【高考突破方案】第三章 函数的概念与性质 识记手册- 高考一轮总复习数学

一、函数的概念及其表示
1．函数的三要素：定义域A, 对应关系f：A→B，值域{f(x)|x∈A}．其中值域{f(x)|x∈A} B.
2．函数定义域的求法
(1)直接法：列出使函数有意义的自变量的不等关系式，即可求得函数的定义域．常涉及的依据为：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于0且不等于1；④零指数幂的底数不等于0.
(2)实际问题要考虑实际意义．
3．函数值域的求法：配方法（二次或四次）；判别式法（定义域为R时使用）；换元法；不等式法；图象法；函数的单调性法；三角函数的有界法；分离常数法．
二、函数的基本性质
1．用定义法证明函数的单调性的步骤
第一步，在所给的区间D中任取两个变量x1，x2，并且规定x1第二步，计算f(x1)－f(x2)的值，并将它分解因式或变形为几个符号一致的几个部分的和．
第三步，判断f(x1)－f(x2)的值的正负，比较f(x1)与f(x2)的大小．
第四步，根据第一步和第三步的结果判断函数的单调性．
2．判断函数最大（小）值的方法
(1)利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；
(2)利用图象求函数的最大（小）值；
(3)利用函数单调性求函数的最大（小）值．
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减，那么函数y＝f(x)，x∈[a，c]在x＝b处有最大值f(b).
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，那么函数y＝f(x)，x∈[a，c]在x＝b处有最小值f(b).
3．利用定义判断函数奇偶性的步骤
第一步，首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称．
第二步，确定f(－x)与f(x)的关系．
第三步，得出相应结论：若f(－x)＝f(x)或f(－x)－f(x)＝0，则f(x)是偶函数；若f(－x)＝－f(x)或f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)是奇函数．
三、幂函数
幂函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x-1
定义域 R R R [0，＋∞） (－∞，0)∪(0，＋∞)
值域 R [0，＋∞） R [0，＋∞） (－∞，0)∪(0，＋∞)
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数
单调性 在R上是增函数 在[0，＋∞）上是增函数，在（－∞，0]上是减函数 在R上是增函数 在[0，＋∞）上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是减函数
公共点 (1，1)
四、常用结论
1．函数奇偶性的常用结论
(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(3)在公共定义域内：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2．函数周期性的常用结论
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0).
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0).
3．对称性的常用结论
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．