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第12章 定义 命题 证明
12．4 定理
第2课时 多边形内角与外角和定理
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C
1.
[云南中考]一个六边形的内角和等于( )
A．360°
B．540°
C．720°
D．900°
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2.
C
佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到一个内角和为1 080°的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为( )
A．36°
B．40°
C．45°
D．60°
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3.
A
多边形的边数增加1，则它的外角和( )
A．不变
B．增加180°
C．增加360°
D．无法确定
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4.
B
如图，小强站在五边形健身步道的起点P处，沿着P→B→C→D→E→A→P的方向行走，最终回到了P处．在这个过程中，小强转过的角度说明了( )
A．五边形的内角和是540°
B．五边形的外角和是360°
C．五边形的内角和是360°
D．五边形的外角和是180°
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5.
9
[扬州中考]若多边形的每个内角都是140°，则这个多边形的边数为________.
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6.
12
正n边形每个内角的度数都是其相邻外角度数的5倍，则n＝________.
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7.
300°
如图，五边形ABCDE中，∠A＝120°，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4的度数是________.
8.
(8分)如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠CDA．
(1)若∠ABC＝50°，求∠ADF的度数；
(2)求证：BE∥DF.
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9.
B
如图，是正n边形纸片的一部分，其中l，m是正n边形两条边的一部分，若l，m所在的直线相交形成的锐角为60°，则n的值是( )
A．5
B．6
C．8
D．10
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10.
C
如图，直线l与正五边形ABCDE的边AB，DE分别交于点M，N，则∠1＋∠2的度数为( )
A．216°
B．180°
C．144°
D．120°
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11.
24n
编程机器人表演中，一机器人从沙盘平面内某点出发向前直行n步后右转15°，沿转后方向直行n步后右转15°，再沿转后方向直行n步后右转15°，…，依此方式继续行走，第一次回到出发点时，该机器人共走了________步.
12.
360°
如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数是________.
【点拨】
如图，因为∠E＋∠A＝∠1，∠B＋∠F＝∠2，∠1＋∠2＋∠C＋∠D＝360°，所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°.
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13.
(12分)如图，已知点E在四边形ABCD的边BC的延长线上，BM，CN分别是∠ABC，∠DCE的平分线，设∠BAD＝α，∠ADC＝β.
(1)如图①，若α＋β＝180°，判断BM，CN的位置关系，并说明理由．
20°
(2)如图②，若α＋β＞180°，BM，CN相交于点O.
①当α＝65°，β＝155°时，则∠BOC＝________．
【点拨】
如图②，因为BM，CN分别是∠ABC，∠DCE的平分线，
所以∠1＝∠2，∠3＝∠4.
设∠1＝∠2＝x，∠3＝∠4＝y，
所以∠ECD＝∠1＋∠2＝2x，
∠CBA＝∠3＋∠4＝2y.
因为∠5＋∠CBA＋α＋β＝360°，所以∠5＝360°－α－β－2y.
又因为∠5＋∠ECD＝180°，所以∠5＝180°－2x.
所以360°－α－β－2y＝180°－2x.
所以2x－2y＝α＋β－180°.
又因为∠6＝∠1－∠3＝x－y，
所以2∠6＝α＋β－180°＝65°＋155°－180°＝40°.
所以∠6＝20°，即∠BOC＝20°.
②∠BOC与α，β有怎样的数量关系？说明理由．
(3)如图③，若α＋β＜180°，BM，CN的反向延长线相交于点O，请直接写出∠BOC的度数．(用含α，β的代数式表示)
【点拨】
如图③，因为BM，CN分别是∠ABC，∠DCE的平分线，
所以∠1＝∠2，∠4＝∠5.
设∠1＝∠2＝x，∠4＝∠5＝y，
所以∠BCD＝180°－(∠1＋∠2)＝180°－2x，
∠CBA＝∠4＋∠5＝2y.
又因为∠BCD＋∠CBA＋α＋β＝360°，
所以∠BCD＝360°－α－β－2y.
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第12章 定义 命题 证明
12．4 定理
第1课时 三角形内角和定理及其推论
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C
1.
[扬州月考]如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝50°，AD∥BC，则∠1的度数为( )
A．50°
B．60°
C．70°
D．80°
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2.
D
下列说法中，错误的是( )
A．基本事实都是真命题
B．基本事实是判断命题真假的依据
C．所有的定理都是真命题
D．所有的命题都是定理
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3.
