抛物线有公共点，求点M的横坐标m的取值范围．
解：易知抛物线表达式为y＝－x2＋2x，
直线表达式为y＝x－2.如图，
设点N在抛物线上，
则yN－yM＝2，即(－m2＋2m)－(m－2)＝2，
解得m＝0或m＝1，
返回
返回
y＝x2－2x
(1)抛物线的表达式为______________；
(2)当k＝1时，直线AB与y轴交于点D，与直线x＝2交于点E.若抛物线y＝(x－h)2－1与线段DE有公共点，求h的取值范围．
返回
4．(6分)2025平顶山一模改编已知二次函数y＝mx2－3mx－4m和点M(－1，1)，N(5，9m－1)，线段MN与此二次函数图象只有一个公共点，求m的取值范围.
解：当y＝0时，有mx2－3mx－4m＝0，
即x2－3x－4＝0，解得x1＝－1，x2＝4，
所以抛物线与x轴交于(－1，0)和(4，0)，
当m＞0时，因为抛物线过(－1，0)，
且M(－1，1)，1＞0，
所以点M在抛物线内部，
当点N在抛物线上或外部时，
抛物线与线段MN只有一个公共点，
将x＝5代入y＝mx2－3mx－4m，
得y＝25m－15m－4m＝6m，
返回(共9张PPT)
第26章 二次函数
专项突破5 函数图象信息题
返回
1. 如图，等边三角形ABC边长为2，点E，F，G分别在三边上，AE＝BF＝CG，设S△EFG＝y，AE＝x，则y关于x的函数图象大致是( )
D
返回
C
2．矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，等腰直角三角形OEF的斜边EF＝4.如图，CD在EF上，点A，O重合，向右平移△OEF，到点E、D重合时停止．
设AO为x，矩形ABCD
与△OEF重合面积为y，
则y关于x的函数图象
大致为( )
3. 把多个用电器连接在同一个插线板上．可能存在安全隐患．数学小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象(如图①)，插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象(如图②)．
返回
下列结论中错误的是( )
A．当P＝440 W时，I＝2 A
B．Q随I的增大而增大
C．I每增加1 A，Q的增加量相同
D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越多
C
返回
则说法正确的是( )
A．小球从刚接触弹簧就开始减速
B．当弹簧被压缩至最短时，小球速度最大
C．当小球的速度最大时，弹簧长度为10 cm
D．当小球下落至最低点时，弹簧长度为2 cm
C
5．如图①，正方形ABCD中，点P从点A出发，沿A－B－C方向匀速运动．QP⊥AP，交CD于点Q.设点P运动路程为x，CQ＝y，图②是y与x的关系图象，则AB的长为______.
返回
8
6．在钝角三角形ABC中(如图①)，AB＝AC，点P为边AB上一动点，连结PC，在直线CP的上方构造等腰直角三角形CPQ，使CP＝PQ，连结BQ，设BP的长为x，△BPQ的面积为y，若y关于x的函数图象
如图②所示，则△ABC的面积
为________.
返回(共18张PPT)
第26章 二次函数
专项突破2 二次函数的大小比
较及最值问题
－30
【母题】
1．已知A(－3，y1)，B(2，y2)两点都在抛物线y＝－2(x－1)2＋k上，比较y1，y2的大小．
方法1(代入法)：把点A，B的坐标分别代入y＝－2(x－1)2＋k中，因为y1－y2＝______，所以y1______y2.
＜
x＝1
方法2(增减性法)：抛物线的对称轴为直线________，点A关于对称轴对称的点的坐标为________．因为抛物线开口向下，所以在对称轴右侧，y随x的增大而________，又因为2＜________，所以y1________y2.
(5，y1)
减小
5
＜
方法3(距离法)：因为抛物线开口向下，所以抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值就越_______．因为点A到对称轴的距离比点B______(填“远”或“近”)，所以y1________y2.
