【高考突破方案】第十三章 圆锥曲线的方程 识记手册- 高考一轮总复习数学

一、椭圆
1．椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．若M为椭圆上任意一点，则有|MF1|＋|MF2|＝2a.
2．椭圆的标准方程及其几何性质
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
图形
中心 (0，0)
顶点 (±a，0)，(0，±b) (0，±a)，(±b，0)
对称轴 x轴，y轴，长轴长为2a，短轴长为2b
焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，c)，F2(0，－c)
焦距 焦距为|F1F2|＝2c(c>0)，c2＝a2－b2
范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a
离心率 e＝(03.常用结论
(1) 中点弦所在直线的斜率：椭圆＋＝1(a>0，b>0)的弦的中点坐标为P(x0，y0)(y0≠0)，则过点P的弦所在直线的斜率为k＝－，其中k＝(x1≠x2)，(x1，y1)，(x2，y2)为弦的端点坐标．
(2) 焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦中垂直于长轴的焦点弦最短，弦长lmin＝.
(3) 焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形，若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a>b>0)中：
①当r1＝r2，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；
②S＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，且最大值为bc.
二、双曲线
1．双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．若M为双曲线上任意一点，则有||MF1|－|MF2||＝2a.
2．双曲线的标准方程及其几何性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形
中心 (0，0)
顶点 (±a，0) (0，±a)
对称轴 x轴，y轴，实轴长为2a，虚轴长为2b
续表
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 焦距为|F1F2|＝2c(c>0)，c2＝a2＋b2
范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R
离心率 e＝(e>1)
渐近线 y＝±x y＝±x
3.常用结论
(1)过焦点F1的弦AB与双曲线交于同支上，则AB与另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为4a＋2|AB|.
(2)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.
(3)焦点到渐近线的距离为b.
(4)P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为.
(5)①已知AB是双曲线－＝1(a>0，b>0)不平行于对称轴的弦，M(x0，y0)为AB的中点，则kOM·kAB＝，即kAB＝.
②已知双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，过原点的直线交双曲线于A，B两点，P是双曲线上异于A，B两点的任一点，则kPA·kPB＝.
三、抛物线
1．抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程及其几何性质
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴
焦点 F（，0） F（－，0） F（0，） F（0，－）
准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝
顶点 原点(0，0)
离心率 e＝1
焦半径|MF| ＋x0 －x0 ＋y0 －y0
3.常用结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2.
(2)若弦AB的倾斜角为θ，且A位于x轴上方，B位于x轴下方，则|AF|＝，|BF|＝.
(3)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝（α为弦AB的倾斜角）.
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切．
(5)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，其长度等于2p，通径是过焦点最短的弦．
四、直线与圆锥曲线的位置关系
1．直线l：Ax＋By＋C＝0与二次曲线C：f(x，y)＝0的位置关系
判断直线与圆锥曲线的位置关系，可通过直线与圆锥曲线方程组成方程组的解的情况来讨论．交点个数与方程组有几组解一一对应，其交点坐标就是方程组的解．
具体做法为：将直线的方程代入曲线C的方程，消去y（或x）得一个关于变量x（或y）的一元方程ax2＋bx＋c＝0（或ay2＋by＋c＝0）.
①当a≠0时，则有Δ>0，l与C相交；Δ＝0，l与C相切；Δ<0，l与C相离．
②当a＝0，b≠0时，即得到一个一元一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则l平行于双曲线的渐近线；若C为抛物线，则l平行于抛物线的对称轴．应当注意的是，当直线与双曲线或抛物线只有一个公共点时，直线与双曲线或抛物线可能相切，也可能相交．
2．弦长
与弦有关的问题有：①弦长；②求直线的方程或曲线的方程；③焦点弦问题，通常需要解方程组，由韦达定理解答，要能熟练地利用方程的根与系数的关系来计算弦长．设两端点的坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线的斜率为k，则|AB|＝＝|x1－x2|＝|y1－y2|.
3．中点弦问题
直线与圆锥曲线的中点弦问题是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题，常先联立直线与圆锥曲线的方程，再利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），得到两交点的坐标之和，从而得到中点的坐标．也可用作差法（平方差法）得到x－x与y－y，由平方差公式得x1－x2，x1＋x2，y1－y2，y1＋y2，直接与中点建立联系，同时得到直线的斜率，由点斜式可得中点弦所在的直线方程．
五、圆锥曲线的部分经典结论
1．(1)点M(x0，y0)在椭圆＋＝1(a>b>0)上，过点M作椭圆的切线，则切线方程为＋＝1.
(2)点M(x0，y0)在椭圆＋＝1(a>b>0)外，过点M作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB的直线方程为＋＝1.
(3)点M(x0，y0)在椭圆＋＝1(a>b>0)内，过点M作椭圆的弦AB（不过椭圆中心），分别过A，B作椭圆的切线，则两条切线的交点P的轨迹方程为直线＋＝1.
2．(1)点M(x0，y0)在双曲线－＝1(a>0，b>0)上，过点M作双曲线的切线，则切线方程为－＝1.
(2)点M(x0，y0)在双曲线－＝1(a>0，b>0)外，过点M作双曲线的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB的直线方程为－＝1.
(3)点M(x0，y0)在双曲线－＝1(a>0，b>0)内，过点M作双曲线的弦AB（不过双曲线中心），分别过A，B作双曲线的切线，则两条切线的交点P的轨迹方程为直线－＝1.
3．(1)点M(x0，y0)在抛物线y2＝2px(p>0)上，过点M作抛物线的切线，则切线方程为y0y＝p(x＋x0).
(2)点M(x0，y0)在抛物线y2＝2px(p>0)外，过点M作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB的直线方程为y0y＝p(x＋x0).
(3)点M(x0，y0)在抛物线y2＝2px(p>0)内，过点M作抛物线的弦AB，分别过A，B作抛物线的切线，则两条切线的交点P的轨迹方程为直线y0y＝p(x＋x0).