A
李明和爸爸一起到建筑工地去，看见了一个如图所示的人字架，爸爸说：“李明，我考考你！这个人字架中的∠3＝130°，你能求出∠1比∠2大多少吗？”请你帮李明计算一下，正确的答案是( )
A．50° B．60°
C．70° D．80°
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4.
B
[福建中考]某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠B＝45°，∠DEF＝60°.当AD∥BC时，∠ADE的大小为( )
A．5° B．15°
C．25° D．35°
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5.
30°
[连云港中考]如图，直线a∥b，直线l⊥a，∠1＝120°，则∠2＝________.
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6.
22°
如图，DE⊥AB，垂足为E，∠A＝48°，∠ACB＝64°，则∠D＝________.
7.
(4分)一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B，∠D应分别是20°和30°.李叔叔量得∠BCD＝142°，就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？请用两种不同的方法说明理由.
解：方法一：如图①，连接AC并延长，
在△ADC中，∠1＝∠D＋∠DAC，
在△ABC中，∠2＝∠B＋∠BAC，
所以∠BCD＝∠1＋∠2＝∠D＋∠B＋∠BAC＋∠DAC＝∠D＋∠B＋∠DAB＝140°.
所以李叔叔量得∠BCD＝142°，就可以断定这个零件不合格．
方法二：如图②，延长DC交AB于点M，
因为∠CMB＝∠A＋∠D＝120° ，
所以∠DCB＝∠CMB＋∠B＝140°.
所以李叔叔量得∠BCD＝142°，就可以断定这个零件不合格．
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8.
C
如图，AD是△ABC的角平分线，点B，C，E共线，则α，β，γ之间的数量关系是( )
A．α＋β＝γ
B．2α－β＝γ
C．2β－α＝γ
D．2γ－α＝β
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9.
如图，已知△ABC的内角∠A＝α，分别作内角∠ABC与外角∠ACD的平分线，两条平分线交于点A1，得∠A1；分别作∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…；以此类推，得到∠A2 026，则∠A2 026的度数为________.
10.
(8分) 如图，线段AB，CD相交于点O，连接AD，CB，我们称之为“8字形”，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，AP交CD于点M，CP交AB于点N.
(1)若∠D＝50°，∠B＝40°，求∠P的度数；
解：因为AP，DC相交于点M，所以∠AMD＝∠CMP.
因为∠AMD＋∠1＋∠D＝180°，∠CMP＋∠3＋∠P＝180°，
所以∠1＋∠D＝∠3＋∠P. 同理可得∠4＋∠B＝∠2＋∠P.
因为∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，
所以∠1＝∠2，∠3＝∠4.
因为∠1＋∠4＋∠D＋∠B＝∠2＋∠3＋2∠P，
所以2∠P＝∠D＋∠B. 因为∠D＝50°，∠B＝40°，
所以2∠P＝∠B＋∠D＝90°，所以∠P＝45°.
2∠P＝∠B＋∠D
(2)若图中∠D和∠B为任意角，其他条件不变，则∠P与∠D，∠B之间的数量关系为_____________________．
【点拨】
因为∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，
所以∠1＝∠2，∠3＝∠4，
由(1)知∠1＋∠D＝∠3＋∠P，∠4＋∠B＝∠2＋∠P，
所以∠1＋∠4＋∠D＋∠B＝∠2＋∠3＋2∠P，
所以2∠P＝∠B＋∠D.
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11.
(8分)如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ACB＝34°，D为BC边延长线上的一点，BM平分∠ABC，E为射线BM上一点.
(1)连接CE.
①若CE∥AB，求∠BEC的度数；
②若CE平分∠ACD，求∠BEC的度数；
解：如图①，当直线CE⊥AB，垂足为N时，∠CNB＝90°，
由(1)知，∠ABE＝43°，
所以∠BEC＝∠ABE＋∠CNB＝43°＋90°＝133°；
如图②，当直线CE⊥AC时，
设BM交AC于点N，
则∠ACE＝90°，
(2)若直线CE垂直于△ABC的一边，求∠BEC的度数．
由(1)知，∠CBE＝43°. 因为∠ACB＝34°，
所以∠ENC＝∠CBE＋∠ACB＝43°＋34°＝77°.
所以∠BEC＝90°－∠CNE＝13°；
如图③，当直线CE⊥BC时，∠BCE＝90°.
