【高考突破方案】第十七章 随机变量及其分布 识记手册- 高考一轮总复习数学

一、条件概率与全概率公式
1．条件概率
一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率．
2．乘法公式
由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)，我们称上式为概率的乘法公式．
3．全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B Ω，有P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)，我们称上面的公式为全概率公式．
二、离散型随机变量及其分布列
1.离散型随机变量及其分布列
一般地，设离散型随机变量X可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P（X＝xi）＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列.
以表格形式表示如下.
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
2.离散型随机变量的分布列具有如下性质
（1）pi≥0，i＝1，2，…，n；
（2）p1＋p2＋…＋pn＝1.
3.两点分布：如果随机变量X的概率分布列为
X 0 1
P 1-p p
其中0＜p＜1，则称随机变量X服从两点分布或0—1分布.
三、离散型随机变量的数字特征
1.离散型随机变量的均值
一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
则称E（X）＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝为离散型随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望.
2.随机变量X的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平.若a,b是常数,则E(aX＋b)=aE(X)+b.
3.离散型随机变量的方差
一般地,若离散型随机变量X的分布列如下表所示，
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
则称D（X）＝（x1－E（X））2p1＋（x2－E（X））2p2＋…＋（xn－E（X））2pn＝为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)．
4．离散型随机变量的方差的性质
当a，b均为常数时，随机变量函数η＝aξ＋b的方差D(η)＝D(aξ＋b)＝a2D(ξ)．特别是：
(1)当a＝0时，D(b)＝0，即常数的方差等于0；
(2)当a＝1时，D(ξ＋b)＝D(ξ)，即随机变量与常数之和的方差等于这个随机变量的方差本身；
(3)当b＝0时，D(aξ)＝a2D(ξ)，即随机变量与常数之积的方差，等于这个常数的平方与这个随机变量方差的乘积．
四、二项分布与超几何分布
1．伯努利试验
(1)只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验．
(2)将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．
n重伯努利试验具有如下共同特征：
(1)同一个伯努利试验重复做n次；
(2)各次试验结果相互独立．
2．二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)．
3．二项分布的均值和方差
如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
判断随机变量是否服从二项分布，主要看是否满足：
(1)在每一次试验中，试验的结果只有两种，发生与不发生．
(2)在每一次试验中，事件发生的概率都相同．
若满足，则在n次独立重复试验中以事件发生的次数作为随机变量，该随机变量服从二项分布．
4．超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．
5．超几何分布的期望
E(X)＝＝nP(P为N件产品的次品率)．
五、正态分布
1．正态曲线的定义
函数y＝f(x)＝e－，x∈R(其中μ∈R，σ>0为参数)，我们称f(x)为正态密度函数，f(x)的图象(如图)为正态密度曲线，简称正态曲线．
2．正态曲线的性质
(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
(3)曲线在x＝μ处达到峰值；
(4)曲线与x轴之间的面积为1；
(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①所示；
图①　　　　　　　　　　　图②　
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小时，曲线越“瘦高”，表示随机变量X的分布越集中；σ越大时，曲线越“矮胖”，表示随机变量X的分布越分散，如图②所示．
3．正态分布
(1)正态分布的定义及表示
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝，x∈R(其中μ∈R，σ>0为参数)，则称随机变量X服从正态分布，记作X～N(μ，σ2)．特别地，当μ＝0时，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布．
(2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；
②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；
③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.