(共22张PPT)
第12章 定义 命题 证明
专题训练10
三角形角平分线问题
50°
1.
(12分)如图①，点A，B分别在射线OM，ON上运动(不与点O重合)，AC，BC分别是∠BAO和∠ABO的平分线，BC的延长线交OM于点G.
(1)若∠MON＝80°，则∠ACG＝________；若∠MON＝100°，则∠ACG＝________；
40°
(2)若∠ACG＝n°，请求出∠MON的度数；(用含n的代数式表示)
(3)如图②，∠MON＝70°，过点C作直线CF与AB交于点F.若CF∥OA，求∠BGO－∠ACF的度数．
解：因为AC平分∠BAO，
所以∠BAC＝∠CAO.
因为CF∥OA，
所以∠ACF＝∠CAO＝∠BAC.
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2.
(16分)(1)如图①，在△ABC中，∠A＝n°，设△ABC的外角∠CBD，∠BCE的平分线交于点O，求∠BOC的度数；
82.5°
【点拨】
【点拨】
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3.
(12分)如图，在△ABC中，∠B＝90°，分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E.
(1)∠E＝________．
45°
【点拨】
(2)分别作∠EAB与∠ECB的平分线，且两条角平分线交于点F.
①依题意在图中补全图形；
②求∠AFC的度数．
解：如图②所示．
解：m＝2，n＝－3.
【点拨】
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第12章 定义 命题 证明
专题训练9 平行线的拐点问题
证明：方法1：连接BD，如图①，
因为AB∥CD，
所以∠ABD＋∠CDB＝180°.
因为∠1＋∠2＋∠BED＝180°，
所以∠ABD＋∠1＋∠CDB＋∠2＋∠BED＝360°，
即∠ABE＋∠CDE＋∠BED＝360°.
1.
(12分)(1)如图①，已知：AB∥CD．求证：∠B＋∠D＋∠BED＝360°；(至少用三种方法)
方法2：延长DE交AB的延长线于点F，如图②，
因为AB∥CD，
所以∠F＋∠D＝180°.
因为∠ABE＝∠FEB＋∠F，
∠BED＝∠FBE＋∠F，
所以∠ABE＋∠CDE＋∠BED＝∠FEB＋∠F＋
∠CDE＋∠FBE＋∠F＝180°＋180°＝360°.
方法3：过点E作EF∥AB，如图③，
因为AB∥CD，
所以AB∥EF∥CD.
所以∠B＋∠BEF＝180°，
∠D＋∠DEF＝180°.
所以∠B＋∠D＋∠BED＝∠B＋
∠BEF＋∠D＋∠DEF＝180°＋180°＝360°.
(2)如图②，AB∥CD，点E，F，G，H为AB，CD之间的 四点，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝________；
(3)如图③，AB∥CD，则∠1＋∠2＋∠3＋…＋∠n＝___________.
900°
180°(n－1)
【点拨】
如图④，过点E作EQ∥CD，过点F作FW∥CD，过点G作GR∥CD，过点H作HY∥CD，因为CD∥AB，
所以EQ∥FW∥GR∥HY∥AB∥CD.
所以∠1＋∠MEQ＝180°，∠QEF＋∠EFW＝180°，∠WFG＋∠FGR＝180°，∠RGH＋∠GHY＝180°，∠YHN＋∠6＝180°.
所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝5×180°＝900°.
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2.
(12分)如图①，AB∥CD，EOF是直线AB，CD间的
一条折线．
(1)求证：∠O＝∠BEO＋∠DFO；
证明：过点O作OM∥AB，如图①，
则∠EOM＝∠BEO.
因为AB∥CD，所以OM∥CD.
所以∠FOM＝∠DFO.
所以∠EOM＋∠FOM＝∠BEO＋∠DFO，
即∠EOF＝∠BEO＋∠DFO.
(2)如果将折一次改为折二次，如图②，则∠BEO，∠O，∠P，∠PFC之间会满足怎样的数量关系，证明你的结论；
解：∠EOP＋∠PFC＝∠BEO＋∠OPF.证明如下：
过点O作OM∥AB，过点P作PN∥CD，如图②，
因为AB∥CD，
所以OM∥PN∥AB∥CD.
所以∠1＝∠BEO，∠2＝∠3，∠4＝∠PFC.
所以∠1＋∠2＋∠PFC＝∠BEO＋∠3＋∠4.
所以∠EOP＋∠PFC＝∠BEO＋∠OPF.
(3)如果将折一次改为折三次，如图③，则∠BEO，∠O，∠P，∠Q，∠QFD之间会满足怎样的数量关系(直接写出结果不需证明).
解：∠EOP＋∠PQF＝∠BEO＋∠OPQ＋∠QFD.
【点拨】
过点O作OM∥AB，过点P作PN∥CD，过点Q作QR∥AB，如图③，因为AB∥CD，
所以OM∥PN∥QR∥AB∥CD.
所以∠1＝∠BEO，∠2＝∠3，∠4＝∠5，∠6＝∠DFQ.
所以∠1＋∠2＋∠5＋∠6＝∠BEO＋∠3＋∠4＋∠DFQ.
所以∠EOP＋∠PQF＝∠BEO＋∠OPQ＋∠QFD.
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3.
(12分)已知直线AB∥CD．
(1)如图①，若∠ABE＝40°，∠BEC＝140°，∠ECD＝________°；
80
【点拨】
如图①，过点E作EF∥AB，
因为AB∥CD，所以AB∥EF∥CD.
