【高考突破方案】第十五章 一元函数的导数及其应用 识记手册- 高考一轮总复习数学

一、导数的概念及其意义
1．导数的定义
函数y＝f(x)的导数的定义：当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数．当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，称这个函数f′(x)为函数y＝f(x)的导函数，简称导数，也可记为y′，即f′(x)＝y′＝.
2．导数的几何意义和物理意义
(1)几何意义：曲线f(x)在某一点(x0，y0)处的导数是在点(x0，y0)处的切线的斜率，即k＝＝f′(x0).
(2)物理意义：若物体运动方程是s＝s(t)，在点P(t0，s（t0)）处导数的意义是当t＝t0时，物体的瞬时速度．
二、导数的运算
1．基本初等函数的导数公式
(1)若f(x)＝c（c为常数），则f′(x)＝0；
(2)若f(x)＝xα（α∈Q，且α≠0），则f′(x)＝αxα-1；
(3)若f(x)＝sin x，则f′(x)＝cos x；
(4)若f(x)＝cos x，则f′(x)＝－sin x；
(5)若f(x)＝ax（a>0，且a≠1），则f′(x)＝ax ln a；特别地，若f(x)＝ex，则f′(x)＝ex；
(6)若f(x)＝logax（a>0，且a≠1），则f′(x)＝；特别地，若f(x)＝ln x，则f′(x)＝.
2．导数的四则运算法则
(1)对于两个函数f(x)和g(x)的和（或差）的导数运算法则：[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x).
(2)对于两个函数f(x)和g(x)的乘积（或商）的导数运算法则：
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
[]′＝(g（x)≠0）.
特别地，[cf(x)]′＝cf′(x)（其中c为常数）.
3．复合函数的求导法则
一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g（x)），它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
三、导数在研究函数中的应用
1．函数的单调性
(1)设函数在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么f(x)在该区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么f(x)在该区间内单调递减．
(2)求可导函数单调区间的步骤
①确定y＝f(x)的定义域．
②求导数f′(x).
③求出f′(x)＝0的根，将函数的定义域分成若干区间，列表考察这若干区间内f′(x)的符号，进而确定单调区间．
2．函数的极值
(1)一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有点都有f(x)f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)，x0是极小值点．极大值与极小值统称为极值．
(2)求可导函数f(x)极值的一般步骤
①确定y＝f(x)的定义域．
②求导数f′(x).
③求出f′(x)＝0的根，判断f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号．如果是左正右负（左负右正），则在这个根处取得极大（小）值；如果左右同号，则在这个根处无极值．
3．函数的最大值和最小值
(1)一般地，如果函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)求函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的一般步骤
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值．
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．