由(1)知，∠CBE＝43°，
所以∠BEC＝90°－∠CBE＝47°.
综上，∠BEC的度数为47°或133°或13°.
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第12章 定义 命题 证明
12．2 命题
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D
1.
[淮安期末]下列选项是命题的是( )
A．作直线AB∥CD
B．今天的天气好吗？
C．连接A，B两点
D．垂线段最短
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2.
D
下列命题中，属于假命题的是( )
A．三角形三个内角的和等于180°
B．两直线平行，同位角相等
C．直角三角形中两锐角互余
D．如果a2＝b2，则a＝b
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3.
C
[扬州期末]下列命题为真命题的是( )
A．若|a|＝|b|，则a＋b＝0
B．同旁内角互补
C．两点确定一条直线
D．任何数的零次幂等于1
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4.
同一平面内，a⊥b，c⊥b
“同一平面内，若a⊥b，c⊥b，则a∥c”这个命题的条件是________________________，结论是________，这个命题是________命题.
a∥c
真
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5.
－3(答案不唯一)
[北京中考]能说明命题“若a2>4b2，则a>2b”是假命题的一组实数a，b的值为a＝_______________，b＝______________.
1(答案不唯一)
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6.
如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
“对顶角相等”的逆命题是____________________________________________．(用“如果……，那么……”的形式写出)
7.
(16分)判断下列语句是否是命题，若是，写成“如果……，那么……”的形式，并判断其是真命题还是假命题．
(1)同位角相等，两直线平行；
(2)延长BA到点C；
(3)同角的补角相等；
(4)平方后等于1的数是1.
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解：(1)“同位角相等，两直线平行”是命题，写成“如果……，那么……”的形式为“如果两条直线被第三条直线所截，同位角相等，那么这两条直线平行”，是真命题．
(2)“延长BA到点C”不是命题．
(3)“同角的补角相等”是命题，写成“如果……，那么……”的形式为“如果两个角都是同一个角的补角，那么这两个角相等”，是真命题．
(4)“平方后等于1的数是1”是命题，写成“如果……，那么……”的形式为“如果一个数的平方等于1，那么这个数为1”，是假命题．
8.
(16分)写出下列命题的逆命题，并判断其逆命题的真假．
(1)若a＝b，则a3＝b3；
(2)如果a＞b，那么ac＞bc；
(3)个位上是0的数能被2整除；
(4)钝角三角形有两个锐角.
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解：(1)逆命题是：若a3＝b3，则a＝b.是真命题．
(2)逆命题是：如果ac＞bc，那么a＞b.是假命题．
(3)逆命题是：能被2整除的数个位上是0.是假命题．
(4)逆命题是：有两个锐角的三角形是钝角三角形．
是假命题．
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9.
A
下列选项中，可以用来说明命题“两个锐角的和是钝角”是假命题的例子是( )
A．∠A＝40°，∠B＝20°
B．∠A＝40°，∠B＝60°
C．∠A＝40°，∠B＝90°
D．∠A＝40°，∠B＝120°
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10.
D
如图，有如下四个论断：①AC∥DE；②DC∥EF；③CD平分∠BCA；④EF平分∠BED．若选择四个论断中的三个作为条件，余下的一个作为结论，构成一个数学命题，则真命题有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
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11.
②③④
12.
3
(8分)如图，从①∠1＝∠2；②∠C＝∠D；③∠A＝∠F三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中．
(1)真命题的个数为________；
【点拨】
条件：①②，结论：③，为真命题．
条件：①③，结论：②，为真命题．
条件：②③，结论：①，为真命题．
所以真命题的个数为3.
(2)选择一个真命题写出理由.
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13.
解：因为DE∥BC，所以∠1＝∠2.
因为∠1＝∠3，所以∠2＝∠3.
所以CD∥FG.
因为CD⊥AB，所以FG⊥AB.
(12分)(1)如图，DE∥BC，∠1＝∠3，CD⊥AB，试说明FG⊥AB．
是真命题．理由如下：
因为FG⊥AB，CD⊥AB，
所以CD∥FG.所以∠2＝∠3.
因为∠1＝∠3，
所以∠1＝∠2.所以DE∥BC.
(2)若把(1)中的条件“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调，所得命题是否为真命题？试说明理由．
是真命题．理由如下：
因为FG⊥AB，CD⊥AB，
所以CD∥FG.所以∠2＝∠3.