小
远
＜
返回
h2>h1>h3
返回
【变式训练】
2.如图，小明练习跳远，他在某次跳跃时重心高度h(m)与起跳后时间t(s)之间的函数表达式为h＝－5t2＋3t，当t＝0.2，0.3，0.5时，所对应的重心高度h1，h2，h3的大小关系为__________.
y3＜y1＜y2
返回
3．已知抛物线y＝ax2＋2ax＋2(a<0)，A(－2，y1)，B(－1，y2)，C(3，y3)是该抛物线上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系为__________.
＜
返回
4．若点A(a－1，b)，B(a－2，c)在抛物线y＝x2－2ax＋1上，则b________c．(填“＞”或“＜”)
5．已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)是抛物线y＝x2＋4x－1上三点，若x1＜－2＜x3＜x2，|x1|＝|x3|，则y1，y2，y3的大小关系是______________.
返回
y1＜y3＜y2
t<－2或t>4
返回
返回
返回
m<－3
返回
9. 若一次函数y＝(a＋1)x＋a的图象经过第一、三、四象限，则二次函数y＝ax2－ax有最________值，为________.
大
返回
10．二次函数y＝－x2－2x＋c2－2c在－3≤x≤2的范围内有最小值－5，则c的值为________.
3或－1
11．当0≤x≤2时，二次函数y＝x2－2mx＋m2＋2m有最小值3，则m的值为________.
返回
－6
12．(8分)已知函数y＝－x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象经过点(0，－3)，(－6，－3)．
(1)b＝________，c＝________；
－3
(2)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值.
返回(共34张PPT)
第26章 二次函数
章末整合练
越小
向上
向下
左侧
右侧
增大
减小
小
减小
增大
大
ax2＋bx＋c(a≠0)
a(x－h)2＋k(a≠0)
a(x－x1)(x－x2)(a≠0)
有两个交点
有一个交点
无交点
返回
一、基础考点演练
1. [2025濮阳期末]二次函数y＝x2－4x＋1的图象的顶点坐标是( )
A．(0，－1) B．(2，－3)
C．(－2，3) D．(2，3)
B
返回
B
2．函数y＝bx－a2和y＝ax2－bx＋1(a，b为常数，且a≠0，b≠0)在同一平面直角坐标系内的图象可能是( )
返回
3．[2025威海中考改编]已知点(－2，y1)，(3，y2)，(7，y3)都在二次函数y＝－(x－2)2＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是__________．(用“＞”连接)
y2＞y1＞y3
返回
4．[2024镇江中考]对于二次函数y＝x2－2ax＋3(a是常数)，下列结论：①将这个函数的图象向下平移3个单位长度后得到的图象经过原点；②当a＝－1时，这个函数的图象在函数y＝－x图象的上方；③若a≥1，则当x＞1时，函数值y随自变量x的增大而增大；④这个函数的最小值不大于3.其中正确的是________(填写序号).
①②④
返回
3
6．(12分)2025河南中考改编在二次函数y＝ax2＋bx－2中，x与y的几组对应值如下表所示．
x … －2 0 1 …
y … －2 －2 1 …
(1)求二次函数的表达式；
(2)二次函数图象的顶点坐标为________，在给出的坐标系中画出二次函数的图象；
函数图象如图所示．
(3)将图象向右平移n个单位后，当0≤x≤3时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出n的值.
返回
7. 如图所示的抛物线过原点，将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的表达式为____________.
返回
y＝(x－3)2＋2
返回
y＝x2－4x＋3
(2)平移该抛物线，所得新抛物线的顶点在x轴上，且对称轴为直线x＝t，连结AB，若新抛物线与线段AB有公共点，求t的取值范围．
返回
返回
10. 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴两个交点之间的距离为10，且4a＋b＝0，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根为_______________.
x1＝7，x2＝－3
11．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于(－2，0)，对称轴为直线x＝1，以下结论：①b2－4ac>0；②b<0；③当y＞0时，－2①②④
返回
12．(12分)如图，抛物线y＝－x2＋2bx＋3与x轴交于A，B两点，点A(－1，0)，与y轴交于点C.