所以∠ABE＝∠BEF，∠FEC＋∠ECD＝180°.
因为∠ABE＝40°，∠BEC＝140°，所以∠FEC＝100°.
所以∠ECD＝180°－100°＝80°.
(2)如图①，试探究∠ABE，∠BEC，∠ECD的关系，并说明理由；
解：∠BEC＝180°－∠ECD＋∠ABE.
理由如下：
如图①，过点E作EF∥AB，
因为AB∥CD，所以AB∥EF∥CD.
所以∠ABE＝∠BEF，∠FEC＋∠ECD＝180°.
所以∠BEC＝180°－∠ECD＋∠ABE.
(3)如图②，若CF平分∠ECD，且满足CF∥BE，试探究∠ECD，∠ABE的数量关系，并说明理由．
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4.
(12分)我们知道一些复杂图形是由一些基本图形组合而成的，在解决问题时常将复杂图形转化为基本图形．
【基本图形】
(1)如图①，AB∥CD，写出∠B，∠D，∠E之间的数量关系，并说明理由；
解：∠ABE＝∠D＋∠E.
理由：如图①，延长AB交DE于点F.
因为AB∥CD，所以∠AFE＝∠D.
因为∠ABE是△BEF的外角，
所以∠ABE＝∠AFE＋∠E，
即∠ABE＝∠D＋∠E.
【图形运用】
(2)如图②，AB∥CD，BG平分∠ABE，DH平分∠CDE，BG，DH的反向延长线交于点F.若∠E＝40°，求∠F的度数；
因为BG平分∠ABE，DH平分∠CDE，
所以∠ABE＝2∠GBE，∠CDE＝2∠HDE.
设∠GBE＝x，∠HDE＝y，则∠ABE＝2x，∠CDE＝2y.
因为AB∥CD，所以由(1)可知，∠ABE＝∠CDE＋∠E，
所以2x＝2y＋40°，即x＝y＋20°.
因为∠EBF＋∠E＝∠EDF＋∠F，
所以180°－x＋40°＝180°－y＋∠F.
所以∠F＝40°＋y－x＝40°＋y－(y＋20°)＝20°.
【思维拓展】
(3)如图③，AB∥CD，BG平分∠ABM，DH平分∠CDN，BG，DH的反向延长线交于点F.直接写出∠M，∠N，∠F之间的数量关系.
【点拨】
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第12章 定义 命题 证明
章末整合练
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C
1.
下列语句中，属于定义的是( )
A．两点确定一条直线
B．同角的余角相等
C．组成三角形的三条线段叫三角形的边
D．两直线平行，内错角相等
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2.
下列语句中，属于命题的是( )
A．作∠ABC
B．两直线相交有几个交点？
C．画线段AB＝3 cm
D．相等的角是对顶角
D
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3.
下列命题中是真命题的是( )
A．相等的角是对顶角
B．同位角相等，两直线平行
C．若a⊥b，b⊥c，则a∥c
D．同旁内角互补
B
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4.
下列命题中是假命题的是( )
A．对顶角相等
B．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
C．同位角相等
D．同旁内角互补，两直线平行
C
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5.
写出命题“在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行”的逆命题：____________________________________________.
在同一平面内，两条平行的直线垂直于同一直线
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6.
下列说法中：①每个定理都有逆定理；②每个命题都有逆命题；③推理的过程叫证明；④题中已知条件、已证定理、定义、基本事实都可以作为证明推理的依据．正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
C
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7.
将一副三角板按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为________.
75°
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8.
[烟台中考]如图是一款儿童小推车的示意图，若AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝70°，则∠3的度数为( )
A．40°
B．35°
C．30°
D．20°
A
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9.
[江西中考]如图，创意图案中间空白部分为正多边形，该正多边形的内角和为______.
720°
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10.
[遂宁中考]已知一个凸多边形的内角和是外角和的4倍，则该多边形的边数为( )
A．10
B．11
C．12
D．13
A
11.
如图，AB∥CD，点E，F为AB与CD之间两点，AE⊥EF，若∠A＝28°，∠F＝88°，则∠D＝________°.
26
【点拨】
如图，过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，
因为AB∥CD，所以EM∥FN∥AB∥CD.
所以∠MEA＝∠A，∠MEF＝∠EFN，∠D＝∠DFN.
所以∠MEA＋∠MEF＋∠D＝∠A＋∠EFN＋∠DFN.
所以∠AEF＋∠D＝∠A＋∠EFD.
因为AE⊥EF，所以∠AEF＝90°.
又因为∠A＝28°，∠EFD＝88°，所以∠D＝26°.
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12.
为说明“若a＞b，则a2＞b2”是个假命题，可以举个反例．这个反例可以是：____________.
a＝3，b＝－4
(答案不唯一)
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13.
用反证法证明“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设_____________________________.
一个三角形中至少有两个钝角
14.
(8分)如图，在△ABC中，点E在AC上，点F在BC上，点D，G在AB上，EG∥CD，且∠CDF＋∠CEG＝180°.
(1)求证：DF∥AC；
证明：因为EG∥CD，
所以∠ACD＋∠CEG＝180°.
因为∠CDF＋∠CEG＝180°，
所以∠CDF＝∠ACD. 所以DF∥AC.
(2)若DF是△BDC的角平分线，∠AGE＝100°，求∠A的度数.
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15.
(12分)(1)在△ABC中，点O是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的平分线的交点，若∠A＝30°，则∠BOC的度数为________；
75°
【点拨】
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