因为DE∥BC，所以∠1＝∠2.所以∠1＝∠3.
(3)若把(1)中的条件“∠1＝∠3”与结论“FG⊥AB”对调呢？
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第12章 定义 命题 证明
12．1 定义
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C
1.
下列图形中，是三角形的是( )
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2.
D
下列语句中，属于定义的是( )
A．两点之间，线段最短
B．两直线平行，同旁内角互补
C．等角的余角相等
D．乘积为1的两个数互为倒数
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3.
C
下列关于有理数的说法正确的是( )
A．有理数可分为正有理数和负有理数
B．数轴上的点与有理数一一对应
C．整数和分数统称为有理数
D．正数、负数和零统称为有理数
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4.
D
[南京月考]下列有关对顶角的说法正确的是( )
A．有公共顶点的两个角
B．有公共顶点且相等的两个角
C．一个角的两边分别是另一个角的两边的延长线
D．一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线
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5.
D
下列说法正确的是( )
A．连接两点的直线叫作两点之间的距离
B．连接两点的线段叫作两点之间的距离
C．连接两点的直线的长度叫作两点之间的距离
D．连接两点的线段的长度叫作两点之间的距离
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6.
4
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7.
4
若单项式－x1－ay4与2x3y2b是同类项，则ab＝________.
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8.
解：(1)如图①.
(2)如图②.
(8分) 用示意图表示下列概念之间的关系.
(1)三角形、等腰三角形、等边三角形；
(2)四边形、梯形、平行四边形．
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9.
C
定义一种运算：a b＝2a＋b(a＜b)，则不等式3x (x＋1)＞－2的解集是( )
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10.
－2或4
根据绝对值的定义，|x|表示数x在数轴上所对应的点与原点的距离．规定：|x1－x2|表示数x1和x2在数轴上所对应的两点之间的距离．如果|m＋1|＋|m－3|＝6，那么m的值为__________.
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11.
31
平面上过某一点A的k条不重合的直线称为关于点A的直线簇，并且此时称k为直线簇的阶(注意：k可以取0，此时直线簇退化为一点A)．若A，B是平面上两个不重合的点，关于点A和关于点B的直线簇的阶之和为8，那么构成这两个直线簇的所有直线划分平面所成的区域数最大为________，最小为________.
14
12.
是
(8分)[无锡月考]如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“幸运数”．如：4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此4，12，20都是“幸运数”．
(1)请判断：36________“幸运数”；(填“是”或“不是”)
【点拨】
因为36＝102－82，所以36是“幸运数”．
解：佳佳发现的结论正确，理由如下：
两个连续偶数2k＋2和2k(其中k取非负整数)构造的“幸运数”为(2k＋2)2－(2k)2＝4k2＋8k＋4－4k2＝8k＋4＝4(2k＋1)．
因为k为非负整数，所以4(2k＋1)是4的倍数，
即两个连续偶数2k＋2和2k(其中k取非负整数)构造的“幸运数”也是4的倍数．
(2)下面是两名同学演算后的发现，请判断对错，并说明理由．
①佳佳发现：两个连续偶数2k＋2和2k(其中k取非负整数)构造的“幸运数”也是4的倍数；
琪琪发现的结论错误．理由如下：
令4(2k＋1)＝2 026，解得k＝252.75.
因为k不是非负整数，
所以2 026不是“幸运数”．所以琪琪的发现不成立．
②琪琪发现：2 026是“幸运数”.
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13.
(12分)定义：从∠α(90°＜∠α＜180°)的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将∠α分得的两个角中有一个角与∠α互为补角，
则称该射线为∠α的“好线”．
如图，点O在直线AB上，OC，OD在直线AB上方，且OC⊥OD，射线OE是∠AOD的“好线”．
解：由题知射线OE是∠AOD的“好线”，
且OE在∠COD的内部(如图①)，
所以∠DOE＋∠AOD＝180°.
因为∠AOD＋∠BOD＝180°，所以∠DOE＝∠BOD＝26°.
因为OC⊥OD，所以∠COD＝90°.
所以∠COE＝90°－26°＝64°.
(1)若∠BOD＝26°，且OE在∠COD内部，求∠COE的度数；
(2)若OE恰好平分∠AOC，请求出∠BOD的度数；
∠EOF与∠DOG的数量关系
为∠EOF＝2∠DOG或∠EOF＋∠DOG＝45°.
