【高考突破方案】第四章 指数函数与对数函数 识记手册- 高考一轮总复习数学

一、指数函数
1．n次方根
(1)定义
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
(2)
xn＝a n是奇数 a＞0 x＞0 x仅有一个值，记为
a＝0 x＝0
a＜0 x＜0
n是偶数 a＞0 x有两个值，且互为相反数，记为±
a＝0 x＝0
a＜0 x不存在
2.根式的定义
式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
3．根式的性质
①()n＝a(n＞1，且n∈N*)；
②()＝
4．分数指数幂的意义
分数 指数幂 正分数指数幂 规定：a＝(a>0，m，n∈N*，n>1)
负分数指数幂 规定：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)
0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
5.有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)．
(2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q.
(3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．
6．指数函数的图象和性质
条件 a>1 0图象
性质 定义域：R
值域：(0，＋∞)
过点(0，1)，即x＝0时，y＝1
在R上是增函数 在R上是减函数
二、对数函数
1．对数与指数间的关系
若a＞0，且a≠1，则ax＝N logaN＝x.
对数恒等式：logaax＝x；alogaN＝N（a＞0，且a≠1，N>0）.
2．对数的基本性质
(1)负数和0没有对数．
(2)loga1＝0，logaa＝1.
3．对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(2)loga＝logaM－logaN；
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R).
4．对数换底公式
logab＝（a>0，且a≠1；b>0，c>0；且c≠1）.
特别地，logab·logba＝1（a>0，且a≠1；b>0，且b≠1）.
5．对数函数的图象和性质
条件 a>1 0图象
定义域 (0，＋∞)
值域 R
单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
共点性 图象过点(1，0)，即loga1＝0
函数值 特点 当x∈(0，1)时，y∈(－∞，0)； 当x∈[1，＋∞）时，y∈[0，＋∞） 当x∈(0，1)时，y∈(0，＋∞)； 当x∈[1，＋∞）时，y∈（－∞，0]
对称性 函数y＝logax与y＝logx的图象关于x轴对称
三、函数的应用
1．三种函数的增长速度比较
(1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但增长速度不同．
(2)在区间(0，＋∞)上，随着x的增大，函数y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，而函数y＝logax(a>1)的增长速度则会越来越慢．
(3)存在一个x0，使得当x>x0时，有logax2．利用零点存在定理确定函数零点所在区间的步骤
第一步，判断给出的函数f(x)的单调性．
第二步，确定区间端点对应的函数值符号．
第三步，通过f(a)f(b)<0得到函数零点所在的区间(a，b).
3．用二分法求函数零点近似值的步骤
给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：
第一步，确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)<0.
第二步，求区间(a，b)的中点c.
第三步，计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
(1)若f(c)＝0（此时x0＝c），则c就是函数的零点；
(2)若f(a)f(c)<0（此时x0∈(a，c)），则令b＝c；
(3)若f(c)f(b)<0（此时点x0∈(c，b)），则令a＝c.
第四步，判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a（或b），否则重复第二至第四步．
四、常用结论
1．函数图象自身的轴对称：若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．
2．函数图象自身的中心对称：f(a＋x)＝2b－f(a－x) f(x)＝2b－f(2a－x) 函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)中心对称．
3．两个函数图象之间的对称关系
(1)函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称（由a＋x＝b－x得对称轴方程）；
(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(－x)的图象关于点(0，b)中心对称．