(1)抛物线的顶点坐标为________；
(2)设直线BC的表达式为y＝mx＋n，
则不等式－x2＋2bx＋3＞mx＋n
的解集为________；
0＜x＜3
(3)将直线BC向上平移p个单位，使平移后的直线与抛物线只有一个交点，求p的值．
返回
13. 如图，在长为20 m、宽为14 m的矩形花圃里建有等宽的十字形小径，若小径的宽不超过1 m，则花圃中阴影部分的面积有( )
A．最小值247 m2
B．最小值266 m2
C．最大值247 m2
D．最大值266 m2
返回
A
返回
14．某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有1个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需要对每个房间每天支出40元的各种费用，则宾馆每天可获得的最大利润是________元.
10 240
15．(12分)[2025郑州期末]如图，篮圈中心到地面的距离为3.05 m，小易在距篮下4 m处跳起投篮，篮球运行的路线是抛物线，当运行的水平距离为2.5 m时，篮球达到最大高度3.5 m，沿此抛物线篮球可准确落入篮圈内．
(1)建立如图所示的坐标系，求抛物线的表达式；
(2)小易身高1.8 m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25 m处出手，求出手时，他跳离地面的高度；
(3)球被投出后，近身防守的小强跳起拦截，小强最大能摸高3.05 m，若想拦截成功，则他与小易之间的距离不能超过多少米？
返回
解：当y＝3.05时，3.05＝－0.2x2＋3.5，
解得x＝1.5(舍去)或x＝－1.5.－1.5－(－2.5)＝1(m)，
所以他与小易之间的距离不能超过1 m.
返回
17.(8分)[2025洛阳期中]如图，抛物线y＝－x2＋2x过原点O，与直线y＝x－2交于点B，C.
(1)抛物线的顶点A的坐标为________，
点B，C的坐标分别是________________；
(2)在直线BC上方的抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
解：存在．如图，过点P
作PG∥y轴，交直线BC
于点G，
返回(共26张PPT)
第26章 二次函数
阶段练习(一)(26.1~26.2.2)
返回
D
返回
2．将抛物线y＝x2先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的表达式是( )
A．y＝(x－3)2＋4 B．y＝(x＋3)2＋4
C．y＝(x＋3)2－4 D．y＝(x－3)2－4
A
返回
3．抛物线y＝x2－4x＋m2＋5(m是常数)的顶点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
A
返回
4．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝－mx＋n2与二次函数y＝x2－m的图象可能是( )
B
5．已知一正方体的棱长是3 cm，设棱长增加x cm时，正方体的表面积增加ycm2，则y与x之间的函数关系式是( )
A．y＝6x2－36x B．y＝－6x2＋36x
C．y＝x2＋36x D．y＝6x2＋36x
返回
D
6．[2025新乡期末]如图，这是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，对称轴是直线x＝1，则下列说法正确的是( )
A．b<0
B．c＝－1
C．2a＋b＝0
D．4a＋2b＋c<0
C
返回
返回
B
返回
A
8．[2025福建中考]已知点A(－2，y1)，B(1，y2)在抛物线y＝3x2＋bx＋1上，若3A．1C．1返回
C
返回
a<－1
11．若函数y＝(m＋2)xm2－2是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为________.
返回
2
返回
返回
4
返回
14．如图，抛物线y＝ax2－x－1.5与x轴正半轴交于点A(3，0)．以OA为边作正方形OABC，延长CB交抛物线于点D，再以BD为边作正方形BDEF，则点E的坐标是___________________.
1
－4
(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴；
(3)当－2－1≤y<15.
(4)把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，则两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形(图②中阴影部分)的面积S为________．
返回
2
(1)小球被发射后________s时离地面的高度最大(用含v0的式子表示)；
(2)若小球离地面的最大高度为20 m，则小球被发射时的速度为________m/s；
20
返回
(3)按(2)中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为3 s．”已知实验楼高15 m，请判断他的说法是否正确，并说明理由.
