【高考突破方案】第十一章 空间向量与立体几何 识记手册- 高考一轮总复习数学

一、空间向量及其运算
1．共面向量
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
如图，空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使＝x＋y，或对空间任意一点O来说，有＝＋x＋y.
2．空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.
其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c叫做基向量．
二、空间向量的应用
1．空间直线、平面平行的向量表示
位置关系 向量表示
线线平行 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2 u1∥u2 λ∈R，使得u1＝λu2.
线面平行 设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l α，则l∥α u⊥n u·n＝0.
面面平行 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β n1∥n2 λ∈R，使得n1＝λn2.
2.空间中直线、平面垂直的向量表示
位置关系 向量表示
线线垂直 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2 u1⊥u2 u1·u2＝0
线面垂直 设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α u∥n λ∈R，使得u＝λn
面面垂直 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β n1⊥n2 n1·n2＝0
3.有关距离问题
(1)点到直线的距离
已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点．设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u.点P到直线l的距离为PQ＝.
(2)两条平行直线之间的距离
求两条平行直线l，m之间的距离，可在其中一条直线l上任取一点P，则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离．
点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度，由于直线与直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题．
(3)点到平面的距离、两个平行平面之间的距离
已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则点P到平面α的距离为PQ＝.
①实质上，n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度．
②如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解．
③两个平行平面之间的距离：如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解．
4．有关角度问题
(1)两异面直线所成角：若两异面直线l1，l2所成角为θ，它们的方向向量分别为a，b，则有cos θ＝|cos〈a，b〉|＝ .
(2)直线与平面所成角：若直线l与平面α所成的角为θ，直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则有sin θ＝|cos〈a，n〉|＝.
提醒：直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角．
(3)二面角：若二面角α－l－β的平面角的大小为θ，其两个面α，β的法向量分别为n1，n2，则|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|＝ .
平面与平面的夹角：平面α与平面β相交，形成的四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．