(3)若OF是∠AOE的平分线，OG是∠BOC的平分线，请直接写出∠EOF与∠DOG的数量关系.
【点拨】
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第12章 定义 命题 证明
12．3 证明
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B
1.
如图，小明在地图上量得∠1＝∠2，由此判断幸福大街与平安大街互相平行，他判断的依据是( )
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行
D．对顶角相等
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2.
D
老师在黑板上画出如图所示的图形，要求学生添加条件，使得AB∥CD，随后抽取了四名学生的答案纸展示如下：甲：∠B＋∠BCD＝180°；乙：∠1＝∠2；丙：∠B＝∠DCE；丁：∠3＝∠4.则不能得到AB∥CD的是( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
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3.
40°
[常州中考]如图，AB∥CD，AC⊥AD，∠ACD＝50°，则∠α＝________.
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4.
70°
如图，将一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠EFG＝55°，则∠BGP＝________.
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5.
4
已知n为正奇数，则式子(n＋5)2－(n＋3)2一定能被________整除.
6.
垂直的定义
在括号内填写推理依据：
如图，AB⊥BC，BC⊥CD，∠1＝∠2，∠E＝62°，求∠F的度数．
解：∵AB⊥BC，BC⊥CD，(已知)
∴∠ABC＝∠BCD＝90°.(______________)
又∵∠1＝∠2，(已知)
∴∠EBC＝∠BCF.(______________)
等式的性质
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内错角相等，两直线平行
∴EB∥CF.(______________________________)
∴∠F＝∠E.(_____________________________)
∵∠E＝62°，(已知)
∴∠F＝62°.(等量代换)
两直线平行，内错角相等
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7.
证明：设两个奇数分别为m＝2k＋1，n＝2s＋1(其中k，s都为整数)，所以m＋n＝2k＋1＋2s＋1＝2(k＋s＋1)．
因为k，s都是整数，所以k＋s＋1是整数，所以2(k＋s＋1)一定能被2整除，所以m＋n一定能被2整除，所以两个奇数的和是偶数．
(4分)证明：两个奇数的和是偶数.
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8.
C
某公园计划砌一个形状如图①所示的喷水池，后来有人建议改为图②的形状，且外圆的直径不变，喷水池边沿的宽度、高度不变，你认为砌喷水池的边沿( )
A．图①需要的材料多
B．图②需要的材料多
C．图①、图②需要的材料一样多
D．无法确定
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9.
42°
如图①是一款落地的平板支撑架，AB，BC是可转动的支撑杆．调整支撑杆使得其侧面示意图如图②所示，此时平板DE∥AF，∠BAF＝∠BCE，∠B＝84°，则∠BCD＝________.
10.
(8分)证明命题“如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对同位角的平分线互相平行”．
(1)依据命题画出图形(如图)，请你把该命题用几何符号语言补充完整．
已知：AB________CD，EM，
FN分别平分________和________，
求证：__________．
∥
∠GEB
∠EFD
EM∥FN
(2)写出(1)的证明过程.
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11.
C
(8分)已知k为整数，且k≥0.
(1)若a为正奇数，则a可以用含k的代数式表示为________；
A．2k
B．2k－1
C．2k＋1
【点拨】
奇数可以用含k的代数式表示为2k＋1或2k－1.
因为k≥0，且k为整数，所以2k≥0.
当k＝0时，2k－1＝－1，2k＋1＝1.
因为a为正奇数，
所以a可以用含k的代数式表示为2k＋1.
(2)若a，b为连续的正奇数，且a＜b.试说明：ab＋1能被4整除.
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第12章 定义 命题 证明
12．4 定理
第3课时 反证法
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B
1.
判断命题“如果n＞－3，则n2＞9”是假命题，只需
一个反例，反例中的n可以是( )
A．4
B．3
C．－3
D．－4
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2.
D
用反证法证明“在△ABC中，∠A，∠B的对边是a，b.若∠A＜∠B，则a＜b”时，第一步应假设( )
A．a＞b
B．a＝b
C．a≤b
D．a≥b
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3.
B
如图，有下列推理：①∵∠B＝∠BEF，∴AB∥EF；②∵AB∥CD，∴∠B＝∠CDE；③∵∠B＋∠BDC＝180°，∴AB∥EF；④∵AB∥CD，CD∥EF，∴AB∥EF.其中正确的是( )
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
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4.
