【高考突破方案】第十六章 计数原理 识记手册- 高考一轮总复习数学

一、两个计数原理
1．分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．
2．分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．
3．两个基本原理的联系与区别
两个基本原理回答的都是有关做一件事的不同方法的种数问题．区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都能一次完成这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算完成这件事．
二、排列与组合
1．排列
(1)定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示．
(2)排列数公式
A＝n(n－1)(n－2)(n－3)…(n－m＋1)＝
2．组合
(1)定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示，并规定C＝1.
(2)组合数公式
C＝＝＝.
(3)排列数与组合数的联系：A＝CA.
(4)组合数的性质
性质1：C＝C.
性质2：C＝C＋C.
三、二项式定理
1．二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can-1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn，n∈N*.
这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的展开式，它一共有n＋1项，其中各项的系数叫做二项式系数，式中的Can－kbk叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即为展开式的第k＋1项：Tk＋1＝Can－kbk.
特别地：(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxk＋…＋Cxn.
2．二项展开式的通项
(1)(a＋b)n的通项：(a＋b)n的展开式中第k＋1项Tk＋1＝Can－kbk(k＝0，1，2，…，n)称为二项展开式的通项公式．
(2)(a－b)n的通项：将－b看成b代入二项式定理中，得到(a－b)n的展开式中第k＋1项Tk＋1＝(－1)kCan－kbk.
3．二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”两个二项式系数相等，即C＝C.
(2)增减性与最大值：当k<时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且最大二项式系数在中间．若为偶数，中间一项（第＋1项）的二项式系数最大；若n为奇数，中间两项（第＋1和＋1项）的二项式系数最大．
(3)所有二项式系数的和：C＋C＋C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n.
(4)奇数项二项式系数的和＝偶数项二项式系数的和：
C＋C＋C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋C＋C＋…＝2n-1.