解：小明的说法不正确．理由如下：
由(2)，得h＝－5t2＋20t，当h＝15时，15＝－5t2＋20t，
解得t1＝1，t2＝3，所以两次间隔的时间为3－1＝2(s)，
所以小明的说法不正确．
(1)点B的坐标为________；
(2)过点B的直线y＝kx＋b(其中k＜0)与 x轴相交于点C，过点C作直线l平行于y轴，P是直线l上一点，且PB＝PC，求线段PB的长(用含k的式子表示)，并判断点P是否在抛物线上．
返回(共34张PPT)
第26章 二次函数
专项突破7 二次函数与几何图形的综合
1.如图，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.若点E是抛物线对称轴与直线BC的交点，点F是抛物线的顶点，则EF的长为________.
2
返回
8
返回
3．如图，抛物线y＝－x2＋3x＋4交y轴于点A，交x轴正半轴于点B，直线l过点A，B，M是第一象限内抛物线上一点，过点M作MN∥x轴，交直线l于点N，则MN的最大值为________.
4
返回
4. (8分)[2025新乡模拟]如图①是某校劳动基地示意图，除线段OA，OB外的外轮廓可以近似看成一条抛物线的一部分，∠AOB＝90°，OA＝5 m，OB＝10 m．
如图②，李老师以O为原点，OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，取OB的中点C，连结AC，过点C作OB的垂线交抛物线于点D，
将基地划分为三个区域用于种植不同的
蔬菜，CD＝7.5 m.
(1)抛物线的函数表达式为_______________；
(2)为保证种植幼苗的成活率，需在抛物线上选取一点E，安装一个遮阳网△ACE，当遮阳网面积最大时，求这个最大面积及点E的横坐标.
返回
5. 如图，已知二次函数y＝mx2－4mx＋3m(m>0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连结AC，BC，若CA平分∠OCB，则m的值为________.
点拨：当y＝0时，0＝mx2－4mx＋3m，
解得x1＝1，x2＝3.
当x＝0时，y＝3m，
所以A(1，0)，B(3，0)，C(0，3m)，
所以OA＝1，OB＝3，OC＝3m.
过点A作AD⊥BC于点D，
因为CA平分∠OCB，OA⊥OC，
所以AD＝OA＝1，
返回
6. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于A(－1，0)，B(3，0)，交y轴负半轴于C，顶点为D，连结AC，BC，AD，BD.
(1)当△ABD是等腰直角三角形时，点D的坐标为________；
(1，－2)
(2)当△ABC是直角三角形时，a的值为________．
点拨：因为A(－1，0)，B(3，0)，所以OA＝1，OB＝3.
若△ABC是直角三角形，则只能是∠ACB＝90°.
又因为∠AOC＝90°，
所以∠ACO＋∠OAC＝∠BAC＋∠OBC＝90°，
所以∠ACO＝∠OBC，
返回
返回
8．(8分)已知抛物线L1：y＝x2＋bx＋c经过点M(2，－3)，与y轴交于点C(0，－3)．
(1)求抛物线L1的函数表达式；
(2)平移抛物线L1，设平移后的抛物线为L2，抛物线L2的顶点记为P，它的对称轴与x轴交于点Q，已知点N(2，－8)，怎样平移才能使得四边形MNPQ为菱形？
解：因为M(2，－3)，N(2，－8)，所以MN∥y轴，MN＝5.
由题意得PQ∥y轴，所以PQ∥MN，
所以当PQ＝MN＝5时，四边形MNPQ为平行四边形．
因为点Q在x轴上，所以设点Q的坐标为(m，0)，则点P的坐标为(m，－5)，要使得四边形MNPQ为菱形，
只需PN＝MN＝5，所以(m－2)2＋(－5＋8)2＝52，
解得m1＝6，m2＝－2，
所以点P的坐标为(6，－5)或(－2，－5)．
返回
因为y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，
所以抛物线L1的顶点坐标为(1，－4)，
所以当点P的坐标为(6，－5)时，将原抛物线L1先向右平移5个单位，再向下平移1个单位，可得到符合条件的抛物线L2；
当点P的坐标为(－2，－5)时，
将原抛物线L1先向左平移3个单位，再向下平移1个单位，可得到符合条件的抛物线L2.