53°28′
如图，直线l1，l2，l3被直线l4所截，若l1∥l2，l2∥l3，∠1＝126°32′，则∠2的度数是________.
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5.
③④①②
已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B<90°.下面是运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①所以∠A＋∠B＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾；②因此假设不成立，所以∠B<90°；
③假设在△ABC中，∠B≥90°；④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B＋∠C≥180°.
这四个步骤正确的顺序应是______________．(填序号)
6.
(4分)举反例说明下列命题是假命题：
(1)若a＋b>2，则a>1，b>1；
(2)若a2＝b2，则a3＝b3；
(3)在△ABC中，若∠A>∠B>∠C，则∠B＋∠C<90°；
(4)不等式两边都乘同一个数，不等号的方向不变.
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解：(1)令a＝3，b＝0，则a>1，b<1.
(2)令a＝3，b＝－3，则a3≠b3.
(3)令∠A＝70°，∠B＝60°，∠C＝50°，则∠B＋∠C>90°.
(4)在不等式x>1的两边都乘－2，得－2x<－2，
则不等号的方向改变．
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7.
证明：假设三角形的三个内角∠A，∠B，∠C
中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°，
则∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，
这与三角形内角和为180°相矛盾，所以∠A＝∠B＝90°
不成立，所以一个三角形中不能有两个直角．
(4分)用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角．
已知：△ABC．
求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角.
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8.
B
如图，AB∥EF，如果∠C＝90°，那么x，y和z的关系是( )
A．y＝x＋z
B．x＋y－z＝90°
C．x＋y＋z＝180°
D．y＋z－x＝90°
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9.
35°
如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，若∠3＝165°，∠2＝50°，则∠1的度数为________.
10.
解：由完全平方公式可知(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2，所以2x2＋2xy＋y2＝x2＋2xy＋y2＋x2＝(x＋y)2＋x2.
因为10＝12＋32，13＝22＋32，16＝02＋42，17＝12＋42，18＝32＋32，20＝22＋42，所以10，11，12，…，20中的“亮点数”为10，13，16，17，18，20.
(8分)如果一个数能表示成2x2＋2xy＋y2(x，y是整数)，那么我们称这个数为“亮点数”．
(1)写出10，11，12，…，20中的“亮点数”；
因为1＝02＋12，2＝12＋12，所以1和2都是“亮点数”．因为1＋2＝3，且3不是“亮点数”，所以如果m，n都是“亮点数”，那么m＋n不一定是“亮点数”．
(2)如果m，n都是“亮点数”，那么m＋n一定是“亮点数”吗？如果不是，请举反例说明；如果是，请说明理由.
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11.
解：如图①，过点E作EG∥AB，
则∠BEG＝∠ABE.
因为AB∥CD，EG∥AB，所以CD∥EG.
所以∠DEG＝∠CDE.
所以∠BEG＋∠DEG＝∠ABE＋∠CDE，
即∠BED＝∠ABE＋∠CDE.
(12分)已知AB∥CD，点E在AB与CD之间．
(1)如图①，试说明：∠BED＝∠ABE＋∠CDE；
因为BF平分∠ABE，所以∠ABE＝2∠ABF.
因为DF平分∠CDE，所以∠CDE＝2∠CDF.
所以∠ABE＋∠CDE＝2∠ABF＋2∠CDF＝2(∠ABF＋∠CDF)．
由(1)得∠BED＝∠ABE＋∠CDE＝2(∠ABF＋∠CDF)，
同理∠BFD＝∠ABF＋∠CDF，
所以∠BED＝2∠BFD.
(2)如图②，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，请利用(1)的结论说明：∠BED＝2∠BFD；
∠BED＝360°－2∠BFD.
(3)如图③，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，请直接写出∠BED与∠BFD之间的数量关系.
【点拨】
如图②，过点E作EG∥AB，则∠BEG＋∠ABE＝180°.
因为AB∥CD，EG∥AB，所以CD∥EG.
所以∠DEG＋∠CDE＝180°.
所以∠BEG＋∠DEG＝360°－(∠ABE＋∠CDE)，
即∠BED＝360°－(∠ABE＋∠CDE)．
因为BF平分∠ABE，所以∠ABE＝2∠ABF.
因为DF平分∠CDE，所以∠CDE＝2∠CDF.
所以∠BED＝360°－2(∠ABF＋∠CDF)．
由(1)得∠BFD＝∠ABF＋∠CDF，
所以∠BED＝360°－2∠BFD.
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