【高考突破方案】第十二章 直线与圆的方程 识记手册- 高考一轮总复习数学

一、直线的倾斜角和斜率
1．直线的倾斜角：直线的向上方向与x轴的正方向的夹角．特别地，当直线与x轴平行或重合时，倾斜角记为0°，所以倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
2．直线的斜率
(1)我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，常用k表示，即k＝tan α.
(2)斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝(x1≠x2).
3．两条直线平行与垂直的判定
(1)若两条不重合的直线l1，l2，斜率分别为k1，k2，则l1∥l2 k1＝k2；特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1∥l2.
(2)若两条不重合的直线l1，l2，斜率分别为k1，k2，则l1⊥l2 k1·k2＝－1；特别地，当直线l1，l2的斜率一条为0，另一条不存在时，l1⊥l2.
二、直线的方程
1．直线方程的五种形式及其应用范围
方程名称 已知条件 方程形式 应用条件
点斜式 点P0(x0，y0)和斜率k y－y0＝k(x－x0) 不能表示直线x＝x0
斜截式 斜率k和在y轴上的截距b y＝kx＋b 不能表示垂直于x轴的直线
两点式 直线上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) ＝ 不能表示垂直于x轴的直线
截距式 在x轴、y轴上的截距分别为a，b ＋＝1(a≠0，b≠0) 不能表示坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线
一般式 — Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0） 所有直线都适用
2.两条直线的交点坐标
设两直线方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
若两直线相交，那么交点坐标一定是方程组的解；如果二元一次方程组只有一组公共解，那么以这个解为坐标的点就是l1与l2的交点．
3．距离公式
(1)两点间的距离公式
两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝.
特别地，原点O(0，0)与平面内的任意一点P(x，y)间的距离|OP|＝.
(2)点到直线的距离公式
点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
(3)两平行线间的距离公式
两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0的距离d＝.
4．对称问题
(1)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y).
(2)点(x，y)关于x轴、y轴、原点、直线y＝x、直线y＝－x的对称点分别为(x，－y)，(－x，y)，(－x，－y)，(y，x)，(－y，－x).
(3)求已知直线关于点的对称直线方程
设任意一点P(x，y)关于点(a，b)的对称点为Q(2a－x，2b－y)都在已知直线上，代入已知直线方程即可得到所求直线方程．
(4)求点关于直线对称的点的坐标
设点Q(x1，y1)关于直线l：Ax＋By＋C＝0的对称点为P(x，y)，则
解方程组可得P点的坐标．
三、圆的方程
1．圆的标准方程和一般方程
圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中圆心(a，b)，半径为r.特别地，圆心在原点，半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2.
圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（其中D2＋E2－4F>0，D，E，F为常数），其中圆心（－，－），半径为.
2．点与圆的位置关系
点与圆的位置关系的判断通常用几何法．
点P(x0，y0)及圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(1)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2 点P在圆外．
(2)(x0－a)2＋(y0－b)2(3)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点P在圆上．
3．圆的切线
过圆外一点的切线方程的求法
设P(x0，y0)是圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点，求过点P(x0，y0)的切线．
设切线方程是y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0，再由＝r求出参数k，就可以写出切线方程．
过圆外一点作圆的切线，一定有两条，如果求出只有一条，那么另一条就是与x轴垂直的直线．
四、直线与圆、圆与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系
(1)直线与圆相交，有两个公共点．
(2)直线与圆相切，有一个公共点．
(3)直线与圆相离，没有公共点．
2．直线与圆的位置关系的判定
(1)判别式法
联立直线与圆的方程组成的方程组，消去一个未知量，得到关于另一个未知量的一元二次方程，利用判别式进行判断：Δ>0 直线与圆相交；Δ＝0 直线与圆相切；Δ<0 直线与圆相离．
(2)几何法
利用圆心C(a，b)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝与圆的半径r的大小关系来判定：d>r 直线与圆相离；d＝r 直线与圆相切；d3．直线被圆所截的弦长问题
直线与圆相交于A，B两点，则求弦AB长的方法有两种：
（方法一）代数法：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系及弦长公式知，|AB|＝|x1－x2|＝（k为直线AB的斜率）.
（方法二）几何法：由弦心距d、半径r、半弦长构成的直角三角形解决弦长问题|AB|＝2.
4．圆与圆的位置关系
圆与圆有相离（外离、内含）、相切（内切、外切）、相交五种不同的位置关系．
5．圆与圆的位置关系的判定方法
(1)解方程组法
设由两圆的方程组成的方程组为解此方程组进行判断．
有两组不同的实数解 两圆相交；
有两组相同的实数解 两圆相切；
没有实数解 两圆相离．
(2)几何法
利用两圆的圆心距与两圆的半径之间的大小关系来判断（设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为r，R）：
d>R＋r 两圆外离；d＝R＋r 两圆相外切；
|R－r|d<|R－r| 两圆内含；d＝0 两圆同心．