9. (12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝－x2＋bx＋3与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，且OA＝OB，抛物线的顶点为M，连结AB，AM.
(1)求抛物线的函数表达式和顶点M的坐标；
解：因为抛物线y＝－x2＋bx＋3与y轴正半轴交于B点，令x＝0，得y＝3，所以B(0，3)，所以OB＝3.
因为OA＝OB，所以OA＝3，所以A(3，0)．
把点A(3，0)的坐标代入y＝－x2＋bx＋3，得－9＋3b＋3＝0，解得b＝2，所以抛物线的函数表达式为y＝－x2＋2x＋3.因为y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
所以顶点M的坐标为(1，4)．
(2)求sin∠BAM的值；
解：连结BM，因为A(3，0)，B(0，3)，M(1，4)，
所以BM2＝2，AB2＝18，AM2＝20，所以BM2＋AB2＝AM2，
所以△ABM是直角三角形，且∠MBA＝90°，
返回
(3)如果Q是线段OB上一点，满足∠MAQ＝45°，求点Q的坐标.(共10张PPT)
第26章 二次函数
专项突破1 根据函数性质判断函数图象
D
返回
C
返回
A
返回
D
返回
5. 在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝a(x＋c)2的图象可能为( )
返回
B
D
返回
7．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋b与y＝bx2＋ax的图象可能是( )
返回
D
返回
C
返回
A
y
X
A
B
C
D
y个
0
X
y
、。
A
B
C
D
A
B
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
D
A
B
D
A
B
C
D
A
B
C
D
0
X(共11张PPT)
第26章 二次函数
综合与实践
1．(12分)
设计跳长绳方案
素材1：某校组织跳长绳比赛，要求如下：
(1)每班需要跳绳同学9人，摇绳同学2人；
(2)跳绳同学需站成一排，原地起跳，如图①.
素材2：某班进行赛前训练，发现：
(1)当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线，已知摇绳同学之间的水平距离为6 m，绳子最高点距地面为2 m，摇绳同学的出手高度均为1 m，如图②；
(2)9名跳绳同学的身高如表.
身高(m) 1.70 1.73 1.75 1.80
人数 2 2 4 1
素材3：观察跳绳同学的姿态(如图③)，发现：
(1)跳绳时，人的跳起高度在0.25 m及以下较为舒适；
(2)当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，
此时头顶到地面的高度是身高的
任务1：确定长绳形状．请在图②中以长绳触地点为原点建立平面直角坐标系，当长绳摇至最高处时，对应抛物线的表达式为______________；
解：建立的平面直角坐
标系如图所示．
任务2：确定排列方案．班长决定：以长绳的触地点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持
0.45 m的间距．请计算当长绳在最高点时，是否会触碰到最边侧的同学.
任务3：方案优化改进．据最边侧同学反映：由于跳起过高，导致不舒适．班长给出如下方案：摇绳同学在绳即将触地时，将出手高度降低至0.85 m．此时长绳的中间部分将贴地形成一条线段(线段AB)，而剩余长绳则保持形状不变，如图④.
请你通过计算说明，该方案能否解决同学反映的问题.(共17张PPT)
第26章 二次函数
专项突破4 直线与抛物线的交点问题
返回
1. 抛物线y＝x2＋x＋1与两坐标轴的交点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
B
返回
C
2．抛物线y＝ax2－2ax＋2与x轴的一个交点坐标是(－1，0)，则另一个交点坐标是( )
A．(1，0) B．(2，0) C．(3，0) D．(4，0)
返回
3．将抛物线y＝mx2－2mx＋m－3(m＜0)向上平移，平移后的抛物线与x轴有两个交点，则下列平移方式正确的是( )
A．向上平移1个单位 B．向上平移2个单位
C．向上平移3个单位 D．向上平移4个单位
D
返回
x3＜x1＜x2＜x4
返回
6．(4分)若抛物线y＝x2－mx－3与x轴交于点A，B，且AB＝4，求m的值.
解法二：因为抛物线与x轴两交点的距离为4，
所以设左侧交点的坐标为(t，0)，
则右侧交点的坐标为(t＋4，0)，
于是可设这个抛物线的表达式为y＝(x－t)(x－t－4)，
整理得y＝x2－(2t＋4)x＋t2＋4t，
则t2＋4t＝－3，解得t＝－1或t＝－3，
又因为2t＋4＝m，所以m＝2或m＝－2.
返回
7. 如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝kx＋b交于A，B两点，其横坐标分别为－1和4，则ax2＋c－kx－b＞0的解集是( )
A．x<－1 B．x>4
C．x<－1或x>4 D．－1返回
C
返回
b≥2
8. 若无论k为何值，直线y＝kx＋2与抛物线y＝ax2＋4ax＋b(a＜0)总有公共点，则b的取值范围是________.
9．将二次函数y＝(x＋1)2的图象位于直线y＝9以上的部分向下翻折，得到如图所示的新图象，若直线y＝x＋m与此图象有四个交点，则m的取值范围是________.
【点拨】如图，当直线y＝x＋m位于l1或l2处时，它与新图象有三个不同的交点．
令y＝9，则9＝(x＋1)2，
解得x＝－4或x＝2，
所以A(2，9)．
①当直线位于l1处时，直线过点A(2，9)，
所以9＝2＋m，所以m＝7.
返回
10．(8分) 约定在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)中，若4ac－2b＝b2，则称该函数是“文昌函数”.
(1)试说明“文昌函数”y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与直线y＝－x总有两个不同的交点；
(2)已知P(m，n)是“文昌函数”y＝x2＋6x＋c图象上的一个动点，且在直线y＝－x＋6的下方，求m，n的取值范围.
解：因为y＝x2＋6x＋c是“文昌函数”，
所以4ac－2b＝b2，即4c－12＝36，
所以c＝12，
所以二次函数的表达式为y＝x2＋6x＋12，
两个函数的大致图象如下：
返回
设两个函数图象的交点为A，B(A在B的左侧)，
当点P在AB下方时，满足题设条件，
联立直线和抛物线的函数表达式，得x2＋6x＋12＝－x＋6，解得x＝－1或x＝－6，
所以点A，B的坐标分别为(－6，12)，(－1，7)，
易得抛物线的顶点坐标为(－3，3)，则－6第26章 二次函数
专项突破3 二次函数图象与
字母系数之间的关系
方法指导 根据二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象判断系数a，b，c 间的关系．
开口方向 开口向上 a____0
开口向下 a____0
与y轴交点 过原点 c____0
与y轴交于正半轴 c____0
与y轴交于负半轴 c____0
与x轴交点 与x轴有唯一交点 b2－4ac____0
与x轴有两个交点 b2－4ac____0
与x轴没有交点 b2－4ac____0
对称轴位置 对称轴为y轴 b____0
对称轴在y轴左侧 a与b____号
对称轴在y轴右侧 a与b____号
＞
＜
＝
＞
＜
＝
＞
＜
＝
同
异
判断与a，b，c相关的代数式与0的大小关系 2a＋b 看对称轴与直线x＝1的位置
2a－b 看对称轴与直线x＝－1的位置
a＋b＋c或a－b＋c 令x＝1或－1，看函数值
4a＋2b＋c或4a－2b＋c 令x＝2或－2，看函数值
9a＋3b＋c或9a－3b＋c 令x＝3或－3，看函数值
am2＋bm＋c 令x＝m，看函数值
返回
C
返回
C
2．[2025安徽中考]已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则( )
A．abc<0
B．2a＋b<0
C．2b－c<0
D．a－b＋c<0
返回
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论正确的是( )
A．abc<0
B．a－b＝0
C．3a－c＝0
D．am2＋bm≤a－b
D
返回
C
返回
2
①②
返回
